در آموزشهای قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزشها، روشهای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله لاگرانژ و معادله کلرو پرداختیم. در این آموزش، یکی از ابزارهای حل معادلات دیفرانسیل، یعنی «عملگر دیفرانسیلی» (Differential Operator) را معرفی میکنیم.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریعتر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
تعریف عملگر دیفرانسیلی
عملگرها یا اپراتورهای دیفرانسیلی، تعمیمی از عملیات مشتقگیری هستند. سادهترین عملگر دیفرانسیلی D روی تابع y عمل کرده و مشتق اول آن را نتیجه میدهد:
Dy(x)=y’(x).
دو بار اعمال D منجر به مشتق دوم y(x) میشود:
D2y(x)=D(Dy(x))=Dy’(x)=y′′(x).
به طریق مشابه، توان nاُم D، مشتق مرتبه n را به دست میدهد:
Dny(x)=y(n)(x).
در اینجا فرض میکنیم میتوان n بار از تابع y(x) مشتق گرفت.
عملگرهای دیفرانسیلی ممکن است بسته به توصیف دیفرانسیل پیچیدهتر باشند؛ برای مثال، عملگر دیفرانسیلی نابلا (Nabla) اغلب در تحلیل برداری استفاده و به صورت زیر تعریف میشود:
∇=∂x∂i+∂y∂j+∂z∂k
که در آن i، j و k بردارهای یکه در طول محورهای مختصات x، y و z هستند.
در نتیجه اِعمال عملگر ∇ بر یک میدان اسکالر F، گرادیان میدان برداری F به دست میآید:
∇F=∂x∂Fi+∂y∂Fj+∂z∂Fk.
بردار گرادیان همیشه جهت بزرگترین افزایش تابع F را نشان میدهد و طول آن، نرخ افزایش تابع را در این جهت مشخص میکند.
ضرب اسکالر یا ضرب داخلی بردار ∇ و میدان برداری V به عنوان دیورژانس بردار V شناخته میشود:
∇⋅V=divV=∂x∂Vx+∂y∂Vy+∂z∂Vz.
ضرب برداری دو بردار ∇ و V، کرل بردار V را نتیجه میدهد:
$$ \large { \nabla \times \mathbf { V } = \text {rot} \, \mathbf { V } }<br />
= { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br />
\mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\<br />
{ \frac { \partial } { { \partial x } } } & { \frac { \partial } { { \partial y } } } & { \frac { \partial } { { \partial z } } } \\<br />
{ { V _ x } } & { { V _ y } } & { { V _ z } }<br />
\end{array} } \right | . } $$
ضرب نقطهای ∇⋅∇=∇2، متناظر با یک عملگر دیفرانسیلی اسکالر است که عملگر لاپلاس یا لاپلاسین نامیده شده و با نماد Δ نشان داده میشود:
Δ=∇2=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2.
اکنون که با عملگرهای دیفرانسیلی آشنا شدیم، کاربرد این عملگر را در معادلات دیفرانسیل معرفی میکنیم.
عملگر دیفرانسیلی L(D)
معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n زیر را در نظر بگیرید:
y(n)(x)+a1(x)y(n–1)(x)+⋯+an–1(x)y’(x)+an(x)y(x)=f(x).
با استفاده از عملگر D، معادله دیفرانسیل بالا را میتوان به صورت زیر نوشت:
L(D)y(x)=f(x)
که در آن، L(D) چندجملهای دیفرانسیل زیر است:
L(D)=Dn+a1(x)Dn–1+⋯+an–1(x)D+an(x).
به عبارت دیگر، عملگر L(D)، یک چندجملهای جبری است که در آن، عملگر دیفرانسیلی D نقش یک متغیر را بازی میکند.
در ادامه، چند ویژگی عملگر L(D) را بررسی میکنیم:
۱. عملگر L(D) خطی است:
L(D)[C1y1(x)+C2y2(x)]=C1L(D)y1(x)+C2L(D)y2(x).
در حالتی که چند عملگر L(D)، M(D) و N(D) داشته باشیم (درجه چندجملهایها میتواند متفاوت باشد)، روابط زیر برقرار است:
۲. ویژگی جابهجاپذیری:
L(D)+M(D)=M(D)+L(D).
۳. ویژگی انجمنی یا شرکتپذیری:
[L(D)+M(D)]+N(D)=L(D)+[M(D)+N(D)].
برای دو عملگر L(D) و M(D)، عمل ضرب را میتوان تعریف کرد:
[L(D)⋅M(D)]y(x)=L(D)⋅[M(D)y(x)].
لازم به ذکر است که عمل ضرب برای عملگرهای دیفرانسیلی با ضرایب ثابت، جابهجاییپذیر است؛ یعنی برای عملگرهایی به فرم L(D)=Dn+a1Dn–1+⋯+an–1D+an که a1,…,an اعداد ثابتی هستند، ویژگیهای چهار تا شش برقرار است:
۴. قانون جابهجاییپذیری ضرب:
L(D)⋅M(D)=M(D)⋅L(D)
۵. قانون شرکتپذیری ضرب:
[L(D)⋅M(D)]⋅N(D)=L(D)⋅[M(D)⋅N(D)]
۶. قانون توزیع ضرب روی جمع:
L(D)⋅[M(D)+N(D)]=L(D)⋅M(D)+L(D)⋅N(D)
۷. یک ویژگی مفید دیگر عملگر D به صورت زیر است:
DmDn=Dm+n.
