در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره معادلات دیفرانسیل بحث و روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی کردیم. معادله کلرو نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در این آموزش به معرفی آن می‌پردازیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

معادله کلرو

معادله‌ای به فرمِ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large y = x y ’ + \psi \left ( { y ’ } \right ) $$

که در آن، $$ \psi \left( {y’} \right) $$ یک تابع غیرخطی مشتق‌پذیر است. این معادله، «معادله کلرو» (Clairaut Equation) نامیده می‌شود. معادله کلرو یک حالت خاص از معادله لاگرانژ است ($$ \varphi \left( {y’} \right) = y’ $$). این معادله، مشابه معادله لاگرانژ، با تعریف یک پارامتر حل می‌شود. جواب عمومی این معادله به صورت زیر است:

$$ \large y = C x + \psi \left ( C \right ) $$

که در آن، $$C$$ یک ثابت اختیاری است.

مشابه معادله لاگرانژ‌، معادله کلرو نیز ممکن است جواب تکین داشته باشد که به صورت پارامتری زیر نوشته می‌شود:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
x = – \psi ’ \left( p \right) \\
y = x p + \psi \left ( p \right )
\end {array} \right . $$

که در آن $$p$$ یک پارامتر است.

مثال‌ها

در این بخش، دو مثال مربوط به معادله دیفرانسیل کلرو بیان می‌کنیم.

مثال 1

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = x y ’ + { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } $$ را بیابید.

حل:‌ این معادله، معادله کلرو است. با قرار دادن $$ y’ = p $$، معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large y = x p + { p ^ 2 } . $$

با دیفرانسیل‌گیری، داریم:

$$ \large { d y = x d p + p d x } + { 2 p d p . } $$

اکنون مقدار $$pdx$$ را به جای $$dy$$ قرار می‌دهیم:

$$ \large \require {cancel}
{ { \cancel { p d x } = x d p + \cancel { p d x } } + { 2 p d p , \; \; } } \Rightarrow
{ d p \left( { x + 2 p } \right ) = 0 . } $$

با صفر قرار دادن عامل اول، داریم:

$$ \large d p = 0 , \; \; \Rightarrow p = C . $$

اکنون معادله بالا را در معادله دیفرانسیل قرار می‌دهیم:

$$ \large y = C x + { C ^ 2 } . $$

بنابراین، جواب عمومی معادله کلرو، دسته‌ای تک‌پارامتری از خطوط راست است.

حال عامل دوم را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$ \large { x + 2 p = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = – 2 p . } $$

در نتیجه،‌ جواب تکین معادله دیفرانسیل به فرم پارامتری حاصل می‌شود:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
x = – 2 p \\
y = x p + { p ^ 2 }
\end {array} \right . . $$

با حذف $$p$$ از دستگاه معادلات بالا، معادله منحنی کامل به دست می‌آید:

$$ \large { p = – \frac { x } { 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ y = x \left ( { – \frac { x } { 2 } } \right ) + { \left ( { – \frac { x } { 2 } } \right ) ^ 2 } }
= { – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } }
= { – \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } . } $$

از نظر هندسی، منحنی $$ y = – \large\frac{{{x^2}}}{4}\normalsize $$ یک پوش برای دسته‌ای از خطوط راست است که با جواب عمومی تعریف می‌شود (شکل ۱).

 

شکل ۱
شکل ۱

مثال ۲

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = x y ’ + \sqrt { { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } + 1 } $$ را بیابید.

حل:‌ این معادله، معادله کلرو است. با قرار دادن $$ y’ = p $$، معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large y = x p + \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } . $$

با دیفرانسیل‌گیری، داریم:

$$ \large { d y = x d p + p d x } + { \frac { { p d p } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } . } $$

از آن‌جایی که $$dy=pdx$$، می‌توان نوشت:

$$ \large { { \cancel { p d x } = x d p + \cancel { p d x } } + { \frac { { p d p } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } , \; \; } } \\ \large \Rightarrow
{ \left ( { x + \frac { p } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } } \right ) d p = 0 . } $$

حالت $$ dp = 0 $$ را در نظر می‌گیریم و در نتیجه آن داریم: $$p=C$$. با جایگذاری این عبارت در معادله، جواب عمومی به دست می‌آید:

$$ \large y = C x + \sqrt { { C ^ 2 } + 1 } . $$

این جواب، متناظر با دسته‌ای از خطوط راست تک‌پارامتری است.

حالت دوم، با معادله $$ x = – { \large \frac { p } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } \normalsize } $$ توصیف می‌شود. توصیف پارامتری $$y$$ به صورت زیر است:

$$ \large { y = x p + \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } }
= { – \frac { { p ^ 2 } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } + \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } \\ \large
= { \frac { { – \cancel { p ^ 2 } + \cancel { p ^ 2 } + 1 } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } }
= { \frac { 1 } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } . } $$

پارامتر $$p$$ را می‌توان از فرمول‌های $$x$$ و $$y$$ حذف کرد. با به توان دو رساندن و جمع این دو معادله، داریم:

$$ \large { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } }
= { { \left ( { – \frac { p } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } } \right ) ^ 2 } } + { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } } \right ) ^ 2 } }
= { \frac { \cancel { { p ^ 2 } + 1 } } { \cancel { { p ^ 2 } + 1 } } } = { 1 . } $$

معادله اخیر، دایره‌ای به شعاع یک و مبدأ مرکز مختصات است. بنابراین، جواب تکین با دایره واحد در صفحه $$xy$$ مشخص می‌شود که پوش خطوط راست است (شکل ۲).

شکل ۲
شکل ۲

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش معادله کلرو — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی معادله کلرو

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از معادله کلرو

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 7 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “معادله کلرو — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *