مدل خط انتقال – به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره پارامترهای خط انتقال و پخش بار در سیستم قدرت بحث کردیم. در این آموزش با مدل خط انتقال آشنا می‌شویم. قبل از مطالعه این آموزش، می‌توانید مطلب «دوقطبی در مدارهای الکتریکی» را نیز بررسی کنید.

پارامترهای ABCD مدل خط انتقال

یک خط انتقال هوایی را به صورت یک دوقطبی در نظر می‌گیریم:

که در آن، $$\boldsymbol { V _ { s } }$$ ولتاژ ارسالی یا ابتدای خط، $$\boldsymbol { V _ { r } }$$ ولتاژ دریافتی یا انتهای خط، $$\boldsymbol { I _ { s } }$$ جریان ارسالی یا ابتدای خط و $$\boldsymbol { I _ { r } }$$ جریان دریافتی یا انتهای خط است.

فرض کنید بتوان سیستم را با معادلات کمیت‌های ابتدای خط بر حسب کمیت‌های انتهای خط به صورت زیر توصیف کرد:

$$\large \begin {align*} \boldsymbol { V _ { s } } & = A \boldsymbol { V _{ r } } + B \boldsymbol { I _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } & = C \boldsymbol { V _ { r } } + D \boldsymbol { I _ { r } } \end {align*}$$

که در آن، $$A$$، $$B$$، $$C$$ و $$D$$ ثابت‌ها (حقیقی یا مختلط) هستند. این ثوابت، پارامترهای ABCD خط نامیده می‌شوند.

پارامترهای ABCD را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نوشت:

$$\large \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} A & C \\ B & D \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right]$$

مدل بدون تلفات خط

ساده‌ترین مدل خط انتقال که در آن از مقاومت و خازن صرف‌نظر می‌شود، مدل بدون تلفات نام دارد.

این مدل، به عنوان یک سلف خالص، یعنی با امپدانس زیر نشان داده می‌شود:

$$\large \boldsymbol { Z } = j \omega L = X _ { L }$$

با استفاده از قوانین کیرشهف، می‌توانیم روابط زیر را بنویسیم:

$$\large \begin {align*} \boldsymbol { V _ { s } } & = \boldsymbol { V _ { r } } + X _ { L } \boldsymbol { I _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } & = \boldsymbol { I _ { r } } \end {align*}$$

بنابراین، پارامترهای ABCD خط بدون تلفات (L) به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} 1 & X _ { L } \\ 0 & 1 \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right ]$$

مدل RL خط

با افزودن یک مقاومت سری با سلف، مدل خط انتقال را واقعی‌تر کرد.

در این حالت، امپدانس خط به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \boldsymbol { Z } = R + j \omega L$$

مانند حالت قبل، مقادیر ابتدای خط را بر حسب مقادیر انتهای خط می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} \boldsymbol { V _ { s } } & = \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { Z } \boldsymbol { I _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } & = \boldsymbol { I _ { r } } \end {align*}$$

بنابراین، پارامترهای ABCD خط به صورت زیر خواهند بود:

$$\large \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} 1 & \boldsymbol { Z } \\ 0 & 1 \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V_ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right ]$$

مدل بدون تلفات LC خط 

در دو مدل قبلی، خازن را در نظر نگرفتیم. اما در ولتاژهای بالاتر و خطوط طولانی‌تر، اثر خازن‌ شنت قابل توجه است. بنابراین، در این مدل، خط LC را در نظر می‌گیریم. شکل زیر، مدل مداری این خط را نشان می‌دهد.

اندوکتانس و ظرفیت را می‌توان با راکتانس و سوسپتانس زیر نشان داد:‌

$$\large \begin {align*} X _ { L } & = j \omega L \\ Y _ { C } & = j \omega C \end {align*}$$

با استفاده از قوانین مداری کیرشهف، روابط زیر را داریم:‌

$$\large \begin {align*} \boldsymbol { V _ { s } } & = \boldsymbol { V _ { r } } + X _ { L } \boldsymbol { I _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } & = Y _ { C } \boldsymbol { V _ { s } } + \boldsymbol { I _ { r } } \\ & = Y _ { C} \boldsymbol { V _ { r } } + \left ( 1 + X _ { L } Y _ { C } \right ) \boldsymbol { I _ { r } } \end {align*}$$

