مدل های نسبیتی عالم | هر آنچه باید بدانید


تا قبل از ظهور نسبیت مدلهای متفاوتی برای توضیح و توصیف عالم وجود داشت اما با ورود نسبیت این مدلها به شدت تغییر کردند و به سمت مدلهای نسبیتی عالم متمایل شدند. همان طور که اینشتین تعریف گرانش نیوتنی را از یک نیرو به خمیدگی فضا و زمان تغییر داد، مدلهای کیهان شناسی نیز با ظهور نسبیت به طور کلی تغییر کردند. در این مطلب قصد داریم در مورد مدل های نسبیتی عالم و ویژگیهای آنها صحبت کنیم و دو مدل ابتدایی یعنی مدل ایستای اینشتین و مدل دوسیتر را برای توصیف عالم معرفی کنیم. اگر علاقهمند به کیهان شناسی و نجوم هستید خواندن این مطلب را از دست ندهید.
مدل های نسبیتی عالم
آغاز دوران مدرن کیهان شناسی را میتوان از روزی در سال 1917 دانست که در آن مقاله اينشتين با عنوان ملاحظات کیهانی نظریه نسبیت عام در آکادمی علوم پروس منتشر شد. نکته اساسی در این مقاله و در واقع در تمام نظریه نسبیت عام اينشتين، نقش اساسی فضا و زمان در هر گونه مدل سازی برای هستی بود.
قبل از طرح شدن نظریه اينشتين تصور اغلب فیزیکدانان بر این بود که فضا و زمان به سادگی نوعی ظرف برای ماده و تابش هستند، یا هر ذره از ماده یا تابش بخش مشخص از فضا را در هر لحظه از زمان اشغال میکند.
علاوه بر این آنها تصور میکردند که فضا و زمان منفعل هستند و تنها صحنهای برای اجرای نمایش فیزیک فراهم میآورند در حالی که خود هیچ نقشی در این نمایش ندارند. تصور بر این بود که خصوصیات فضا و زمان به ويژه خصوصیات هندسی به هیچ وجه بر ویژگیهای ماده و تابش تاثیر ندارد.
اينشتين این دیدگاه را تغییر داد. در سال 1905 تئوری نسبیت خاص اينشتين که شکل محدود شده نظریه نسبیت عام است و گرانش را در نظر نمیگیرد مشخص کرد که سه بعد فضا و یک بعد زمان باید در یکدیگر ادغام شوند تا آنچه امروزه با عنوان فضا-زمان میشناسیم حاصل شود. تئوری نسبیت عام در سال 1916 بسیار فراتر از این رفت و نشان داد خصوصیات هندسی این فضا-زمان چهار بعدی تحت تاثیر مواد و تابشهای درونی خود نیز قرار دارند و همین موضوع را میتوان مبنایی برای تفسير پدیده مهم گرانش قرارداد.
بر اساس نظریه نیوتنی از گرانش که در سال 1668 انتشار یافته بود، پدیده گرانش مانند جاذبه بین خورشید و زمین در اثر نیرویی بین دو جرم که بر آنها عمل میکند، اتفاق میافتد. نیوتن شدت و جهت این نیرو را با توجه به جرم دو قطعه و جابهجایی بین آنها به دست آورد (یعنی فاصله و جهت). با اين حال او نتوانست منشاء نیروی گرانشی و مکانیزمی که باعث میشود یک شیئ در فضا روی شیئ دورتر تاثیر بگذارد را توصیف کند. نیوتن تلاش کرد این نیروی مرموز را با نظریه گردابی که سالها بین دانشمندان اروپایی محبوبیت داشت تفسیر کند اما موفق نشد. دویست و پنجاه سال بعد اينشتين در تبيین ماهیت گرانشی بسیار فراتر از نیوتن رفت.

مطابق نظریه اينشتين در واقع نیروی گرانش وجود خارجی ندارد. از دید او یک شیئ مانند خورشید بر فضا-زمانی که در آن قرار گرفته است اثر گذاشته و سبب تغییر شکل هندسی آن میشود. این تغییر شکل هندسی را خمیدگی فضا–زمان مینامند.
اجرامی که در مجاورت خورشید حرکت میکنند مانند زمین، به این خمیدگی فضا – زمان واکنش نشان میدهند. به این ترتیب یک شیئ مانند خورشید میتواند از حیث گرانشی بر رفتار زمین تاثیر بگذارد حال آنکه در واقعیت نیروی گرانشی بین آن دو وجود ندارد. گرانش از دید انیشتن در نتیجه انحناي فضا – زمان حاصل میشود و در نتیجه یک پدیده هندسی است، به همین دلیل نظریه نسبیت عام اينشتين در واقع تئوری هندسی گرانشی است. این دیدگاه به شکل شماتیک در تصویر (2) نمایش داده شده است. در این تصویر فضا به شکل یک صفحه دو بعدی تصویر شده و گرانش با خمش در این صفحه دو بعدی مشخص شده است.

