در آموزشهای قبلی از مجموعه آموزشهای ریاضی مجله فرادرس، با سری فوریه آشنا شدیم. در این آموزش درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بحث خواهیم کرد.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریعتر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
مشتق سری فوریه
فرض کنید f ( x ) f(x) f ( x ) یک تابع تکهای پیوسته متناوب با دوره تناوب 2 π 2\pi 2 π باشد که روی بازه بسته [ – π , π ] \left[ { – \pi ,\pi } \right] [ – π , π ] تعریف شده است.
همانطور که میدانیم، بسط سری فوریه چنین تابعی به صورت زیر است:
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) . \large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . } f ( x ) = 2 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) .
اگر مشتق f ’ ( x ) f’\left( x \right) f ’ ( x ) این تابع نیز تکهای پیوسته باشد و تابع f ( x ) f(x) f ( x ) در شرایط تناوبی زیر صدق کند:
f ( – π ) = f ( π ) , f ’ ( – π ) = f ’ ( π ) , \large { f \left ( { – \pi } \right ) = f \left ( \pi \right ) , \; \; \; } \kern-0.3pt{ f’ \left ( { – \pi } \right ) = f’ \left ( \pi \right ) , } f ( – π ) = f ( π ) , f ’ ( – π ) = f ’ ( π ) ,
آنگاه بسط سری فوریه f ’ ( x ) f’\left( x \right) f ’ ( x ) با فرمول زیر نشان داده میشود:
f ’ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( n b n cos n x – n a n sin n x ) . \large { f’ \left ( x \right ) \text { = } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { n { b _ n } \cos n x – n { a _ n } \sin n x } \right ) } } . f ’ ( x ) = n = 1 ∑ ∞ ( n b n cos n x – n a n sin n x ) .
انتگرال سری فوریه
اگر g ( x ) g(x) g ( x ) یک تابع تکهای پیوسته متناوب با دوره تناوب 2 π 2 \pi 2 π روی بازه [ – π , π ] \left[ { – \pi ,\pi } \right] [ – π , π ] باشد، آنگاه میتوان از این تابع روی این بازه جمله به جمله انتگرال گرفت. سری فوریه تابع g ( x ) g(x) g ( x ) به صورت زیر است:
g ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) . \large { g \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . } g ( x ) = 2 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) .
تابع زیر را در نظر بگیرید:
G ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t ∼ A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( A n cos n x + B n sin n x ) \large { G \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } } \sim { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } } G ( x ) = 0 ∫ x g ( t ) d t ∼ 2 A 0 + n = 1 ∑ ∞ ( A n cos n x + B n sin n x )
که در آن، A n = – b n n {A_n} = – {\large\frac{{{b_n}}}{n}\normalsize} A n = – n b n و B n = a n n {B_n} = {\large\frac{{{a_n}}}{n}\normalsize} B n = n a n .
با قرار دادن x = 0 x=0 x = 0 ، داریم:
G ( 0 ) = 0 = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n = A 0 2 – ∑ n = 1 ∞ b n n or A 0 2 = ∑ n = 1 ∞ b n n . \large { G \left ( 0 \right ) = 0 } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { A _ n } } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } – \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } \; \; \text {or} \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } . } G ( 0 ) = 0 = 2 A 0 + n = 1 ∑ ∞ A n = 2 A 0 – n = 1 ∑ ∞ n b n or 2 A 0 = n = 1 ∑ ∞ n b n .
بنابراین، بسط سری فوریه تابع G ( x ) G(x) G ( x ) به صورت زیر تعریف میشود:
G ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t = ∫ 0 x a 0 2 d x + ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 x ( a n cos n x + b n sin n x ) d x = a 0 x 2 + ∑ n = 1 ∞ a n sin n x + b n ( 1 – cos n x ) n \large \begin {align*} G \left ( x \right ) & = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } = { { \int \limits _ 0 ^ x { \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } d x } \text { + }} } \kern0pt{{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ 0 ^ x { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) d x } } } } \\ &= { { \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } \text { + }} \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { a _ n } \sin n x + { b _ n } \left ( {1 – \cos n x } \right ) } } { n } } } } \end {align*} G ( x ) = 0 ∫ x g ( t ) d t = 0 ∫ x 2 a 0 d x + n = 1 ∑ ∞ 0 ∫ x ( a n cos n x + b n sin n x ) d x = 2 a 0 x + n = 1 ∑ ∞ n a n sin n x + b n ( 1– cos n x )
سری به دست آمده، نتیجه انتگرالگیری جمله به جمله از سری فوریه g ( x ) g(x) g ( x ) است.
به دلیل وجود جمله وابسته به x x x در جواب حاصل، واضح است که این بسط، بسط سری فوریه انتگرال g ( x ) g(x) g ( x ) نیست. این نتیجه را میتوان به گونهای تغییر داد که بسط سری فوریه تابع زیر باشد:
Φ ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t – a 0 x 2 . \large { \Phi \left ( x \right ) } = { \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } . } Φ ( x ) = 0 ∫ x g ( t ) d t – 2 a 0 x .
