مجموع زوایای چند ضلعی مقعر — به زبان ساده + حل تمرین و اثبات فرمول

مجموع زوایای چند ضلعی مقعر به تعداد ضلع‌های آن بستگی دارد. مجموع زاویه داخلی یک n ضلعی مقعر برابر با °۱۸۰ × (n - ۲) است. البته، مجموع زوایای خارجی یک n ضلعی مقعر، فارغ از تعداد ضلع‌ها (n)، همواره برابر با ۳۶۰ درجه می‌شود. در این مقاله، ضمن ارائه تعاریف و فرمول‌های زوایای داخلی و خارجی، نحوه محاسبه مجموع چند ضلعی مقعر را به همراه حل چندین مثال را آموزش می‌دهیم. به علاوه، هر یک از فرمول‌های ارائه شده را نیز اثبات می‌کنیم.

چند ضلعی مقعر چیست و چه اجزایی دارد؟

به چندضلعی‌های دارای حداقل یک زاویه بزرگ‌تر از ۱۸۰ درجه، چندضلعی مقعر یا کاو می‌گویند. چندضلعی‌های مقعر نیز مانند دیگر انواع چندضلعی، از ضلع، راس و زاویه تشکیل می‌شوند.

یک چندضلعی مقعر، حداقل چهار ضلع و زاویه دارد. زاویه‌های چندضلعی، داخلی یا خارجی هستند.

زاویه داخلی چند ضلعی مقعر چیست؟

از اتصال دو ضلع به یکدیگر، یک راس یا گوشه تشکیل می‌شود. به زاویه راس‌های چندضلعی مقعر، زاویه داخلی می‌گویند.

به عنوان مثال، زوایای داخلی یک چهارضلعی مقعر در تصویر زیر نمایش داده شده‌اند. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، یکی از این زوایا، بزرگ‌تر از ۱۸۰ درجه است.

با جمع زاویه‌های چهارضلعی مقعر بالا، خواهیم داشت:

۳۶۰° = ۲۰° + ۲۶۰° + ۳۵° + ۴۵°

اگر چهارضلعی بالا به هر شکل دیگری بود یا هر زاویه داخلی دیگری داشت، حاصلِ جمع چهار زاویه داخلی آن برابر با ۳۶۰ درجه می‌شد؛ چراکه مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر، فقط به تعداد ضلع‌های آن بستگی دارد.

فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر

فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر عبارت است از:

$$
S = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی چندضلعی مقعر
• n: تعداد ضلع‌های چندضلعی مقعر

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، حاصل‌جمع زاویه‌های داخلی چند ضلعی مقعر، با توجه به تعداد ضلع‌های آن تعیین می‌شود. به عبارت دیگر، شکل و اندازه جداگانه هر یک از زاویه‌ها، بر روی این حاصل‌جمع تاثیری ندارد.

مثال ۱: محاسبه مجموع زوایای داخلی پنج ضلعی مقعر

مجموع زوایای داخلی پنج‌ضلعی مقدر چقدر است؟

به منظور محاسبه مجموع زوایای داخلی پنج‌ضلعی، فرمول آن را می‌نویسیم و به جای n، تعداد ضلع‌ها (۵) را قرار می‌هیم:

$$
S = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ( ۵ – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ( ۳ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ۵۴۰°
$$

مثال ۲: تعیین زاویه داخلی چند ضلعی مقعر

مجموع پنج زاویه داخلی یک شش‌ضلعی مقعر برابر با ۴۵۰ درجه است. اندازه زاویه داخلی ششم را به دست بیاورید.

حاصل‌جمع زاویه داخلی ششم با مجموع پنج زاویه داخلی، همان مجموع زوایای داخلی شش‌ضلعی است که توسط رابطه زیر محاسبه می‌شود:

$$
S = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی شش‌ضلعی
• n: تعداد ضلع‌ها برابر با ۶

$$
S = ( ۶ – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ( ۴ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ۷۲۰°
$$

مثال ۳: محاسبه تعداد ضلع‌های چند ضلعی مقعر

مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی مقعر برابر با ۹۰۰ درجه است. این چندضلعی مقعر، چند ضلع دارد؟

برای تعیین تعداد ضلع‌های یک چندضلعی مقعر می‌توانیم از فرمول مجموع زوایای داخلی استفاده کنیم:

$$
S = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی چندضلعی مقعر برابر با ۹۰۰ درجه
• n: تعداد ضلع‌ها

$$
۹۰۰° = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
( n – ۲ ) = \frac { ۹۰۰° }{ ۱۸۰° }
$$

$$
n – ۲ = ۵
$$

$$
n = ۵ + ۲
$$

$$
n = ۷
$$

در نتیجه، چندضلعی مقعر مورد سوال، یک هفت‌ضلعی است.

مثال ۴: تشخیص نوع چندضلعی از روی مجموع زوایای داخلی

یک بیست ضلعی را در نظر بگیرید. با فرض برابر بودن تمام زوایای داخلی این بیست ضلعی، مقعر یا غیر مقعر بودن آن را مشخص کنید.

اگر یکی از زاویه‌های داخلی، بزرگ‌تر از ۱۸۰ درجه باشد، بیست‌ضلعی مقعر خواهد بود. به منظور بررسی این موضوع، مجموع زوایای داخلی بیست‌ضلعی را به دست می‌آوریم:

$$
S = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی بیست‌ضلعی
• n: تعداد ضلع‌ها برابر با ۲۰

$$
S = ( ۲۰ – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ( ۱۸ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S = ۳۲۴۰°
$$

به دلیل برابر بودن اندازه تمام زاویه‌ها، اندازه هر زاویه داخلی، از تقسیم مجموع زوایای داخلی بر تعداد ضلع‌ها به دست می‌آید:

$$
\frac { ۳۲۴۰° } { ۲۰ } = ۱۶۲°
$$

تمام زاویه‌های بیست‌ضلعی برابر با ۱۶۲ درجه هستند. بنابراین، این بیست‌ضلعی نمی‌تواند مقعر باشد. به طور کلی، چندضلعی مقعر با زاویه‌های برابر وجود ندارد.

اثبات مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر

اثبات مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر، با استفاده از قضیه مجموع زوایای داخلی مثلث انجام می‌گیرد. بر اساس این قضیه، در هر مثلث، مجموع زوایای داخلی برابر با ۱۸۰ درجه است.

از طرف دیگر، هر n ضلعی را می‌توان به مجموعه‌ای از (n - ۲) مثلث غیر متقاطع و بهم پیوسته تقسیم کرد. در نتیجه، جمع زوایای هر چندضلعی مقعر، برابر است با:

۱۸۰° × (n - ۲) = مجموع زوایای داخلی

به عنوان مثال، پنج‌ضلعی مقعر زیر را در نظر بگیرید.

اگر یکی از راس‌های این پنج‌ضلعی را به راس‌های غیر مجاور وصل کنیم، قطرهای آن به وجود می‌آیند. این قطرها، پنج‌ضلعی را به سه مثلث تقسیم می‌کنند.

مجموع زوایای داخلی پنج‌ضلعی مقعر بالا، از جمع زوایای داخلی سه مثلث تشکیل‌دهنده آن به دست می‌آید. به عبارت دیگر:

۵۴۰° = ۱۸۰° × ۳ = مجموع زوایای داخلی پنج‌ضلعی

برای یادگیری بیشتر در این زمینه، مطالعه مطلب «فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی + حل تمرین» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

زاویه خارجی چند ضلعی مقعر چیست؟

اگر یکی از ضلع‌های چندضلعی مقعر امتداد دهیم، بین امتداد و ضلع مجاور آن، یک زاویه به وجود می‌‌آید. این زاویه با عنوان زاویه خارجی شناخته می‌شود.

در تصویر زیر، زوایای خارجی یک چهارضلعی مقعر نمایش داده شده‌اند. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، زوایای خارجی مجاور راس مقعر (بزرگ‌تر از ۱۸۰ درجه)، منفی هستند.