اينشتين نشان داد نظریه او از گرانش با تمام پیشبینیهای درست نظریه نیوتن تطابق دارد. نظریه نسبیت عام او با توضیح پدیدههای غیرمتعارف که تئوری نیوتن قادر به تفسیر آنها نبود پدیده های کاملاً جدیدی را که به کل از نظریه نیوتن خارج بود را پیشبینی کرد. رصدهای انجام شده پیشبینیهای جدید نظریه نسبیت عام مانند خمش پرتوهای نور در اثر گرانش را اثبات کرده و به همین دلیل است که این نظریه جایگزین تئوری نیوتن شده است. البته ما هم چنان از نظریات نیوتن بهره میبریم و واژه نیروی گرانشی را استفاده میکنیم زیرا این تئوریها ساده هستند و برای اغلب مقاصد ما در ابعاد زمینی دقت کافی را دارند.
اما تمام این مسائل چه ارتباطی با کیهان شناسی دارد؟ بر اساس تئوری نسبیت عام آنچه خمیدگی فضا-زمان را در هر ناحیه از فضا مشخص میکند تنها وجود اجرام سنگین در آن بخش از فضا نیست بلکه توزیع انرژی و اندازه حرکت در هر بخش بر خمیدگی فضا-زمان تاثیر میگذارند.
میدانیم که ذرات مواد و تابشها نیز انرژی دارند بنابراین این دیدگاه که توزیع ماده و تابش میتواند به توزیع انرژی مربوط باشد چندان عجیب نخواهد بود. البته تئوری نسبیت خاص عمق جدیدی به این دیدگاه افزوده است. فرمول در این نظریه نشان میدهد حتی ذرات ساکن را میتوان به مقدار معینی از انرژی نسبت داد. ایده اندازه حرکت ممکن است تا حدی ناآشنا به نظر برسد اما در اصل این ایده نیز یک کمیت فیزیکی دیگر مانند انرژی است که میتوان آن را برای هر ذره از ماده یا تابش با دانستن مقادیر جرم و سرعت آن به دست آورد. جرم ذرات تابشی مانند فوتونها صفر است اما مطابق نظریه نسبيت خاص فوتونی با انرژی E قدر مطلق اندازه حرکتی معادل خواهد داشت. تا آنجا که به کیهان شناسی مربوط میشود دیدیم که ماده و تابش در سرتاسر هستی پراکنده شدهاند، به همین دلیل میتوان انتظار داشت توزیع انرژی و اندازه حرکت در مقیاس بزرگ به همراه فرمولهای نسبیت عام امکان توصیف ریاضی از خمیدگی فضا-زمان در مقیاسهای وسیع را برای ما فراهم آورد. این موضوع پایه کیهان شناسی نسبیتی است.
- پرسش: چه واژهای برای توصیف توزیع مقیاس بزرگ انرژی و اندازه حرکت عالم مناسب است؟
- پاسخ: در مطلب توزیع ماده و انرژی در عالم توضیح دادیم که این توزیع در هر زمانی در عالم یکنواخت است. بر این اساس انرژی و تکانه وابسته به این ماده نیز باید یکنواخت باشد.
هرچند مباحث مطرح شده تا اینجا بسیار کیفی و کلی بیان شد اما برخی ایدههای مهم در آن طرح شد که لازم است خلاصهای از آنها ذکر شود:
- همانگونه که ماده و تابش از اجزاء مهم در هستی هستند، فضا و زمان نیز نقشی اساسی در هستی دارند.
- تئوری نسبیت خاص اينشتين به ما میآموزد که فضای سه بعدی و زمان تک بعدی را برای ایجاد فضا – زمان چهار بعدی ترکیب کنیم. در این فضا – زمان تمام ماده و تابش قرار میگیرند.
- تئوری نسبیت عام اينشتين به ما میآموزد که فضا – زمان خصوصیات هندسی دارد (برای مثال خمیدگی) که میتوان آنها را با نحوه توزیع انرژی و اندازه حرکت مرتبط با ماده و تابش معین کرد.
- با ترکیب دانستهها در مورد توزیع مقیاس بزرگ انرژی و اندازه حرکت با نظریه نسبیت عام میتوان مدلی ریاضی برای فضا – زمان در مقیاس بزرگ به دست آورد.
در قسمت بعد به مفهوم خصوصیات هندسی فضا-زمان و راههایی که میتوان از آنها برای خلاصه کردن ریاضیگونه این خصوصیات استفاده کرد میپردازیم. همچنین به توزیع مقیاس بزرگ انرژی و اندازه حرکت خواهیم پرداخت و با در نظر گرفتن این دو مبحث، معادله اساسی نسبیت عام يعني معادله میدانی اينشتين معرفی میشود. پس از آن و در نهایت در مورد مدل ریاضی از فضا-زمان که با رصدهای انجام شده از ماده و تابش و توزیع انرژی و اندازه حرکت مرتبط با آنها تطابق دارد، صحبت خواهیم کرد.
فضا-زمان در مدل های نسبیتی عالم
تصور کنید از شما خواسته شده تا فضا را توصیف کنید، نه فقط فضای بیرون اتمسفر بلکه فضا به شکل کلی آن یعنی همان فضایی که هم اکنون اشغال كردهاید یا فضایی که ممکن است دستهایتان را در آن حرکت دهید. ممکن است بگوييد فضا بزرگ است یا اعلام کنید فضا سه بُعد دارد (یعنی سه جهت مستقل از هم که اشیاء میتوانند درون آن حرکت کنند) اما چه کار دیگری میتوان برای توصیف فضا انجام داد؟ ممکن است این سوال کمتر از شما پرسیده شود که فضا را توصیف کنید اما برای کیهان شناسان این پرسش تعیین کننده است و پاسخهای متعارف آن نیز شناخته شدهاند.