بنابراین، پارامترهای ABCD خط انتقال LC به فرم ماتریسی زیر خواهند بود:

$$\large \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} 1 & X _ { L } \\ Y _ { C } & 1 + X _ { L } Y _ { C } \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right ]$$

مدل $$\Large \pi$$ نامی خط

مدل موسوم به $$\pi$$ نامی یا اسمی، تعمیمی از مدل بدون تلفات LC است که در آن یک مقاومت سری اضافه شده و خازن‌های شنت، متعادل شده‌اند (هر نصف خازن در ابتدا و انتها قرار گرفته است).

$$\pi$$ نامی خط" width="363" height="177">

اجزای سری را می‌توان با یک امپدانس و هر یک از خازن‌های موازی را با سوسپتانس نشان داد:

$$\large \begin {align*} \boldsymbol { Z } = R + j \omega L \\ \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } = j \omega \left ( \frac { C } { 2 } \right) \end {align*}$$

قبل از تحلیل مدار، جریان گذرنده از امپدانس سری $$\mathbf{Z}$$ را می‌نویسیم:

$$\large \boldsymbol { I _ { z } } = \boldsymbol { I _ { r } } + \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } \boldsymbol { V _ { r } }$$

با استفاده از KVL، داریم:

$$\large \boldsymbol { V _ { s} } = \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { Z } \boldsymbol { I _ { z } }$$

با جایگذاری $$\boldsymbol{I_{z}}$$ در رابطه قبلی، معادلات زیر را داریم:‌

$$\large \begin {align*} \boldsymbol { V _ { s } } & = \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { Z } \left ( \boldsymbol { I _ { r } } + \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } \boldsymbol { V _ { r } } \right) \\ & = \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 2 } \right ) \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { Z } \boldsymbol { I _ { r } } \\ \boldsymbol { I _ { s } } & = \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } \boldsymbol { V _ { s } } + \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { I _ { r } } \\ & = \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } \left [ \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 2 } \right ) \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { Z } \boldsymbol { I _ { r } } \right ] + \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 } \boldsymbol { V _ { r } } + \boldsymbol { I _ { r } } \\ & = \boldsymbol { Y } \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 4 } \right ) \boldsymbol { V _ { r } } + \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 2 } \right ) \boldsymbol { I _ { r } } \end {align*}$$

بنابراین، پارامترهای ABCD مدل $$\pi$$ اسمی به فرم ماتریسی زیر است:

$$\large \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 2 } \right ) & \boldsymbol { Z } \\ \\ \boldsymbol { Y } \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 4 } \right ) & \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Y } } { 2 } \right ) \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r } } \\ \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right ]$$

مدار خط با پارامتر توزیع شده

مدل‌هایی که در بالا ارائه شد، متمرکز و فشرده شده‌اند، به طوری که خط با پارامترهای $$R$$، $$L$$ و $$C$$ نشان داده شده است. البته در واقعیت، پارامترهای $$R$$، $$L$$ و $$C$$ در طول خط توزیع شده‌اند. بنابراین، در این بخش، مدل توزیع شده خط را به طور خلاصه ارائه خواهیم کرد. در آموزش‌های بعدی به طور مفصل درباره مدل خط با پارامترهای توزیع شده بحث می‌کنیم.

فیلم آموزش بررسی سیستم های قدرت ۱ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

یک مدل با پارامتر توزیع شده را در نظر می‌گیریم که در آن، ولتاژ‌ و جریان هر نقطه $$x$$ در طول خط با معادلات زیر داده می‌شود:

$$\large \mathbf { V } ( x ) = \cosh ( \mathbf { \gamma } x ) \mathbf { V _ { r } } + \mathbf { Z } _ { c } \sinh ( \mathbf { \gamma } x ) \mathbf { I _ { r } }$$

$$\large \mathbf { I } ( x ) = \frac { 1 } { \mathbf { Z } _ { c } } \sinh ( \mathbf { \gamma } x ) \mathbf { V _ { r } } + \cosh ( \mathbf { \gamma } x ) \mathbf { I _ { r } }$$

که در آن، $$\boldsymbol { \gamma } = \sqrt { \boldsymbol { z y } }$$ ثابت انتشار برحسب $$m^{-1}$$ و $$\boldsymbol{Z}_{c} = \sqrt{{\boldsymbol{{\frac{z}{y}}}}}$$ امپدانس مشخصه بر حسب اهم است.

