حرکت دایره ای یکنواخت در فیزیک – به زبان ساده + تعریف، کاربرد و مثال

در حرکت دایره ای یکنواخت جسم در یک مسیر دایره‌ای شکل و با تندی ثابت در حال حرکت است. بنابراین دو مشخصه اولیه و مهم این نوع حرکت در علم فیزیک مسیر دایره‌ای و تندی ثابت به معنای ثابت ماندن اندازه سرعت است. این در حالی است که جهت حرکت جسم یا جهت بردار سرعت همواره در حال تغییر است و همین مسئله موجب می‌شود تا جسم شتابی به نام «شتاب مرکزگرا یا شتاب مرکزی» به‌دست آورد. در این مطلب از مجله فرادرس در مورد ویژگی‌های این نوع حرکت صحبت می‌کنیم.

پس از اینکه با کلیات و تعریف حرکت دایره‌ ای یکنواخت در اولین بخش آشنا شدید، لازم است ابتدا تفاوت تندی و سرعت را بدانید. سپس با فرمول‌‌های این حرکت در قالب حل مثال و تمرین آشنا خواهید شد. در ادامه یاد می‌گیرید که تفاوت شتاب مرکزگرا با شتاب گریز از مرکز چیست و حرکت دایره‌ای غیریکنواخت چه ویژگی‌هایی دارد. همچنین کاربرد‌های حرکت دایره ای یکنواخت را در قالب چند مثال خواهید شناخت.

تعریف حرکت دایره‌ ای یکنواخت چیست؟

به حرکت جسمی با تندی ثابت در یک مسیر دایره‌ای شکل، حرکت دایره ای یکنواخت گفته می‌شود. منظور ما از تندی ثابت این است که اندازه سرعت تغییری نمی‌کند، اما جهت بردار سرعت یا به‌طور کلی سرعت جسم در هر نقطه از این مسیر دایره‌ای متفاوت است. نتیجه تغییرات سرعت، ایجاد شتاب ثابتی به نام شتاب مرکزگرا (شتاب مرکزی) و نیروی مرکزگرا (نیروی مرکزی) است که همواره در راستای شعاع مسیر دایره‌ای و به سمت مرکز آن هستند.

پس از ارائه کلیات حرکت دایره‌ ای یکنواخت، حالا می‌خواهیم جزئیات آن را با هم مرور کنیم. جسمی را فرض کنید که در حال حرکت روی یک مسیر دایره‌ای شکل است. این جسم در هر نقطه از مسیر خود دارای سرعتی با اندازه و جهت مشخص است. اگر به اندازه‌گیری مقدار عددی سرعت این جسم در هر نقطه از مسیر بپردازیم، خواهیم دید که برای تمام نقاط این مسیر اندازه سرعت یا تندی برابر با عدد یکسانی خواهد شد. این در حالی است که جهت حرکت جسم یا جهت بردار سرعت پیوسته در حال تغییر است.

جهت سرعت در هر نقطه توسط بردار مماس بر آن نقطه نشان داده می‌شود و در تصویر بالا تغییرات سرعت کاملا مشخص است. طبق تعاریف مکانیک کلاسیک و با در نظر گرفتن فرمول‌های سینماتیک، می‌دانیم تغییرات سرعت با زمان منجر به ایجاد شتاب خواهد شد و فرقی ندارد که تغییرات سرعت فقط شامل تغییرات جهت آن باشد یا فقط شامل تغییر اندازه آن یا هر دو. در حرکت دایره‌ ای یکنواخت تغییرات سرعت معادل است با تغییر جهت و نه تغییر اندازه سرعت.

بنابراین شتابی داریم که شتاب مرکزی یا مرکزگرا نامیده می‌شود. علت این نامگذاری این است که جهت شتاب همواره به سمت داخل و مرکز مسیر دایره‌ای شکل است. وجود این شتاب طبق قانون دوم نیوتن نیرویی به نام نیروی مرکزی ایجاد می‌کند، به گونه‌ای که در حرکت دایره ای یکنواخت همواره نیروی برآیند وارد بر جسم با این نیرو برابر است. جهت نیروی مرکزی مانند شتاب مرکزی به سمت داخل یا مرکز مسیر دایره‌ای است.

در واقع اگر جهت شتاب و نیروی مرکزی به سمت مرکز مسیر دایره‌ای نباشد، حرکت جسم نیز دیگر دایره‌ای شکل نیست، بلکه جسم به‌صورت مستقیم و روی یک خط راست به حرکت خود ادامه خواهد داد. به همین دلیل می‌توانیم بگوییم نیروی مرکزی مسئول نگه داشتن جسم در مسیر دایره‌ای شکل است. نکته مهم و جالب‌ در این نوع حرکت این است که همواره راستای بردار شتاب و سرعت بر هم عمود‌اند.