در واقع برای کیهان شناسان توصیف فضا ضرورتاً موضوع هندسه را پیش خواهد کشید. طبق تعریف فرهنگ لغات، هندسه عبارت است از مطالعه خصوصیات و روابط خطوط، سطوح و حجم در فضا. در واقع با مطالعه خصوصیات و روابط اشیا در فضا است که میتوان خود فضا را بیشتر شناخت.
در حال حاضر هندسه یک رشته وسیع علمی است اما ریاضیدانان قرن 19 مانند کارل فردریش گاوس (1855 – 1777) و برنهارد ریمان (1866 – 1826) راههایی اساسی برای خلاصه کردن کلیت هندسه در یک یا دو خط ریاضی یافته بودند. به خصوص گاوس که یکی از بزرگترین ریاضیدانان جهان است این فرآیند را با تشخیص اهمیت استثنایی قضیه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه آغاز کرد.

بر اساس تئوری فیثاغورس، مربع وتر در یک مثلث قائم الزاویه با مجموع مربعهای دو ضلع دیگر برابرخواهد بود برای مثال در تصویر (3) میتوان نوشت:
گاوس به این نتیجه رسید که اگر این نتیجه برای کوچکترین مثلثهای قائم الزاویه صادق باشد آنگاه میتوان از آن برای اثبات ریاضی تمام قضایای هندسی دوبعدی شناخته شده بهره برد. اگر یک مثلث بسیار کوچک قائم الزاویه را مطابق تصویر (4) در نظر بگیریم و کوچکی ابعاد آن را در عوض طولهای a,b,c با ds,dx,dy نمایش دهیم آنگاه میتوان گفت تمام هندسه دوبعدی آن در رابطه زیر بیان میشود:

در این رابطه ds فاصله بین دو نقطهای است که مختصات x,y آن با مقدار بینهایت کوچک dx,dy با یکدیگر اختلاف دارند (تصویر 4). تا آنجا که به ریاضی مربوط می شود فرمول (2) پاسخ کاملی به این پرسش است كه همه آنچه در مورد هندسه یک صفحه دو بعدی وجود دارد را بیان کنید.
در حقیقت رابطه (2) مسائل مربوط به فضای سه بعدی را نیز حل خواهد کرد. اگر هرنقطه از فضا را با توجه به سیستم مختصاتی x,y,z در نظر بگیریم (تصویر 5) آنگاه به آسانی میتوان تصور کرد که فاصله ds بین دو نقطه که با تفاوتهای بینهایت کوچک dx,dy,dz از هم تفکیک شدهاند را میتوان با شکل سه بعدی رابطه فیثاغورس به دست آورد یعنی داریم:

این فرمول مبنایی برای هندسه سه بعدی فراهم میآورد همانگونه که فرمول دو بعدی فیثاغورس مبنایی برای هندسه دو بعدی بود. البته لازم به ذکر است از آنجا که رابطه (2) را تنها میتوان برای یک صفحه به کار بست این فرمول میتواند هندسه روی سطوح تخت را توصیف کند. یعنی این فرمول نمیتواند هندسه اشکال ترسیم شده روی منحنیهای دوبعدی تصویر شده در تصویر (6) را شرح دهد. گزارههای ریاضی کوتاه مربوط به هندسه این اشکال دوبعدی منحنی را نیز میتوان به دست آورد، اما این گزارهها بسیار پیچیدهتر از فرمول (2) خواهند بود. به همین ترتیب فرمول (3) نیز با تمام سودمندیاش تنها هندسه آنچه به اشتباه، فضای سه بعدی تخت نامیده میشود را شرح میدهد.

ریاضیدانان با روابط مشابه اما بسیار پیچیدهتر میتوانند فضای سه بعدی منحنی را نیز توصیف کنند اما ما در اینجا از ذکر آنها صرف نظر خواهیم کرد. مسائل کوچکی در روشن ساختن اینکه فضای سه بعدی منحنی چگونه فضایی است وجود دارد اما لازم به ذکر است كه در فضای تخت نتایج هندسی صحیح باقی خواهند ماند حال آنکه احتمال دارد در فضای منحنی همان نتايج ديگر صحیح نباشند. به صورت مشابه خطوطی که در فضای تخت با یکدیگر موازی هستند ضرورتاً در فضای منحنی موازی باقی نخواهند ماند.
هنگامی که گاوس متوجه شد فضای سه بعدی می تواند منحنی نیز باشد به برآوردهای زمینی پرداخت تا بتواند در صورت امکان خصوصیات اين فضا را به شکل عملی مورد تحقیق قرار دهد (تصویر 7). او امیدوار بود با اندازهگیری دقیق از مجموع زوایای داخلی یک مثلث بزرگ با توجه به آنکه ما در یک فضای منحنی زیست میکنیم مشخص کند این حاصل جمع 180 درجه نخواهد بود. توجه داشته باشید برای گاوس مثلثهایی که به تبعیت از پوسته زمین خمیدگی داشته باشند اهمیت نداشت بلكه او به خمیدگی خود فضا توجه نشان میداد، یعنی هندسه حقیقی آن و نه خمیدگی سطوح در فضا. نتایجی که گاوس به دست آورد هیچ گونه مدرکی از منحنی بودن فضا به دست نداد. ما امروزه با استفاده از نظریه اينشتين میدانیم خمیدگی فضا در نزدیکی زمین به حدی اندک است که با ابزار و روشهایی که در اختیار گاوس بوده به هیچ نوعی امکان اندازهگیری و ردیابی اين خميدگی وجود نداشته است.