با بررسی معادلات، پارامترهای ABCD را می‌توان به فرم ماتریسی (برای خطی به طول $$l$$ متر) به صورت زیر نوشت:

$$\large \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} \cosh ( \boldsymbol { \gamma } l ) & \boldsymbol { Z } _ { c } \sinh ( \boldsymbol { \gamma } l ) \\ \\ \frac { 1 } { \boldsymbol { Z } _ { c } } sinh ( \boldsymbol { \gamma} l ) & \cosh ( \boldsymbol { \gamma } l ) \end {matrix} \right] \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r } } \\ \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right] \,$$

مدل $$\Large {\pi}$$ خط

مدل خط $$\pi$$ اساساً یک مدل خط است که مدار آن مشابه ساختار خط $$\pi$$ نامی است (شکل ۵).برای به دست آوردن پارامترهای ABCD مشابه، باید امپدانس $$\boldsymbol{Z}$$ و ادمیتانس $$Y_{C} \,$$ را اصلاح کرد، به طوری که:

$$\large \left [ \begin {matrix} A & C \\ B & D \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z ^ \prime } \boldsymbol { Y ^ \prime } } { 2 } \right ) & \boldsymbol { Z ^ \prime } \\ \\ \boldsymbol { Y ^ \prime } \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z ^ \prime } \boldsymbol { Y ^ \prime } } { 4 } \right ) & \left ( 1 + \frac { \boldsymbol { Z ^ \prime } \boldsymbol { Y ^ \prime } } { 2 } \right ) \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} \cosh ( \boldsymbol { \gamma } l ) & \boldsymbol { Z } _ { c } \sinh ( \boldsymbol { \gamma } l ) \\ \\ \frac { 1 } { \boldsymbol { Z } _ { c } } sinh ( \boldsymbol { \gamma } l ) & \cosh ( \boldsymbol { \gamma } l ) \end {matrix} \right ]$$

که در آن، $$\boldsymbol{Z'}$$ و $$\boldsymbol{Y'} \,$$ به ترتیب، امپدانس و ادمیتانس اصلاح شده خط هستند و $$\boldsymbol{\gamma} = \sqrt{\boldsymbol{zy}}$$ ثابت انتشار برحسب $$m^{-1}$$ و $$\boldsymbol{Z}_{c} = \sqrt{\boldsymbol{\frac{z}{y}}}$$ امپدانس مشخصه بر حسب اهم است.

پارامترهای اصلاح شده خط را می‌توان از پارامترهای $$\pi$$ نامی خط به صورت زیر محاسبه کرد:

$$\large \boldsymbol { Z' } = \left[ \frac { \sinh ( \boldsymbol { \gamma} l ) } { \boldsymbol { \gamma } l } \right] \boldsymbol { Z }$$

$$\large \frac { \boldsymbol { Y' } } { 2 } = \left[ \frac { \tanh \left ( \frac { \boldsymbol { \gamma } l } {2 } \right ) } { \frac { \boldsymbol { \gamma } l } { 2 } } \right ] \frac { \boldsymbol { Y } } { 2 }$$

همچنین، این پارامترها به صورت زیر نیز نوشته می‌شوند:

$$\large \boldsymbol { Z' } = \boldsymbol { Z } _ { c } \sinh ( \boldsymbol { \gamma } l )$$

$$\large \frac { \boldsymbol { Y' } } { 2 } = \frac { 1 }{ \boldsymbol { Z } _ { c } } \tanh \left ( \frac { \boldsymbol { \gamma } l } { 2 } \right )$$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش شبیه سازی سیستم های قدرت با PowerWorld Simulator
• سیستم پریونیت (Per-Unit) — از صفر تا صد
• نمودار تک خطی (Single Line Diagram) — به زبان ساده
• مدار سه فاز — از صفر تا صد

^^