در نهایت می‌توانیم ویژگی‌های این نوع حرکت را به شکل زیر خلاصه کنیم:

1. مسیر حرکت جسم در حرکت دایره ای یکنواخت به شکل دایره‌ است.
2. تندی جسم ثابت است. منظور از تندی مقدار سرعت یا اندازه بردار سرعت است.
3. سرعت جسم ثابت نیست، چون جهت حرکت جسم و در نتیجه جهت بردار سرعت روی مسیر دایره‌ای پیوسته در حال تغییر است.
4. بردار سرعت در هر نقطه بر مسیر دایره‌ای شکل مماس است.
5. جسم دارای شتاب ثابتی به نام شتاب مرکزگرا یا مرکزی است.
6. جهتشتاب مرکزی همواره به سمت مرکز مسیر دایره‌ای است و موجب نگه داشتن جسم در مسیر دایره‌ای شکل خواهد شد.
7. بردار‌های شتاب مرکزی و نیروی مرکزی همواره بر بردار سرعت جسم عمود‌اند.
8. ثابت ماندن تندی یا اندازه سرعت در این نوع حرکت به این معنا است که شتاب مماسی نداریم.
9. ثابت نماندن سرعت یا جهت سرعت در این نوع حرکت به این معنا است که شتاب مرکزی داریم.

یادگیری فیزیک مکانیک برای دانش‌آموزان با فرادرس

اگر دانش‌آموز هستید، یکی از بهترین روش‌ها برای یادگیری مکانیک کلاسیک و حرکت دایره‌ای به عنوان یکی از انواع حرکت، این است که فیلم‌های آموزشی تهیه شده در این زمینه را مشاهده کنید. در ادامه، لیستی از تمام دوره‌های آموزشی فرادرس با این موضوع را برای شما قرار د‌اده‌ایم تا بهتر متوجه شوید ویژگی‌های حرکت دایره‌ای یکنواخت چیست و چگونه از سایر حرکت‌ها متمایز می‌شود:

• فیلم آموزش فیزیک دهم مرور و حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک دوازدهم سوالات امتحانات نهایی با حل تشریحی فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک دوازدهم مرور و حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک دوازدهم نکته و حل تست کنکور فرادرس
• فیلم آموزش رایگان دینامیک و حرکت دایره ای فرادرس
• فیلم آموزش رایگان نمودار سرعت زمان فرادرس

تفاوت تندی و سرعت چیست؟

برای اینکه مفهوم حرکت دایره ای یکنواخت را بهتر درک کنید، اولین قدم آشنایی با تفاوت‌ تندی و سرعت است. می‌دانیم که سرعت یک کمیت برداری است، یعنی علاوه بر اندازه، جهت آن نیز مهم است. بنابراین اولین سوالی که مطرح می‌شود این است که ثابت بودن یک کمیت برداری مانند سرعت به چه معنا است؟ برای پاسخ دادن به این سوال از دانش خود راجع‌به انوع کمیت‌‌ها در فیزیک استفاده می‌کنیم.

برای مثال، شرایطی را در نظر بگیرید که دمای اتاق $$30 \ C$$ است. پس از گذشت مدت زمان مشخصی، متوجه می‌شوید که دمای اتاق همچنان $$30 \ C$$ است. در این حالت می‌توانید بگویید دما ثابت مانده است. در این مثال، دما یک کمیت عددی، نرده‌ای یا اسکالر است و ثابت ماندن آن در طول زمان، مستلزم در نظر گرفتن تغییرات مقدار یا اندازه آن است. اما در مورد کمیت‌‌های برداری وضعیت متفاوت است.

می‌دانیم دو بردار زمانی با هم برابر هستند که اندازه و جهت هر دو کاملا مشابه هم باشد. بنابراین ثابت ماندن سرعت به این معنا است که نه‌تنها اندازه آن، بلکه جهت آن هم تغییری نکند. برای مثال اگر اندازه سرعت ثابت بماند، اما جهت آن عوض شود، در شرایط حرکت با سرعت ثابت نیستیم. در سینماتیک به علت اهمیت تمایز اندازه و جهت سرعت، اندازه سرعت را «تندی» (Speed) می‌نامند.

همان‌طور که در تصویر بالا ملاحظه می‌کنید، اگر مسافت طی شده توسط جسمی را بر مدت زمان تقسیم کنیم، تندی به‌دست می‌آید. اما اگر بردار جابجایی را بر مدت زمان تقسیم کنیم، سرعت حاصل خواهد شد. پس در کلیه مباحث مربوط به فیزیک مکانیک، تندی یک کمیت نرد‌ه‌ای و به معنای اندازه بردار سرعت یا مقدار عددی سرعت است. همچنین استفاده از کلمه سرعت همیشه شامل جهت و اندازه آن می‌شود، چون سرعت یک کمیت برداری است.

بنابراین زمانی که می‌گوییم سرعت یک جسم متغیر است، این تغییر ممکن است فقط در اندازه آن باشد، یا فقط در جهت آن و یا در هر دو. به همین علت بهترین توصیف برای حرکت دایره‌ ای یکنواخت این است که بگوییم در این حرکت تندی ثابت و سرعت متغیر است. ثابت بودن تندی به ما نشان می‌دهد اندازه سرعت تغییری نمی‌کند. پس متغیر بودن سرعت فقط ناشی از تغییر جهت آن است.

فرمول های حرکت دایره ای یکنواخت

در بخش قبل با تعریف حرکت دایره ای یکنواخت و ویژگی‌های آن کاملا آشنا شدیم. در این بخش به معرفی فرمول‌های حاکم بر این نوع حرکت خواهیم پرداخت. همان‌طور که توضیح دادیم، جسمی که دارای حرکت دایره‌ ای یکنواخت باشد، روی یک مسیر دایره‌ای شکل حرکت می‌کند.

اگر فرض کنیم شعاع این مسیر دایره‌ای برابر با $$r$$ و مدت زمان لازم برای طی کردن یک دور کامل برابر با $$T$$ است، در این صورت مسافت طی شده توسط جسم در این بازه زمانی برابر می‌شود با محیط مسیر دایره‌ای شکل. بنابراین با نوشتن فرمول محیط دایره خواهیم داشت:

$$= 2 \pi r$$ مسافت طی شده در یک دور کامل

از طرفی می‌دانیم برای پیدا کردن سرعت جسم کافی است مسافت طی شده توسط آن را بر مدت زمان لازم برای پیمودن این مسافت تقسیم کنیم:

$$v = \frac{2 \pi r }{T}$$

البته اگر بخواهیم دقیق‌تر صحبت کرده باشیم، در اینجا با تقسیم کردن مسافت طی شده به زمان تندی یا اندازه سرعت در حرکت دایره ای یکنواخت محاسبه شده است. به همین صورت معادله مشابهی رابطه بین سرعت و شتاب مرکزی را توصیف می‌کند:

$$a_c = \frac{2 \pi v }{T}$$

حالا اگر رابطه سرعت را به شکل $$\frac{ v }{r} = \frac{2 \pi }{T}$$ بنویسیم و آن را در رابطه بالا قرار دهیم، برای شتاب مرکزی خواهیم داشت:

$$\Rightarrow a_c = \frac{2 \pi }{T} v = \frac{v }{r} v = \frac{ v^2 }{r}$$

از طرفی می‌توانیم رابطه بین سرعت خطی و سرعت زاویه‌ای را به شکل زیر بنویسیم:

$$v = \omega r$$

در این رابطه $$\omega$$ همان سرعت زاویه‌ای در حرکت دایره‌ای است. بر این اساس می‌توانیم شتاب مرکزگرا را بر حسب سرعت زاویه‌ای نیز به‌دست آوریم:

$$\Rightarrow a_c =\frac{ v^2 }{r} =\frac{ \omega^2 r^2 }{r} = \omega^2 r$$

بنابراین در این نوع حرکت با اینکه اندازه سرعت با گذشت زمان ثابت می‌ماند، اما جسم همواره داری شتاب ثابتی به نام شتاب مرکزگرا است. چنین پدیده‌ای در سینماتیک یا حرکت‌شناسی خطی بعید است که اتفاق بیفتد. در سینماتیک خطی در نتیجه تغییرات اندازه سرعت با زمان شتاب ایجاد می‌شود. در واقع در این نوع حرکت‌ها که در راستای یک خط مستقیم انجام می‌شوند، امکان ندارد جهت حرکت جسم در هر لحظه عوض شود.

اما در سینماتیک غیرخطی یا سینماتیک زاویه‌ای این امکان وجود دارد که در حرکتی به نام حرکت دایره‌‌ ای یکنواخت، اندازه سرعت ثابت بماند و تغییر جهت آن موجب شتابدار شدن حرکت جسم شود. آخرین فرمولی که در حرکت دایره‌ ای یکنواخت معرفی می‌کنیم، فرمول نیروی مرکزگرا است که طبق قانون دوم نیوتن از ضرب کردن جرم جسم در شتاب آن به‌دست می‌آید:

$$\Rightarrow F_c =ma_c = m\frac{ v^2 }{r} = m \omega^2 r$$

این نیرو در مسائل مختلف می‌تواند برابر با نیروی کشش طناب، نیروی اصطکاک یا ... باشد. پس در مسائل حرکت دایره‌ای معمولا هدف این است که ببینیم کدام نیرو نقش نیروی مرکزگرا را دارد. سپس با توجه به فرمول مخصوص این نیرو، می‌توانیم در حل مسئله با ابزارهای بیشتری جلو رویم. همچنین یک راه دیگر برای محاسبه شتاب مرکزگرا استفاده از شکل زیر است:

اگر جسم روی مسیر دایره‌ای شکل بالا با سرعت‌‌‌های $$v_1$$ و $$v_2$$ و ... حرکت کند، همواره فاصله جسم از مرکز اندازه شعاع $$r$$ است و اندازه سرعت‌ها هم با یکدیگر برابر و مساوی $$v$$ است. همچنین مشخص است که مثلث‌های ABC و PRQ مشابه‌اند. پس طبق قوانین تشابه مثلث برای این دو خواهیم داشت:

$$\frac{\triangle v}{v} = \frac{\triangle s}{r}$$

از رابطه بین شتاب و سرعت، شتاب مرکزگرا به‌دست می‌آید:

$$a_c = \frac{\triangle v}{\triangle t} = \frac{v}{r}\frac{\triangle s}{\triangle t} = \frac{v^2}{r}$$

و اندازه نیروی مرکزگرا برابر خواهد شد با:

$${F_c} = m\frac{v^2}{r}$$

در همین راستا، اگر تمایل دارید با تمام فرمول‌های کتاب درسی فیزیک پایه دوازدهم از جمله فرمول‌های حرکت دایره‌ای آشنا شوید، پیشنهاد ما به شما مطالعه مطلب «فرمول های فیزیک دوازدهم در یک نگاه» از مجله فرادرس است.

تفاوت شتاب مرکزگرا و شتاب گریز از مرکز چیست؟

یکی از مهم‌ترین مباحثی که در مورد حرکت دایره‌ای مطرح می‌شود تفاوت شتاب مرکزی (مرکزگرا) و شتاب گریز از مرکز است. اغلب شتاب گریز از مرکز را به‌عنوان واکنشی در مقابل شتاب مرکزی در نظر می‌گیرند که صحیح نیست. در این بخش توضیح می‌دهیم این دو شتاب چه تفاوتی با هم دارند.

شتاب مرکزی یک شتاب واقعی است که بر جسم در حال حرکت در یک مسیر دایره‌ای شکل وارد می‌شود. جهت این شتاب همواره به سمت داخل و مرکز دایره است. نبود این شتاب در حرکت دایره‌ ای یکنواخت به معنای تغییر نکردن جهت سرعت است که در این صورت طبق قانون اول نیوتن جسم دیگر روی یک مسیر دایره‌ای شکل باقی نمی‌ماند، بلکه روی یک خط راست به حرکت مستقیم خود ادامه می‌دهد.

اما شتاب گریز از مرکز نوعی شتاب غیرواقعی است که در حین چرخش احساس می‌شود. برای مثال، زمانی که در حال دور زدن دور یک مسیر دایره‌ای شکل با اتومبیل هستید، حس می‌کنید که نیرویی در حال پرتاب شما به سمت بیرون از اتومبیل است. در حالی که این مسئله به علت اینرسی بدن شما است. بنابراین نیروی گریز از مرکز نیروی واکنش در مقابل نیروی مرکزگرا محسوب نمی‌شود.

مثال‌ هایی از کاربرد حرکت دایره‌ ای یکنواخت

اگر دقت کنیم، حرکت دایره‌ ای یکنواخت در محیط اطراف ما زیاد دیده می‌شود. حرکت عقربه‌های ساعت‌شمار، دقیقه‌شمار و ثانیه‌شمار روی صفحه دایره‌ای شکل ساعت‌های غیردیجیتالی، حرکت پره‌های یک آسیاب بادی یا حرکت پره‌های یک پنکه، حرکت قطار اسباب بازی روی ریل دایره‌ای شکل، چرخش زمین به دور خورشید و حرکت الکترون به دور هسته همه و همه مثال‌هایی از حرکت دایره‌ای هستند.

در این بخش خواهید آموخت آشنایی با فیزیک این نوع حرکت در چه زمینه‌های مهمی کاربرد دارد. همچنین در فیلم آموزش رایگان دینامیک و حرکت دایره‌ای فرادرس، مشخصات این نوع حرکت همراه با چند مثال و بررسی نیروهای مختلف آموزش داده شده است. لینک این دوره را در ادامه مشاهده می‌کنید:

حرکت ماهواره ها و نجوم

اولین مثالی که نمی‌توان آن را با چشم مشاهده کرد، اما آثار آن کاملا در برقرار ماندن قوانین فیزیکی جهان اطراف ما مشهود است، حرکت برخی سیارات به دور یکدیگر یا حرکت ماهواره‌ها دور زمین است. در حقیقت شاید اولین کاربرد مهم آشنایی با فیزیک این نوع حرکت در بررسی حرکت ماهواره‌ها و نجوم باشد. مدار ماهواره‌‌ها بر اساس فرمول‌بندی‌های حرکت دایره‌ ای یکنواخت مطالعه می‌شود.

ماهواره‌هایی که در مدار دایره‌ای شکل حول زمین یا دیگر سیارات حرکت می‌کنند، مثال بارز حرکت دایره‌ ای یکنواخت هستند، چون این ماهواره‌ها دارای سرعت زاویه‌ای و سرعت خطی ثابتی‌اند. همچنین حرکت زمین و سایر سیارات به دور خورشید نیز تقریبا با تندی ثابتی و روی مدارهایی نزدیک به شکل دایره انجام می‌شود. مطالعه دقیق‌تر این بخش از حرکت دایره‌ای در شاخه‌ای از فیزیک با عنوان مکانیک تحلیلی انجام می‌شود.

دستگاه ها و ماشین آلات صنعتی

حرکت دایره‌ای را در دستگاه‌ها و ماشین‌آلات صنعتی بسیار زیادی می‌توانیم مشاهده کنیم. در فهرست زیر چند مورد از این مثال‌ها را معرفی کرده‌ایم:

• ملخ‌ها، فن‌ها و تیغه‌ها: در این ابزارآلات هر نقطه از پره‌ یک پنکه یا هواکش روی یک منحنی دایره‌ای شکل و با تندی ثابت حرکت می‌کند.
• تسمه‌ها و چرخ‌دنده‌ها: در انواع موتورها و اغلب وسایلی که به نوعی انتقال نیرو در آن‌ها انجام می‌شود، چرخ‌دنده‌ها یا تسمه‌ها را داریم که حرکت دایره‌ ای یکنواخت دارند.
• سانتریفیوژ: از این دستگاه برای جداسازی مواد بر اساس چگالی استفاده می‌شود، به این صورت که نمونه‌ها با تندی ثابت و چرخش سریع در دستگاه می‌چرخند.