با جمع زوایای خارجی شکل بالا، خواهیم داشت:

۳۶۰° = ۱۶۰° + ۸۰° - ۱۴۵° + ۱۳۵°

بنابراین، مجموع زوایای خارجی این چهارضلعی مقعر برابر با ۳۶۰ درجه است. البته این مقدار به شکل و تعداد ضلع‌های چندضلعی بستگی ندارد.

مجموع زوایای خارجی چند ضلعی مقعر

مجموع زوایای زوایای خارجی هر چند ضلعی مقعر، همواره برابر با ۳۶۰ درجه است. در بخش قبل، این عدد را برای یک چهارضلعی مقعر به دست آوردیم. برای دیگر چندضلعی‌های مقعر نیز مجموع زوایای خارجی برابر با ۳۶۰ درجه خواهد بود.

رابطه بین زاویه داخلی و خارجی چند ضلعی مقعر

زوایای داخلی و خارجی چندضلعی مقعر، مکمل یکدیگر هستند. اگر اندازه یک زاویه خارجی را با زاویه داخلی مجاور آن را با یکدیگر جمع کنیم، به عدد ۱۸۰ درجه می‌رسیم. این قضیه برای تمام زوایای داخلی و خارجی مجاور صدق می‌کند. به عنوان مثال، در تصویر زیر، زوایای داخلی یک چهارضلعی مقعر به همراه زوایای خارجی مجاور آن‌ها نمایش داده شده است.

حاصل‌جمع هر زاویه داخلی با زاویه خارجی مجاورش برابر است با:

۱۸۰° = ۱۳۵° + ۴۵°

۱۸۰° = ۱۴۵° + ۳۵°

۱۸۰° = ۸۰° - ۲۶۰°

۱۸۰° = ۱۶۰° + ۲۰°

مثال ۴: محاسبه مجموع زوایای خارجی پنج ضلعی مقعر

اندازه زاویه‌های داخلی یک پنج‌ضلعی مقعر برابر هستند با:

• A = ۶۱°
• ۲۲۹° = B
• ۴۹° = C
• ۱۰۷° = D
• ۹۴° = E

مجموع زوایای خارجی این پنج‌ضلعی مقعر را محاسبه کنید.

می‌دانیم که مجموع زوایای خارجی هر چندضلعی مقعر برابر با ۳۶۰ درجه است. با این وجود، صورت مسئله، محاسبه این مجموع را می‌خواهد. به این منظور، ابتدا باید اندازه هر یک از زاویه‌های خارجی را به دست بیاوریم. مجموع زاویه‌های داخلی و خارجی هر راس، برابر با ۱۸۰ درجه است. به این ترتیب، داریم:

$$
A + A' = ۱۸۰°
$$

$$
B + B' = ۱۸۰°
$$

$$
C + C' = ۱۸۰°
$$

$$
D + D' = ۱۸۰°
$$

$$
E + E' = ۱۸۰°
$$

با توجه به روابط بالا، اندازه هر زاویه خارجی به دست می‌آید:

$$
۶۱° + A' = ۱۸۰°
$$

$$
A' = ۱۸۰° - ۶۱° = ۱۱۹°
$$

$$
۲۲۹° + B' = ۱۸۰°
$$

$$
B' = ۱۸۰° - ۲۲۹° = -۴۹°
$$

$$
۴۹° + C' = ۱۸۰°
$$

$$
C' = ۱۸۰° - ۴۹° = ۱۳۱°
$$

$$
۱۰۷° + D' = ۱۸۰°
$$

$$
D' = ۱۸۰° - ۱۰۷° = ۷۳°
$$

$$
۹۷° + E' = ۱۸۰°
$$

$$
E' = ۱۸۰° - ۹۴° = ۸۶°
$$

اکنون، تمام زوایای خارجی به دست آمده را با هم جمع می‌کنیم:

$$
۱۱۹° + (-۴۹°) + ۱۳۱° + ۷۳° + ۸۶° = ۳۶۰°
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مجموع زوایای خارجی یک پنج‌ضلعی مقعر نیز برابر با ۳۶۰ درجه شد.

مثال ۵: تعیین زاویه خارجی چندضلعی مقعر

مجموع شش زاویه خارجی یک هفت‌ضلعی مقعر، برابر با ۲۷۸ درجه است. اندازه زاویه خارجی هفتم را حساب کنید.