همانطور که میبینیم، عملگرهای دیفرانسیلی L(D) با ضرایب ثابت، ویژگیهای مشابهی با چندجملههایهای جبری معمولی دارند. در نتیجه، مانند چندجملهایهای جبری، میتوان عملگرهای L(D) با ضرایب ثابت را ضرب و تقسیم کرد و از آنها فاکتور گرفت. این ویژگیها در حل معادلات دیفرانسیل مورد استفاده قرار میگیرند.
مثالها
در ادامه، چند مثال از عملگرهای دیفرانسیلی و کاربرد آنها بیان میشود.
مثال ۱
صحت قانون جابهجاپذیری ضرب را برای عملگرهای L=D2+1 و M=2D+3 تحقیق کنید.
حل: ابتدا LMy را محاسبه میکنیم:
My=(2D+3)y=2y’+3y.
بنابراین، عبارت دیفرانسیلی زیر به دست میآید:
LMy=L(My)=(D2+1)(2y’+3y)=2y′′′+3y′′+2y’+3y=(2D3+3D2+2D+3)y.
اکنون MLy را محاسبه میکنیم:
Ly=(D2+1)y=y′′+y.
بنابراین:
MLy=M(Ly)=(2D+3)(y′′+y)=2y′′′+3y′′+2y’+3y=(2D3+3D2+2D+3)y.
میبینیم که قانون جابهجاییپذیری ضرب برای این دو عملگر برقرار است (برای هر عملگر L(D) با ضرایب ثابت برقرار است).
مثال ۲
صحت قانون جابهجاپذیری ضرب را برای عملگرهای L=xD–1 و M=D2+x2 تحقیق کنید.
حل: ابتدا عبارت دیفرانسیلی LMy را محاسبه میکنیم:
My=(D2+x2)y=y′′+x2y,LMy=L(My)=(xD–1)(y′′+x2y)=xy′′′–y′′+x(2xy+x2y’)–x2y=xy′′′–y′′+2x2y+x3y’–x2y=xy′′′–y′′+x3y’+x2y=(xD3–D2+x3D+x2)y.
به طریق مشابه، MLy را محاسبه و نتایج را مقایسه میکنیم:
$$ \large { L y = \left ( { x D – 1 } \right ) y } = { x y ’ – y ,} \require{cancel}<br />
{ M L y = M \left ( { L y } \right ) } \\<br />
= { \left ( { { D ^ 2 } + { x ^ 2 } } \right ) \left ( { x y ’ – y } \right ) }<br />
= { { D \left ( { y ’ + x y ^ { \prime \prime } } \right ) } + { { x ^ 3 } y ’ – y ^ { \prime \prime } – { x ^ 2 } y } } \\ \large<br />
= { { y ^ { \prime \prime } + \cancel { y ^ { \prime \prime } } + x y ^ { \prime \prime \prime } } - { \cancel { y ^ { \prime \prime } } + { x ^ 3 } y ’ – { x ^ 2 } y } } \\ \large<br />
= { x y ^ { \prime \prime \prime } + y ^ { \prime \prime } + { x ^ 3 } y ’ – { x ^ 2 } y } = { \left ( { x { D ^ 3 } + { D ^ 2 } + { x ^ 3 } D – { x ^ 2 } } \right ) y . } $$
همانطور که میبینیم، عملگرهای L و M نتایج متفاوتی دارند. این عدم تشابه برای عملگرهایی با ضرایب متغیر، قابل انتظار است.
مثال ۳
یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل y′′′+3y=e2x را با استفاده از روش عملگر بیابید.
حل: عملگر دلخواه L(D) با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید که به تابع نمایی ekx اعمال میشود:
L(D)ekx=(kn+a1kn–1+⋯+an)ekx=L(k)ekx.
در نتیجه میتوان نوشت:
L(D)[L(k)ekx]=ekx.
از آنجایی که معادله دیفرانسیل به فرم عملگرِ
L(D)y=ekx
نوشته میشود، یکی از جوابها تابع زیر خواهد بود:
y1=L(k)ekx.
در این مثال، عملگر برابر است با:
L(D)=D3+3.
بنابراین، جواب خصوصی معادله دیفرانسیل به صورت زیر است:
y1=L(k)ekx=k3+3ekx=23+3e2x=11e2x.
مثال ۴
یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل yIV–y′′+y=2sinx را با استفاده از روش عملگر بیابید.
حل: معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
L(D)y=2sinx
یا
(D4–D2+1)y=2sinx.
این چندجملهای دیفرانسیل فقط شامل جملاتی با توانهای زوج D است. با اعمال عملگر D2 بر تابع Asinkx داریم:
D2y=D2(Asinkx)=–k2Asinkx=–k2y.
واضح است که برای چندجملهای دیفرانسیل دلخواه L(D2) با ضرایب ثابت، فرمول زیر برقرار است:
L(D2)y=L(D2)(Asinkx)=L(–k2)Asinkx=L(–k2)y.
جواب خصوصی به صورت زیر است:
y1=L(–k2)Asinkx.
در این مثال، سمت راست معادله برابر با 2sinx است و عملگر دیفرانسیل را میتوان به صورت زیر نوشت:
L(D2)=(D2)2–D2+1.
در نتیجه، پاسخ نهایی برابر است با:
y1=L(–k2)Asinkx=(–k2)2–(–k2)+1Asinkx=(–12)2–(–12)+12sinx=32sinx.
فیلم های آموزش عملگر دیفرانسیلی – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
فیلم آموزشی عملگرهای دیفرانسیلی
فیلم آموزشی عملگر دیفرانسیلی $$L (D)$$
فیلم آموزشی حل چند مثال از عملگر دیفرانسیلی
یکم عملگر D رو بیشتر توضیح بدید مخصوصا یافتن خصوصی لطفاااا