خودرو و راه سازی

یکی از مهم‌ترین جنبه‌های این نوع حرکت این است که بتوانیم از آثار آن در طراحی خودروها استفاده کنیم. زمانی که خودرویی با سرعت ثابت در مسیر خود از یک پیچ عبور می‌کند، لازم است چرخ‌دنده‌ها و تایرهای آن به گونه‌ای جهت حرکت را تغییر دهند که نیروی کافی برای انجام حرکت دایره‌ای فراهم شود.

سرگرمی و وسایل تفریحی

همچنین توضیح نمایش دیوار مرگ که نوعی سرگرمی در نظر گرفته می‌شود، براساس قوانین حرکت دایره ای یکنواخت است. در این نمایش موتورسوار یا راننده یک ماشین وارد استوانه‌ای بزرگ می‌شود و با سرعت زیاد روی دیواره داخلی آن که به شکل یک دایره است، دور می‌زند.

در این شرایط با اینکه سرعت حرکت شخص بسیار بالا است، اما عامل سقوط نکردن و ماندن شخص در مدار دایره‌ای شکل، نیروی مرکزگرا است. همان‌طور که در تصویر بالا ملاحظه می‌کنید، در این مثال نیروی مرکزگرا با نیروی عمودی سطح برابر است:

$$N = F_c$$

اما می‌دانیم که محاسبه نیروی عمودی سطح فرمول مشخصی ندارد و لازم است با توجه به قوانین نیرو، اندازه آن را تعیین کنیم. با توجه به اینکه به اتومبیل در تصویر بالا دو نیروی وزن و اصطکاک نیز در راستای عمودی وارد می‌شوند، پس خواهیم داشت:

$$mg = \mu N$$

بنابراین نیروی مرکزی با فرمول $${F_c} = m\frac{v^2}{r}$$ و به شکل زیر برای این مثال تعیین می‌شود:

$${F_c} = \frac{mv^2}{r} = \frac{mg}{\mu} \Rightarrow {F_c} = \frac{g}{\mu}$$

این رابطه مهم نشان می‌دهد که جدا نشدن و سقوط نکردن ماشین یا موتور از دیوار فقط به ضریب اصطکاک آن با سطح بستگی دارد و مهم نیست که اتومبیل یا موتور در این حرکت چقدر سنگین باشد. مثال آشنای دیگر از حرکت دایره‌ای با این کاربرد در ساخت چرخ و فلک‌ها است. حرکت کابین‌ها با سرعت زاویه‌ای ثابت نیازمند نیروی مرکزی برای حفظ مسیر است.

فیزیک ذرات

از دیگر جنبه‌های مهم آشنایی با فرمول‌های حرکت دایره‌ای بررسی حرکت الکترون‌ها در میدان مغناطیسی و حرکت سیکلوترون است. زمانی که یک الکترون وارد میدان مغناطیسی یکنواخت می‌شود، ممکن است با سرعت زاویه‌ای ثابتی یک مسیر دایره‌ای را طی کند. از این نکته در طراحی لوله‌های خلاء و شتاب‌دهنده‌های ذرات استفاده می‌شود. همچنین در حرکت سیکلوترون نیز مانند سیستم شتاب‌دهنده‌ها که با میدان مغناطیسی و فرکانس رزونانس کار می‌کنند، سعی می‌شود که الکترون‌ها یا یون‌ها در یک مسیر دایره‌ای نگه داشته شوند.

کاربردهای خانگی

از اصول حرکت دایره‌ ای یکنواخت در طراحی بسیاری از لوازم خانگی استفاده می‌شود. برای مثال، ماشین لباسشویی که دارای یک دوره چرخشی در مرحله خشک‌کن است و از حرکت دایره‌ای برای جداسازی رطوبت و آب از لباس‌ها استفاده می‌کند یا در طراحی همزن (میکسر) که با سرعتی ثابت مواد داخل یک کاسه چرخانده می‌شوند تا یکنواخت و هم‌دست شوند.

تعریف حرکت دایره‌ ای غیریکنواخت چیست؟

در بخش‌های قبل با ویژگی‌های حرکت دایره‌‌ای از نوع یکنواخت آشنا شدیم. در این بخش می‌خواهیم ببینیم در چه صورت حرکت دایره‌ ای یکنواخت محسوب نمی‌شود. اگر علاوه‌بر جهت سرعت، اندازه سرعت یا تندی جسم در حال حرکت روی یک مسیر دایره‌ای شکل نیز با گذشت زمان تغییر کند، در این صورت حرکت ما از نوع دایره‌ای غیریکنواخت است.

دقت کنید در حرکت دایره‌ای غیریکنواخت شتابی که جسم به‌دست می‌آورد، دارای دو مولفه است. یک مولفه شتاب، همان شتاب مرکزی است که در بخش‌های قبل راجع‌به آن صحبت کردیم و ناشی از تغییر جهت بردار سرعت است. اما مولفه جدیدی از شتاب که در حرکت دایره‌ای غیریکنواخت ایجاد می‌شود، «شتاب مماسی» است.