جمع زوایای خارجی هفت‌ضلعی مقعر نیز مانند دیگر چندضلعی‌های مقعر برابر با ۳۶۰ درجه است. بنابراین:

۳۶۰° = زاویه خارجی هفتم + جمع شش زاویه خارجی

۳۶۰° = زاویه خارجی هفتم + °۲۷۸

۲۷۸° - ۳۶۰° = زاویه خارجی هفتم

۸۲° = زاویه خارجی هفتم

اثبات مجموع زوایای خارجی چند ضلعی مقعر

اثبات مجموع زوایای خارجی چند ضلعی مقعر با توجه به فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی، جمع زاویه داخلی با زاویه خارجی مجاور و جمع تمام زوایای داخلی با زوایای خارجی انجام می‌گیرد.

جمع زاویه داخلی یک راس با زاویه خارجی مجاور آن برابر با ۱۸۰ درجه است. در یک n ضلعی، n زاویه داخلی و خارجی وجود دارد. در نتیجه، جمع تمام زوایا برابر است با:

۱۸۰° × n = جمع تمام زوایا

از طرفی، جمع تمام زوایای چندضلعی مقعر از رابطه زیر نیز به دست می‌آید:

مجموع زوایای خارجی + مجموع زوایای داخلی = جمع تمام زوایا

بنابراین:

۱۸۰°n = مجموع زوایای خارجی + مجموع زوایای داخلی

فرمول مجموع زوایای داخلی عبارت است از:

$$
S = ( n – ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

اگر مجموع زوایای خارجی را با 'S نمایش می‌دهیم. به این ترتیب، داریم:

$$
( n - ۲ ) \times ۱۸۰° + S' = ۱۸۰ ^ { \circ } n
$$

$$
S' = ۱۸۰ ^ { \circ } n - ( n - ۲ ) \times ۱۸۰°
$$

$$
S' = ۱۸۰ ^ { \circ } n - ۱۸۰ ^ { \circ }n + ۳۶۰ ^ { \circ }
$$

$$
S' = ۳۶۰ ^ { \circ }
$$

در نتیجه، مجموع زوایای خارجی چند ضلعی مقعر، بدون توجه به تعداد ضلع‌های آن (n)، همواره برابر با ۳۶۰ درجه خواهد بود.

سوالات متداول در رابطه با مجموع زوایای چند ضلعی مقعر

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با زوایای چند ضلعی مقعر به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

به چند ضلعی که حداقل یک زاویه بزرگتر از ۱۸۰ دارد چه می‌گویند ؟

به چندضلعی که حداقل یک زاویه بزرگتر از ۱۸۰ دارد، چندضلعی مقعر می‌گویند.

مجموع زوایای داخلی n ضلعی مقعر چند است؟

مجموع زوایای داخلی n ضلعی مقعر برابر با °۱۸۰ × (n - ۲) است.

مجموع زوایای خارجی n ضلعی مقعر چند است؟

مجموع زوایای خارجی n ضلعی مقعر برابر با ۳۶۰ درجه است.

مجموع زوایای چهارضلعی مقعر چند است؟

مجموع زوایای داخلی چهارضلعی مقعر و همچنین مجموع زوایای خارجی چهارضلعی مقعر برابر با ۳۶۰ درجه است.

مجموع زوایای پنج ضلعی مقعر چند است؟

مجموع زوایای داخلی پنج‌ضلعی مقعر برابر با ۵۴۰ درجه و مجموع زوایای خارجی آن برابر با ۳۶۰ درجه است.

مجموع زوایای شش ضلعی مقعر چند است؟

مجموع زوایای داخلی شش‌ضلعی مقعر برابر با ۷۲۰ درجه و مجموع زوایای خارجی آن برابر با ۳۶۰ درجه است.

مجموع زوایای چند ضلعی مقعر ستاره ای چند است؟

مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر ستاره‌ای با n ضلع، برابر با °۱۸۰ × (n - ۲) و مجموع زوایای خارجی آن برابر ۳۶۰ درجه است.