در بخشهای قبل تاکید شد که نظریه نسبیت عام اينشتين پدیده گرانش را با توجه به خمیدگی فضا-زمان شرح میدهد. حال میتوان انتظار داشت با بحث در مورد فضاهای سه بعدی تخت و منحنی، بحث درمورد فضا-زمانهای چهاربعدی تخت و منحنی نیز آغاز شود. اما نگران نباشید تا آنجا که به فضا-زمان چهاربعدی تخت مربوط است همه آنچه لازم است تعميم فرمول (3) خواهد بود به این صورت که در عوض دو نقطه جداگانهای که فاصله بسیار کمی در فضا دارند دو رخداد همسایه در فضا-زمان را در نظر خواهیم گرفت. این دو رخداد میتوانند هم چنان به واسطه مقادیر بسیار اندک dx,dy,dz با یکدیگر تفاوت داشته باشند اما علاوه بر این به دلیل اين که این دو، دو رويداد متفاوت هستند میتوان اختلاف زمان بسیار اندک dt نیز بین آنها قائل شد. تحقیقات انجام شده براساس نظریه نسبیت خاص اينشتين که در آن تاثیر گرانش در نظر گرفته نشده و به فضا-زمان تخت مربوط است نشان میدهد تعمیم مناسب برای فرمول (3) به شرح زیر خواهد بود:
که در رابطه بالا c برابر با سرعت نور در خلاء است. بحث بیشتر برای شکل دقیق فرمول (4) در اینجا ضرورت ندارد اما توجه داشته باشید این فرمول تنها هندسه فضا-زمان تخت را توصیف میکند یعنی حالتی که خمیدگی صفر باشد. فرمول مربوط به فضا-زمان منحنی ضرورتاً بسیار پیچیدهتر از رابطه (4) خواهد بود.
مدل های نسبیتی عالم و نحوه توزیع انرژی و اندازه حرکت در هستی
در بخش قبل شرح دادیم که ترکیب رصدهایی که نشان میدهد هستی در تمام جهات یکسان است، با اصل کپرنیکی که میگوید ما موقعیت ممتازی در هستی نداريم مشخص میکند كه هستی در مقیاس بزرگ در تمام نقاط مشابهت دارد. همچنین اشاره شد که یکنواختی در توزیع مقیاس بزرگ ماده و تابش با توجه به رصدهای انجام شده اخیر به خصوص نقشه برداری جابهجایی قرمز به تائید رسیده است. با این حال به دلیل آنکه هنوز مدارک رصد شده محدود هستند مناسبتر است که یکنواختی توزیع مقیاس بزرگ ماده و تابش را فرضیهای در نظر گرفت که با مدارک مستدل در حال تائید است و نه یک واقعیت اثبات شده!
ستاره شناسان معمولاً فرض یکنواخت بودن هستی در مقیاسهای بزرگ را اصل کیهانی مینامند و گاهی آن را به شرح زیر تعبیر میکنند:
در مقیاسهای بزرگ یعنی به طور متوسط نواحی که چند صد مگاپارسک عرض دارند هستی همگن (یعنی در همه نقاط یکسان) و ایزوتروپیک (یعنی یکسان در تمام جهات) است.
واژه های تخصصی همگن و ایزوتروپیک دقیقاً منظور ما از یکنواختی را روشن میسازد. هر دو واژه برای توصیف ضروری است زیرا امکان دارد توزیعی همگن باشد اما ایزوتروپیک نباشد، برای مثال هستی که در آن میدان مغناطیسی همگنی وجود داشته باشد به گونهای که هر نقطه آن متوجه یک جهت یکسان باشد ایزوتروپیک نخواهد بود هرچند همگن باشد.
- پرسش: کدام ویژگی اصل کیهانی، هستی مغناطیسی شده یکنواخت که در بالا شرح داده شد را رد میکند؟
- پاسخ: هر چند هستی مغناطیسی شده، همگن است اما ایزوتروپیک نخواهد بود. زیرا در این حالت هیچ نقطهای از هستی از نقاط دیگر آن قابل تمایز نخواهد بود اما در هر نقطه امکان مشخص کردن جهتی ترجیح یافته با استفاده از قطب نما برای تعیین جهت میدان مغناطیسی وجود خواهد داشت این واقعیت که تمام جهات در این هستی مساوی نیستند نشان میدهد این هستی با ضرورت ایزوتروپیک بودن هستی ما تطابق ندارد.