شتاب مماسی در نتیجه تغییرات اندازه سرعت یا تغییرات تندی جسم ایجاد می‌شود و همواره مماس بر مسیر حرکت جسم است. در حرکت دایره‌ ای یکنواخت شتاب مماسی جسم صفر است، چون تندی جسم ثابت می‌ماند. به این ترتیب اگر شتاب مرکزی را با $$a_c$$ و شتاب مماسی $$a_t$$ را با نشان دهیم، در این صورت شتاب کل در حرکت دایره‌ای غیریکنواخت برابر است با جمع برداری این دو شتاب.

$$\vec{a} = \vec{a_c} + \vec{a_t}$$

تصویر بالا جمع برداری این دو مولفه شتاب را برای شش نقطه مختلف روی یک مسیر دایره‌ای شکل نشان می‌دهد. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، در هر نقطه بردار آبی رنگ سرعت همواره مماس بر مسیر و در جهت حرکت جسم یا ذره است. همچنین دو مولفه شتاب را در حرکت دایره‌ای غیریکنواخت داریم که یکی به سمت مرکز ($$a_c$$) و دیگری مانند سرعت، مماس بر مسیر حرکت ($$a_t$$) است.

نکته مهم این است که در برخی نقاط شتاب مماسی در خلاف جهت حرکت جسم است، اما همواره این مولفه مماس بر مسیر حرکت رسم می‌شود. در واقع جهت شتاب مماسی در جهت حرکت است، اگر سرعت در حال افزایش باشد و خلاف جهت حرکت است، اگر سرعت در حال کاهش باشد. از برآیند‌گیری این دو مولفه شتاب که با رنگ زرد نشان داده شده‌اند، بردار شتاب کل با رنگ صورتی برای هر نقطه حاصل می‌شود.

همچنین دو نقطه خاص در بالاترین و پایین‌ترین نقطه مسیر دایره‌ای شکل داریم. در این دو نقطه شتاب مماسی صفر است و شتاب کل همان شتاب مرکزی است. دقت کنید ممکن است در منابع مختلف به شتاب مرکزی «شتاب شعاعی» ($$a_r$$) هم گفته شود، چون راستای این مولفه از شتاب همواره در راستای شعاع مسیر دایره‌ای شکل است. جدول زیر خلاصه‌ای از تفاوت‌ها و شباهت‌های کلیدی دو نوع حرکت دایره‌ای را نشان می‌دهد:

حل مثال و تمرین از حرکت دایره ای یکنواخت

در این بخش با بررسی چند مثال به شما کمک می‌کنیم تا به حل مسائلی با موضوع حرکت دایره‌ ای یکنواخت کاملا مسلط شوید. همچنین در انتها چند تمرین به‌صورت سوالات چهار گزینه‌ای در نظر گرفته‌ شده است تا با پاسخ‌دهی به این سوالات میزان یادگیری خود را بیازمایید. پیش از شروع این بخش بهتر است با مطالعه جدول زیر تمام فرمول‌‌های مربوط به حرکت دایره‌ای را مرور کنید:

مثال ۱

سرعت زاویه‌ای یک دستگاه پخش و ضبط سی‌دی‌ $$33$$ دور بر دقیقه است. اگر قطر هر عدد سی‌دی برابر با $$12 \ in$$ باشد، به سوالات زیر به ترتیب پاسخ دهید:

1. فرکانس و دوره تناوب زمانی برای یک دور چرخش سی‌دی در این دستگاه چقدر است؟
2. سرعت زاویه‌ای در این حرکت دایره‌ای چه مقداری دارد؟
3. سرعت خطی این حرکت را نیز محاسبه کنید:

پاسخ

در اولین سوال برای محاسبه فرکانس یا $$f$$ و دوره تناوب زمانی حرکت کافی است به شکل زیر عمل کنیم:

$$f = 33 \ \frac{rev}{min} = \frac{33}{60 } \ \frac{rev}{ s} = 0.55 \ \frac{rev}{ s} = 0.55\ Hz$$

می‌دانیم واحد فرکانس دور بر ثانیه یا همان هرتز ($$Hz$$) است. همچنین رابطه فرکانس و دوره تناوب نیز به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.55\ Hz} = 1.82 \ s$$

در مرحله بعد محاسبه سرعت زاویه‌ای با فرمول زیر انجام می‌شود:

$$\omega = 2 \pi f \Rightarrow \omega = 2 \pi (0.55) = 3.45 \ \frac{rad}{s}$$

همچنین با کمک گرفتن از فرمولی که رابطه بین سرعت زاویه‌ای و سرعت خطی در حرکت دایره‌ای را توصیف می‌کند، برای سرعت خطی خواهیم داشت:

$$v = \omega r \Rightarrow v = 3.45(0.155) = 0.53 \ \frac{m}{s}$$

در محاسبه بالا شعاع مسیر دایره‌ای با نصف کردن قطر سی‌دی و تبدیل واحد آن از اینچ به متر انجام شده است.

