انتگرال و مشتق سری فوریه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

مشتق سری فوریه

همان‌طور که می‌‌دانیم، بسط سری فوریه چنین تابعی به صورت زیر است:

$$\large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . }$$

اگر مشتق $$f’\left( x \right)$$ این تابع نیز تکه‌ای پیوسته باشد و تابع $$f(x)$$ در شرایط تناوبی زیر صدق کند:

$$\large { f \left ( { – \pi } \right ) = f \left ( \pi \right ) , \; \; \; } \kern-0.3pt{ f’ \left ( { – \pi } \right ) = f’ \left ( \pi \right ) , }$$

آنگاه بسط سری فوریه $$f’\left( x \right)$$ با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$\large { f’ \left ( x \right ) \text { = } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { n { b _ n } \cos n x – n { a _ n } \sin n x } \right ) } } .$$

انتگرال سری فوریه

اگر $$g(x)$$ یک تابع تکه‌‌ای پیوسته متناوب با دوره تناوب $$2 \pi$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ باشد، آنگاه می‌‌توان از این تابع روی این بازه جمله به جمله انتگرال گرفت. سری فوریه تابع $$g(x)$$ به صورت زیر است:

$$\large { g \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . }$$

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$\large { G \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } } \sim { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } }$$

که در آن، $${A_n} = – {\large\frac{{{b_n}}}{n}\normalsize}$$ و $${B_n} = {\large\frac{{{a_n}}}{n}\normalsize}$$.

با قرار دادن $$x=0$$، داریم:

$$\large { G \left ( 0 \right ) = 0 } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { A _ n } } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } – \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } \; \; \text {or} \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } . }$$

بنابراین، بسط سری فوریه تابع $$G(x)$$ به صورت زیر تعریف می‌‌شود:

$$\large \begin {align*} G \left ( x \right ) & = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } = { { \int \limits _ 0 ^ x { \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } d x } \text { + }} } \kern0pt{{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ 0 ^ x { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) d x } } } } \\ &= { { \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } \text { + }} \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { a _ n } \sin n x + { b _ n } \left ( {1 – \cos n x } \right ) } } { n } } } } \end {align*}$$

سری به دست آمده، نتیجه انتگرال‌‌گیری جمله به جمله از سری فوریه $$g(x)$$ است.

به دلیل وجود جمله وابسته به $$x$$ در جواب حاصل، واضح است که این بسط، بسط سری فوریه انتگرال $$g(x)$$ نیست. این نتیجه را می‌‌توان به گونه‌‌ای تغییر داد که بسط سری فوریه تابع زیر باشد:

$$\large { \Phi \left ( x \right ) } = { \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } . }$$

سری فوریه تابع $$\Phi\left( x \right)$$ به صورت زیر است:

$$\large { \Phi \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } \text { + } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } , }$$

که در آن:

$$\large { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } , \; \; \; } \kern0pt { { A _ n } = – \frac { { { b _ n } } } { n } , \; \; \; } \kern0pt { { B _ n } = \frac { { { a _ n } } } { n } . }$$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

سری فوریه تابعِ

$$\large { f \left ( x \right ) = \text {sign} \, x } = { \begin {cases} - 1 , & - \pi \le x \le 0 \\ 1 , & 0 \lt x \le \pi \end {cases} , }$$

را با استفاده از بسط سری فوریه تابع $$F\left( x \right) = \left| x \right|$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ به دست آورید که به صورت زیر است:

$$\large { F \left ( x \right ) = \left | x \right | } = { \frac { \pi }{ 2 } – \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } . \; }$$

حل: از آنجایی که به ازای $$x \ne 0$$، $$f\left( x \right) = F’\left( x \right)$$، داریم:

$$\large { f \left ( x \right ) = \frac { d } { { d x } } \Big [ { \frac { \pi } { 2 } \text { − } } } \kern0pt{{ \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } } \Big ] }$$

يا

$$\large f \left ( x \right ) = \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \sin \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { 2 n + 1 } } } .$$

نمودارهای این تابع و تقریب فوریه آن در شکل زیر نشان داده شده است.

مثال ۲

بسط سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {x^2}$$ را با استفاده از سری فوریه زیر بیابید.

$$\large { x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } \; \; \; } \kern-0.3pt { \text {for}\; – \pi \le x \le \pi . }$$

حل: از آنجایی که $$f\left( x \right)$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ یک تابع تکه‌‌ای پیوسته است، می‌‌توانیم از این سری فوریه انتگرال بگیریم:

$$\large { \int \limits _ { – \pi } ^ x { t d t } \text { = } } \kern0pt { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n t \, d t } } . }$$

در نتیجه:

$$\large \begin{align*} & \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } = \kern0pt { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \left [ { \left . { \left ( { – \frac { { \cos n t } } { { { n ^ 2 } } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } \right ] } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } \text { = } } } \kern0pt{ { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \left[ {\cos n x } \right . } - { \left . { \cos \left ( { – \pi n } \right ) } \right ] } , \; \; } } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac {{ { \pi ^ 2 } } } { 2 } } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } } } -{ { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 }} } \cos n x } } } - { { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { 1 }{ { { n ^ 2 } } } } . } } \end {align*}$$

طبق قضیه پارسوال و نامساوی بسل که $$\zeta \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}$$ است، خواهیم داشت:

$$\large { { x ^ 2 } – { \pi ^ 2 } } = { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 2 } } } \cos n x } } - { \frac { { 2 { \pi ^ 2 } } } { 3 } }$$

یا

$$\large { { x ^ 2 } = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } . }$$

مثال ۳

سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {x^3}$$ را به کمک بسط سری فوریه زیر به دست آورید.

$$\large { { x ^ 2 } = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } \; \; \; } \kern-0.3pt { \text{for} \; – \pi \le x \le \pi . }$$

حل: با انتگرال گرفتن از این سری داریم:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel} &<br /> { { \int \limits _ { – \pi } ^ x { { t ^ 2 } d t } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } d t } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { \cos n t } }{ { { n ^ 2 } } } d t } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br /> { { \left . { \left ( { \frac { { { t ^ 3 } } } { 3 } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } = { \left . { \left ( { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } t } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } } + { { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \sin n t } } { { { n ^ 3 } } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } \right ] } , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br /> { { \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + \cancel { \frac { { { \pi ^ 3 } } } { 3 } } } = { \frac { { { \pi ^ 2 } x } } { 3 } + \cancel { \frac { { { \pi ^ 3 } } } { 3 } } } } + { { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \frac { { \sin n x } } { { { n ^ 3 } } } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br /> { { { x ^ 3 } = { \pi ^ 2 } x } + { 1 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 3 } } } \sin n x } . } } \end {align*} $$