در سادهترین مدل های نسبیتی عالم و مدلهای کیهانی که با اصل کیهانی تطابق دارند اغلب تصور میشود که هستی کاملاً از گاز یا مایعات همسان پرشده است. یکی از مزایای چنین سادهسازی از محتویات هستی آن است که حالت گاز در هر زمان t را میتوان از چگالی و فشار آن در زمان مربوطه مشخص کرد. این دو خصوصیت گاز تمام خصوصیات دیگر گاز، ازجمله دمای آن را تعیین خواهد کرد. چگالی و فشار را معمولاً با علائم و مشخص میکنند اما در هستی در حال انبساط میتوان انتظار داشت چگالی و فشار با گذر زمان تغییر کنند. میتوان وابستگی چگالی و فشار به زمان را با مقادیر این دو در هر زمان t نشان داد مثلاً و .
مباحث کیهانی را با چشمپوشی از فشار از این نیز سادهتر میکنند و به نظر میرسد این فرض به دلیل عدم وجود شواهدی مبنی بر برخورد ابر مجموعههای کهکشانی منطقی باشد. ما در این مطلب فرض میکنیم فشار قابل اغماض است اما در حالتی که مربوط به هستی اولیه داغ و چگال است نمیتوان چنین فرضی داشت.
با کمک چنین سادهسازیهایی که در بالا شرح داده شد، تفسیر و توضیح ریاضی از توزیع مقیاس بزرگ انرژی و اندازه حرکت برای ستارهشناسان چندان دشوار نخواهد بود و مانند یکنواختی گاز کیهانی توزیع شده در هستی، انرژی و اندازه حرکت نیز توزیع همگن و ایزوتروپیکی دارند که میتوان به راحتی آن را با ریاضی شرح داد. با کمک این تفسیر ریاضی از توزیع انرژی و اندازه حرکت کیهان شناسان قادر خواهند بود با استفاده از فرمولهای نسبیت عام هندسه مقیاس بزرگ فضا-زمان را معین کنند و به دنبال آن مدلی کیهانی را پایهریزی کنند. اولین مدل از مدل های نسبیتی عالم از این نوع را در قسمت بعد شرح خواهیم داد.
مدل های نسبیتی عالم و اولین مدل نسبیتی از هستی
بر اساس نسبیت عام نحوه توزیع انرژی و اندازه حرکت، خصوصیات هندسی فضا- زمان و به خصوص خمیدگی آن را تعیین میکند. ماهیت دقیق این ارتباط در مجموعه روابطی که معادلات میدانی نسبیت عام نامگذاری شدهاند، مشخص میشود. در این مطلب مشخصاتی از این معادلات بخصوص اینکه چگونه آنها عامل معرفی کمیتی با عنوان ثابت کیهان شناختی شدهاند را ذکر میکنیم ولی از حل این معادلات صرف نظر خواهیم کرد. معادلات میدانی اينشتين در ادامه توضیح داده شده است.
مدل های نسبیتی عالم و معادلات میدانی اينشتين در مورد نسبیت عام
ورود به جزئیات معادلات میدانی اينشتين گسترده و پیچیده خواهد بود اما شکل فشرده و خلاصه آن که مورد استفاده ستاره شناسان نیز قرار میگیرد سادهتر است. با استفاده از نمادگذاریهای مدرن معادلات میدانی را که اینشتین در سال 1916 معرفی کرد را میتوان به شکل زیر بازنویسی کرد.
نویسندگان متفاوت برای این معادلات از علائم متفاوتی استفاده میکنند اما به صورت کلی G و T در این فرمول معرف مقدار ریاضی پیچیدهای به نام تانسور هستند. در این جا از توضيح تانسور صرف نظر میکنیم ولی جزئیات این ابزار ریاضی را میتوانید در مطلب تانسور چیست؟ مطالعه کنید. با این حال باید دانست G توضیح دهنده خمیدگی فضا-زمان و T توضیح دهنده توزیع انرژی و اندازه حرکت است و این مقادیر ممکن است با تغییر زمان و موقعیت تغییر کنند.
هم چنین G ثابت گرانشی نیوتون و برابر با و c سرعت نور در خلاء است. به پررنگ بودن G در معادله و در نوشتار دقت کنید، G یک تانسور و G ثابت گرانشی است.
با در اختیار داشتن توزیع انرژی و اندازه حرکت در تمام نقاط و زمانها (یعنی T مشخص) معادله میدانی، کمیت هندسی G را تعیین خواهد کرد که از آن میتوان جزئیات هندسه فضا-زمان را استنتاج کرد. در سال 1916 اينشتين از این روابط برای تحقیق روی حرکت سیارهای در منظومه شمسی و نیز خمیدگی غیر نیوتنی نور توسط خورشید استفاده کرد.
اينشتين اولین مقاله مربوط به کیهان شناسی نسبیتی را در سال 1917 منتشر کرد. در این مقاله او کوشید از نسبیت عام برای تشریح هندسه فضا-زمان کل هستی و نه فقط منظومه شمسی بهره ببرد. در حین کار روی این مقاله او متوجه شد یکی از فرضیاتی که او در مقاله سال 1916 بکار برده، در مقیاسهای وسیعتر کیهان شناسی غیر ضروری و نامناسب است. این موضوع باعث شد که او فرمول دیگری را به معادلات میدانی اضافه کند که این فرمول به شرح زیر است:
همانگونه که میبینید عبارت به فرمول قبلی اضافه شده است. ثابت فیزیکی جدید است که ثابت کیهان شناختی خوانده میشود. حضور نتایجی که اینشتین در 1916 به دست آورده بود را باطل نکرد بلکه در زمینه محاسبات کیهان شناختی مقدار معین تحت شرایط مناسب باعث توازن تاثیر گرانش در رابطه شده است.
در سال 1917 مدارکی مبنی بر انبساط یا انقباض هستی وجود نداشت. بنابراین برای بسط مدل های نسبیتی عالم و اولین مدل کیهان شناسی نسبیتی اينشتين مقداری برای ثابت کیهان شناختی يا در نظر گرفته بود که همواره ثابت بوده و با گذر زمان تغییر نمیکرد. با استفاده از اصل کیهان شناختی لازم بود چگالی متوسط ماده در هستی یا ، مانند ثابت کیهان شناختی همگن باشد (یعنی اولی مستقل از موقعیت و دومی مستقل از زمان) اینشتین از فشار صرف نظر کرده و مقدار آنرا در نظر گرفت. با استفاده از این مفروضات به همراه رابطه اصلاح شده معادله میدانی (5) اينشتين یکی از اولین مدل های نسبیتی عالم از هستی را که امروزه مدل اینشتین نامیده میشود را پایهریزی کرد. ضروررت ایجاد موازنه بین کشش گرانشی ماده و تاثیر دفع کننده ثابت کیهان شناختی سبب شد اینشتین رابطه زیر را معرفی کند:
به دلیل آنکه انبساط هستی در نظر گرفته نشده است، مدل اينشتين هستی واقعی که ما در آن زیست میکنیم را معرفی نمیکند. در واقع پس از کشف این موضوع که هستی در حال انبساط است، اینشتین اولین استفاده خود از ثابت کیهان شناختی را بزرگترین اشتباه خواند. با این وجود بحث در مورد خصوصیات هندسی مدل اينشتين از آنجا که میتواند برخی امکانات خارق العاده کیهان شناسی نسبیتی را روشن کند بسیار سودمند خواهد بود.
هستی که در مدل اینشتین شرح داده شده است، ايستا است یعنی نه منبسط و نه منقبض میشود. در این مدل، فضا محدود و مجموع ظرفیت آن نسبتی از است. با وجود آنکه فضا در این مدل محدود است اما در عین حال غیر مقید نیز هست یعنی میتوان در هر جهت از آن پیش رفت بدون آنکه به مانع یا جداره فضا برخورد کنیم. در واقع در این مدل اگر به اندازه کافی در خط راست حرکت کنیم در نهایت به نقطه آغاز باز خواهیم گشت.
چنین چیزی چگونه ممکن است؟ چگونه یک خط راست به نقطه آغاز خود بر میگردد؟ دقیقاً به این دلیل است که آنچه ما در اینجا راجع به آن صحبت می کنیم یک خط صاف در فضای منحنی است. در مدل اينشتين که همگن و ایزوتروپیک است، خمیدگی فضا باید در تمام نقاط و جهات یکسان باشد. علاوه بر این مقدار این خمیدگی یکنواخت باید در هر نقطه مثبت باشد تا خط مستقیم مورد بحث در سرتاسر طولش به شکل یکنواخت به سمت خودش خمیده شود. مقدار حقیقی این خمیدگی مثبت به مقدار ثابت کیهان شناختی یا بستگی دارد، با این نتیجه که خطی که تا حد امکان در تمام نقاط مستقیم بوده است (نوعی از خط که توسط پرتوهای نوری تعریف می شود) در فاصلهای که نسبتی از است به خودش نزدیک میشود. تصویر 8 تلاش کرده برخی ایدههای هندسی فضا-زمان را در مدل اینشتین بازنمایی کند.
اگر ما در هستی مانند آنچه اینشتین تشریح کرده است زندگی میکردیم آن گاه انتظار داشتیم رصدها تصاویر دوردست زمین، خورشید و یا حتی کهکشان راه شیری را به ما نشان دهند چرا که در این مدل نور در یک مسیر بسته حرکت میکند و سرانجام به نقطه آغاز خود میرسد.
- پرسش: اگر ما در هستی مانند آنچه اينشتين آن را مدل کرده است زندگی میکردیم چگونه میتوانستیم مقدار ثابت کیهان شناختی در آن را تعیین کنیم؟
- پاسخ: با اندازهگیری چگالی متوسط ماده در مقیاس بزرگ و سپس استفاده از فرمول (6) میتوانستیم را به دست آوریم.

لازم است پیش از ادامه مطلب، توضیح دهیم که در تصویر (۸) تلاش شده فضا-زمان چهاربعدی مورد نظر مدل اینشتین بازنمایی شود. زمان در محور عمودی قابل اندازه گیری است. تمامی فضا در هر زمان باید با یک صفحه افقی معرفی شود اما به دلیل آنکه نیاز بوده مشخص شود فضا به شکل ذاتی خمیده است، دایره صفحه افقی در واقع معرف یک خط راست است. مسیر مارپیچی که بالای دایره ترسیم شده است پالسهای نوری که خط راست را در گذر زمان و درون فضا دنبال میکنند نشان میدهد. به دلیل ماهیت این شکل از فضا-زمان، مدل اینشتین را گاهی دنیای استوانهای اينشتين نیز مینامند.
پیش از این گفته شد یک ویژگی مهم در مدل اینشتین آن است که خمیدگی فضا در تمام نقاط مثبت است. این ویژگی را به شکل قراردادی با پارامتر خمیدگی یا k معرفی میکنند و مقدار آن ، یا است. در مدل اينشتين این مقدار است. در مدلهای دیگر کیهان شناسی مدلهایی با و و هم چنین مدلهای دیگری با خواهید دید. پارامتر خمیدگی یکی از مهمترین ویژگیهای این مدلها است چرا که به شدت بر خصوصیات هندسی مقیاس بزرگ مدل تاثیر میگذارد. مقدار k بی درنگ مشخص میکند که آیا فضا محدود است یا نامحدود. هم چنین مقدار k همانگونه که در تصویر (9) نیز نشان داده شده است مشخص میکند مجموع زوایای داخلی مثلثهای بزرگ کیهانی کوچکتر، مساوی یا بزرگتر از 180 درجه هستند. این مقدار مشخص میکند چگونه محیط دایره به شعاع آن مربوط میشود و اینکه آیا خطوط حرکتی، موازی باقی میمانند یا خیر. اهمیت این مقدار در مدل بعدی مشخصتر خواهد شد چرا که در این مدل خمیدگی در تمام نقاط صفر است یعنی ، در این مدل فضا غیر محدود است و خطوط مستقیم به سمت خودشان باز نمیگردند.

در سالی که اينشتين اولین مدل کیهان شناسی نسبیتی را منتشر کرد، یک مدل کاملاً متفاوت نیز توسط ستاره شناس هلندی ویلیام دسیتر (1934 – 1873) پیشنهاد شد. مانند مدل اينشتين جزئیات ریاضی مدل دسیتر را نیز میتوان با حل معادلات میدانی (فرمول 5) به دست آورد. دسیتر، مانند اينشتين بر مبنای اصل کیهان شناختی چنین فرض کرد که هستی همگن و ایزوتروپیک است اما او آن را ایستا در نظر نگرفت و در عوض در مدل خود تاثیر ماده را ناچيز انگاشت و فشار متوسط و چگالی متوسط را صفر در نظر گرفت. به همین دلیل خصوصیات هندسی فضا در این مدل را تنها ثابت کیهان شناسی معین خواهد کرد. اگر مقدار این ثابت مثبت باشد، هستی دچار انبساط بی پایان شده و سبب میشود نقاط در فضا دائماً از یکدیگر فاصله بگیرند. همچنین هر مقدار جزئی از ماده که در این هستی حضور داشته باشد به سادگی به دلیل انبساط فضایی که درون آن قرار گرفته است جابهجا خواهد شد. این موضوع در واقع ویژگی کلیدی مدل دسیتر است و این اولین مدلی است که هستی در حال انبساط را شرح میدهد، هر چند که خود دسیتر تمام کاربردهای مدل خود را درک نکرده بود.

ویلیام دسیتر، ستاره شناس هلندی بود که دومین مدل کیهان شناسی نسبیتی را به همراه همکارش پاول اهرنفست (1933-1880) پایهریزی کرد. او دریافت که درمدل او ناظر متوجه خواهد شد نور ساطع از کهکشانهای دور دست جابجایی قرمز دارد.
مدل های نسبیتی عالم و بازگشت کهکشانها و انبساط در هستی
در نگاه اول، بازگشت رصد شده کهکشانهای دوردست به وضوح نشان میدهد كه این کهکشانها در فضا در حال حرکت هستند. این موضوع البته از دیدگاه نسبیت عام درباره فضا (یا به عبارت بهتر فضا-زمان) که فضا را دارای خصوصیاتی ذاتی میداند که تحت تاثیر محتویات هستی خود است قابل چشم پوشی است. یک راه مناسب برای درک فضا در نسبیت عام این است که آن را به صورت یک صفحه ارتجاعی سه بعدی که در صورت کشیدن منبسط و درصورت رها شدن منقبض میشود در نظر بگیریم.
اگر کهکشانها را دکمههایی روی این صفحه ارتجاعی در نظر بگیریم آنگاه واضح است که یک راه برای تفکیک آنها حرکت دادن آنها در عرض صفحه است . این حالت شبیه حرکت کهکشانها درون فضا است. اما راه دیگری نیز برای افزایش این تفکیک پذیری وجود دارد. این راه دیگر عبارت از کشیدن صفحه ارتجاعی است. در واقع همین راه دوم است که در تفسیر عباراتی نظیر این که ماده، حین انبساط فضا جابهجا میشود بسیار موثر بوده است.
کهکشانهایی که ما در واقعیت رصد میکنیم، به همین دو دلیل در فضا حرکت میکنند. از یک سو حرکت آنها در نتیجه انبساط کیهانی یکنواختی است که توسط جریان هابل شرح داده شده است و از سوی دیگر همان کهکشانها در فضا به دلیل تاثیرات منطقهای هم چون نیروی گرانش تودههای ماده همسایه در فضا جابهجا خواهند شد. تاثیرات منطقهای ممکن است در مقیاس کوچک تسلط داشته باشند و همین نیز دلیل حرکت برخی از کهکشانهای همسایه به سمت ما است. اما در مقیاسهای بزرگتر این تاثیرات به واسطه انبساط کیهانی محو خواهند شد و به همین دلیل است که تمام کهکشانهای دوردست، در حال دور شدن از کهکشان راه شیری رصد میشوند.