مثال ۲

فرض کنید طبق شکل زیر فردی قصد دارد با استفاده از یک طناب از رودخانه‌‌ای عبور کند. اگر $$m = 85 \ kg$$، طول طناب $$10 \ m$$ و سرعت شخص در پایین‌ترین نقطه مسیر دایره‌ای شکل $$8 \ \frac{m}{s}$$ باشد، با این فرض که بیشترین نیرویی که طناب می‌تواند تحمل کند $$1000 \ N$$ است، آیا این فرد موفق می‌شود با این شرایط به سلامتی از رودخانه عبور کند؟

پاسخ

برای اینکه پاسخ دقیقی به این سوال داده باشیم، لازم است نیروی کشش طناب را بر اساس د‌اده‌های مسئله محاسبه کنیم. همچنین با توجه به اینکه فرد در این مسئله بخشی از یک مسیر دایره‌ای شکل را می‌پیماید، پس باید از فرمول‌های حرکت دایره ای یکنواخت نیز در محاسبات خود بهره بگیریم.

ابتدا نیروهای وارد بر شخص را مشخص می‌کنیم که عبارت‌اند از نیروی وزن و نیروی کشش طناب. همچنین طبق دومین قانون نیوتن، برآیند این دو نیرو با نیروی مرکزی برابر است. پس خواهیم داشت:

$$\sum \vec{F} = \vec{F_c} = m\vec{a}$$

$$F_T - F_g = ma_c = \frac{ mv^2 }{r}$$

رابطه بالا با در نظر گرفتن جههت مثبت محور قائم به سمت بالا نوشته شده است. در واقع باید نیروی کشش طناب از نیروی وزن به اندازه نیروی مرکزی بیشتر باشد تا شخص در مسیر عبور خود از رودخانه دور بماند. نیروی وزن شخص طبق فرمول $$mg$$ و با در نظر گرفتن شتاب جاذبه زمین به شکل $$9.8$$ برابر می‌شود با $$F_g = mg = 85 \times 9.8$$. پس خواهیم داشت:

$$F_T = mg + \frac{ mv^2 }{r} = 1377 \ N$$

با توجه به اینکه طبق اطلاعات سوال نیروی کشش طناب از بیشترین میزان تحمل آن بیشتر شده است، پس عبور این فرد از رودخانه با این طناب به هیچ وجه منطقی و امن نیست!

مثال ۳

جسمی با جرم $$2.5 \ kg$$ به انتهای یک طناب سبک (فرض کنید طناب بدون جرم است) که روی یک میز بدون اصطکاک در حال چرخش است، متصل شده‌ است. اگر شعاع این مسیر دایره‌ای شکل $$1.2 \ m$$ باشد و بدانیم که آستانه تحمل طناب پیش از پاره شدن $$25 \ kg$$ است، بیشترین سرعت ممکن برای این جسم پیش از پاره شدن طناب چقدر است؟

پاسخ

برای اینکه بتوانیم سرعت‌ موردنظر در سوال را پیدا کنیم، ابتدا لازم است بیشینه نیروی کشش طناب را با این فرض که جسمی با بیشترین جرم ممکن یعنی $$25 \ kg$$ به انتهای آن متصل شده است، محاسبه کنیم. در این حالت بهتر است ساده‌‌سازی کرده و فرض کنیم که حرکت به شکل ساده و از نوع خطی است، برای مثال جسم سنگین به انتهای این طناب آویزان و در حالت سکون است. پس نیرو‌های وارد بر آن عبارت‌اند از نیروی وزن به سمت پایین و نیروی کشش طناب به سمت بالا. طبق قانون دوم نیوتن نیروی کشش طناب به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\sum \vec{F} = m\vec{a}$$

$$\Rightarrow \sum F_y = m a_y = 0 \Rightarrow \sum F_y = 0$$

$$\Rightarrow F - F _g = 0 \Rightarrow F = mg = 25 \times 9.81 = 245.25 \ N$$

به این ترتیب بیشینه نیروی کشش این طناب محاسبه شد. حالا برمی‌گردیم به موقعیت سوال. در سوال به انتهای این طناب جسمی با جرم $$2.5 \ kg$$ متصل شده که در حال چرخش روی یک مسیر دایره‌ای شکل است. گفتیم در حرکت دایره‌ ای یکنواخت همواره برآیند نیرو‌های وارد بر جسم با نیروی مرکزی برابر است. پس در این موقعیت بیشینه نیروی کشش طناب را با نیروی مرکزی برابر قرار می‌دهیم. سپس با نوشتن فرمول نیروی مرکزی می‌توانیم بیشینه سرعت جسم را محاسبه کنیم:

$$F_c = F = 245.25 \ N \Rightarrow m\frac{ v_{max}^2 }{r} = 245.25 \ N$$

$$\Rightarrow 2.5 \times \frac{ v_{max}^2 }{1.2} = 245.25 \Rightarrow v_{max} =10.85 \ \frac{ m }{s}$$

مثال ۴

اتومبیلی باسرعت $$24 \ \frac{m}{s}$$ در جاده‌ای حرکت می‌کند. اگر ضریب اصطکاک بین چرخ‌های اتومبیل و جاده، برابر $$0.53$$ باشد، کمینه شعاعی که اتومبیل می‌تواند دور بزند، چه مقدار است؟