یک راه برای تشریح ریاضی انبساط فضا، در نظر گرفتن شبکههای مختصاتی است که میتوانند به همراه فضا منبسط یا منقبض شوند. این شبکههای مختصاتی را دستگاههاي مختصاتي دارای حرکت هماهنگ مینامند و از آنها به شکل فراوانی در کیهان شناسی استفاده میشود . اینگونه از دستگاههاي مختصاتی به شکل شماتیک در تصویر (11) نمایش داده شدهاند. برای روشنتر بودن موضوع در این تصویر تنها شبکه دوبعدی نمایش داده شده است. به دلیل استفاده از شبكههاي مختصاتی هماهنگ، نقاط در فضاي در حال انبساط با وجود اينكه از يكديگر دور ميشوند ولي مختصات ثابتي خواهند داشت. از آنجا كه خود مختصات انبساط فضا را توصیف نمیکند، لازم است پارامتر دیگری که این انبساط را شرح میدهد تعریف شود .
این پارامتر را ضریب مقیاس نامگذاری کردهاند که با نشان داده میشود. t داخل پرانتز نشان میدهد ضریب مقیاس میتواند با گذشت زمان و انبساط و انقباض فضا تغییر کند. اگر با زمان افزایش پیدا کند بنابراین مقدار آن در زمان بزرگتر از مقدار آن در زمان خواهد بود. به همین دلیل فاصله فیزیکی بین دو نقطه با مختصات ثابت، به همان طریقی که در انبساط فضا نیز قابل پیشبینی است افزایش خواهد یافت (این حالتی است که در تصویر 11 نمایش داده شده است) اگر با زمان کاهش پیدا کند آن گاه فاصله بین نقاط نیز کم میشود و میتوان گفت فضا در حالت انقباض قرار گرفته است.

ذکر این نکته مهم است که استفاده از مختصات هماهنگ هرگونه رابطه مستقیم بین تفاوت مختصاتی dz,dy,dx و نیز فاصله فیزیکی واقعی یا ds را بین دو نقطه که با فاصله بسیار اندک از یکدیگر جدا شدهاند را از بین میبرد. برای پیدا کردن فاصله فیزیکی واقعی بین این دو نقطه در زمان t لازم است ضریب مقیاس نیز محاسبه شود. در سادهترین حالت یعنی انبساط فضای تخت با خمیدگی صفر این فاصله فیزیکی را میتوان از رابطه زیر به دست آورد:
فرمول (7) نشان میدهد که اگر فاصله مختصاتی بین دو نقطه dr باشد، آن گاه فاصله فیزیکی بین آن دو در زمان t برابر با خواهد بود که در آن است.
در مدل دسیتر، معادلات میدانی نشان میدهند که ضریب مقیاس با گذر زمان به شکل نمایی رشد میکند. این موضوع در تصویر (12) نیز نمایش داده شده است. شیب منحنی در سرعتی زیاد میشود که مقدارش با مقدار ثابت کیهان شناختی تعیین میشود چرا که در واقع این است که انبساط را تعریف میکند. میتوان نشان داد که در مدل دسیتر روابط به صورت زیر برقرار است:
دسیتر متوجه شده بود كه اگر ماده مطابق با انبساط فضا در مدل او جابهجا شود آنگاه اجرام دوردست توسط انبساط کیهانی از یکدیگر فاصله خواهند گرفت. او هم چنین دريافت که همین موضوع دلیل جابهجایی قرمز در طیف این اجرام دوردست است. البته دسیتر این مطالب را با اطمینان کافی انتشار نداد تا مستحق عنوان کاشف انبساط در هستی باشد اما هابل از نتایج حاصل از مدل دسیتر آگاه بود و در مقاله سال 1929 خود با استناد به نتايج دسيتر نشان داد كه جابهجایی قرمز با فاصله افزایش مییابد. اگر چگالی ماده در هستی قابل چشم پوشی باشد و مدل دسیتر برای هستی صحیح باشد، پس ثابت هابل در رابطه بالا مقدار H را معین خواهد کرد و سپس میتوان از حرکت کهکشانهای دوردست مقدار را نیز به دست آورد.

- پرسش: ضریب مقیاس در مدل اينشتين، مورد بحث قرار نگرفت. اما اگر چنین شود چه چیز را میتوان در مورد ضريب مقياس در مدل اينشتين بيان كرد؟
- پاسخ: از میان مدل های نسبیتی عالم مدل اینشتین یک مدل ایستا از عالم است و به همین دلیل مقدار ضریب مقیاس در آن ثابت است و اگر بخواهیم تصویر (12) را برای مدل اینشتین رسم کنیم که خط افقی ثابت است.
جمع بندی
در این مطلب در مورد ویژگیهایی که مدل های نسبیتی عالم باید داشته باشند مطالبی را بیان کردیم و از میان مدل های نسبیتی عالم دو مدل نسبیتی که توسط اینشتین و دوسیتر معرفی شده بود را مورد بررسی قرار دادیم. مدل اینشتین یکی از مدل های نسبیتی عالم است که یک عالم ایستا و ثابت را تصویر میکند و مدل دوسیتر یکی از مدل های نسبیتی عالم است که یک عالم در حال انبساط را تصویر میکند.