پاسخ

برای حل این مثال، ابتدا نیروهای وارد شده بر اتومبیل را مشخص می‌کنیم. سه نیروی عمودی سطح، نیروی وزن و اصطکاک بر اتومبیل وارد می‌شوند. سوال مهمی که ممکن است مطرح شود این است که اگر نیروی اصطکاکِ بین چرخ‌های اتومبیل و جاده برابر صفر بود، چه اتفاقی رخ می‌داد؟ اتومبیل روی جاده لیز می‌خورد و نمی‌توانست دور بزند. نیروهای وارد شده بر اتومبیل در تصویر زیر نشان داده شده‌اند:

کمینه شعاعی که اتومبیل می‌تواند دور بزند را می‌خواهیم به‌دست آوریم. در حرکت دایره‌ای، اندازه سرعت جسم ثابت است، اما جهت سرعت دائما تغییر می‌کند. شتاب نیز با تغییر اندازه سرعت، جهت آن یا هر دو ایجاد می‌شود. بنابراین، حرکت دایره‌ای را می‌توانیم حرکتی شتابدار در نظر بگیریم. مقدار این شتاب برابر است با:

$$a_c = \frac { v ^ 2 } { r }$$

همچنین نیروی برآیند وارد شده بر جسم در حرکت دایره‌ای به صورت $$F_ { c } = m \frac { v ^ 2 } { r }$$ نوشته می‌شود. همان‌طور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، نیروی اصطکاک ایستایی تنها نیرویی است که در راستای شعاع دایره بر اتومبیل وارد شده و سبب حرکت آن روی مسیری دایره‌ای می‌شود. پس داریم:

$$f_ { s, max} = \frac {m v ^ 2 } { r } \Rightarrow \mu_s N = \mu_s mg = \frac {m v ^ 2 } { r }$$

$$\Rightarrow \frac {m v ^ 2 } { r } = \mu_s mg \Rightarrow \frac { v ^ 2 } { r } = \mu_s g$$

$$\Rightarrow r = \frac {v ^ 2 } { \mu_s g } = 110.9 \ m$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

یادگیری فیزیک مکانیک برای دانشجویان با فرادرس

پیش از اینکه به جمع‌بندی مطالب گفته شده بپردازیم و مجددا توضیح دهیم که حرکت دایره‌ ای یکنواخت چیست، می‌خواهیم مشاهده چند فیلم آموزشی از مجموعه فرادرس را به شما پیشنهاد دهیم. کتاب‌های فیزیک پایه دانشگاهی در اغلب رشته‌ها شامل علوم پایه و مهندسی تدریس می‌شوند و یکی از مهم‌ترین مباحث این کتاب‌ها، فیزیک مکانیک است. در همین راستا، فرادرس چند دوره آموزشی با عنوان فیزیک پایه دانشگاهی تهیه کرده است که تماشای این دوره‌ها به یادگیری بهتر شما کمک خواهد کرد:

1. فیلم آموزش رایگان بردارها در فیزیک ۱ دانشگاهی فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل مساله فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل تست فرادرس
6. فیلم آموزش رایگان فیزیک پایه ۱ حرکت دورانی فرادرس
7. فیلم آموزش رایگان حرکت ذره در سه بعد در مکانیک تحلیلی فرادرس
8. فیلم آموزش رایگان حرکت در چارچوب نالخت فرادرس
9. فیلم آموزش رایگان سینماتیک ذرات در دینامیک مهندسی فرادرس

همچنین دو فیلم آموزشی فرادرس با موضوع کاربرد نرم‌افزار و حل مسائل حرکت‌شناسی، شامل موارد زیر هستند:

1. فیلم آموزش رایگان شبیه سازی حرکت یک پرتابه در متلب فرادرس
2. فیلم آموزش حل مسائل فیزیک با پایتون فرادرس

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس به بررسی ویژگی‌های حرکت دایره‌ ای یکنواخت پرداختیم. در واقع برای اینکه این نوع حرکت را به خوبی درک کنیم، لازم است به کلمات تشکیل‌دهنده عنوان آن یعنی حرکت، دایره‌ و یکنواخت به‌صورت جداگانه دقت بیشتری داشته باشیم.

به تغییر موقعیت جسم نسبت به زمان حرکت گفته می‌شود. پس حرکت دایره‌ای به این معنا است که جسم روی مسیری به شکل دایره در حال حرکت است. همچنین یکنواخت بودن حرکت دایره‌ای نیز به معنی آن است که جسم روی مسیری به شکل دایره با تندی ثابت حرکت می‌کند. این حالت مشابه حرکت یکنواخت روی خط راست است، با این تفاوت که مسیر حرکت جسم به جای یک خط مستقیم، دایره‌ای با شعاع مشخص است.

در حرکت دایره‌ ای یکنواخت اگر چه اندازه سرعت ثابت است، اما جهت آن دائما در حال تغییر است و همین مسئله باعث می‌شود شتابی به نام شتاب مرکزگرا یا شتاب مرکزی ایجاد شود. این نوع حرکت در بسیاری از پدیده‌های طبیعی جهان اطراف ما از جمله چرخش ماهواره‌ها، چرخش چرخ‌های اتومبیل و حتی برخی بازی‌‌های نمایشی و سرگرم‌کننده مانند دیوار مرگ دیده می‌شود.