سری فوریه تابع Φ ( x ) \Phi\left( x \right) Φ ( x ) به صورت زیر است:
Φ ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t – a 0 x 2 = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( A n cos n x + B n sin n x ) , \large { \Phi \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } \text { + } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } , } Φ ( x ) = 0 ∫ x g ( t ) d t – 2 a 0 x = 2 A 0 + n = 1 ∑ ∞ ( A n cos n x + B n sin n x ) ,
که در آن:
A 0 2 = ∑ n = 1 ∞ b n n , A n = – b n n , B n = a n n . \large { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } , \; \; \; } \kern0pt { { A _ n } = – \frac { { { b _ n } } } { n } , \; \; \; } \kern0pt { { B _ n } = \frac { { { a _ n } } } { n } . } 2 A 0 = n = 1 ∑ ∞ n b n , A n = – n b n , B n = n a n .
مثالها
در این بخش، چند مثال را درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بررسی میکنیم.
مثال ۱
سری فوریه تابعِ
f ( x ) = sign x = { − 1 , − π ≤ x ≤ 0 1 , 0 < x ≤ π , \large { f \left ( x \right ) = \text {sign} \, x } = { \begin {cases} - 1 , & - \pi \le x \le 0 \\ 1 , & 0 \lt x \le \pi \end {cases} , } f ( x ) = sign x = ⎩ ⎨ ⎧ − 1 , 1 , − π ≤ x ≤ 0 0 < x ≤ π ,
را با استفاده از بسط سری فوریه تابع F ( x ) = ∣ x ∣ F\left( x \right) = \left| x \right| F ( x ) = ∣ x ∣ روی بازه [ – π , π ] \left[ { – \pi ,\pi } \right] [ – π , π ] به دست آورید که به صورت زیر است:
F ( x ) = ∣ x ∣ = π 2 – 4 π ∑ n = 0 ∞ cos ( 2 n + 1 ) x ( 2 n + 1 ) 2 . \large { F \left ( x \right ) = \left | x \right | } = { \frac { \pi }{ 2 } – \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } . \; } F ( x ) = ∣ x ∣ = 2 π – π 4 n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 ) 2 cos ( 2 n + 1 ) x .
حل: از آنجایی که به ازای x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 ، f ( x ) = F ’ ( x ) f\left( x \right) = F’\left( x \right) f ( x ) = F ’ ( x ) ، داریم:
f ( x ) = d d x [ π 2 − 4 π ∑ n = 0 ∞ cos ( 2 n + 1 ) x ( 2 n + 1 ) 2 ] \large { f \left ( x \right ) = \frac { d } { { d x } } \Big [ { \frac { \pi } { 2 } \text { − } } } \kern0pt{{ \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } } \Big ] } f ( x ) = d x d [ 2 π − π 4 n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 ) 2 cos ( 2 n + 1 ) x ]
يا
f ( x ) = 4 π ∑ n = 0 ∞ sin ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 . \large f \left ( x \right ) = \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \sin \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { 2 n + 1 } } } . f ( x ) = π 4 n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 sin ( 2 n + 1 ) x .
نمودارهای این تابع و تقریب فوریه آن در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل ۱
مثال ۲
بسط سری فوریه تابع f ( x ) = x 2 f\left( x \right) = {x^2} f ( x ) = x 2 را با استفاده از سری فوریه زیر بیابید.
x = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 n sin n x for – π ≤ x ≤ π . \large { x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } \; \; \; } \kern-0.3pt { \text {for}\; – \pi \le x \le \pi . } x = 2 n = 1 ∑ ∞ n ( –1 ) n + 1 sin n x for – π ≤ x ≤ π .
حل: از آنجایی که f ( x ) f\left( x \right) f ( x ) روی بازه [ – π , π ] \left[ { – \pi ,\pi } \right] [ – π , π ] یک تابع تکهای پیوسته است، میتوانیم از این سری فوریه انتگرال بگیریم:
∫ – π x t d t = 2 ∑ n = 1 ∞ ∫ – π x ( – 1 ) n + 1 n sin n t d t . \large { \int \limits _ { – \pi } ^ x { t d t } \text { = } } \kern0pt { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n t \, d t } } . } – π ∫ x t d t = 2 n = 1 ∑ ∞ – π ∫ x n ( –1 ) n + 1 sin n t d t .
در نتیجه:
x 2 2 – π 2 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 [ ( – cos n t n 2 ) ∣ – π x ] , ⇒ x 2 2 – π 2 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 [ cos n x − cos ( – π n ) ] , ⇒ x 2 2 – π 2 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 cos n x − 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n ( – 1 ) n n 2 , ⇒ x 2 2 – π 2 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 cos n x − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . \large \begin{align*} & \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } = \kern0pt { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \left [ { \left . { \left ( { – \frac { { \cos n t } } { { { n ^ 2 } } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } \right ] } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } \text { = } } } \kern0pt{ { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \left[ {\cos n x } \right . } - { \left . { \cos \left ( { – \pi n } \right ) } \right ] } , \; \; } } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac {{ { \pi ^ 2 } } } { 2 } } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } } } -{ { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 }} } \cos n x } } } - { { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { 1 }{ { { n ^ 2 } } } } . } } \end {align*} 2 x 2 – 2 π 2 = 2 n = 1 ∑ ∞ ( –1 ) n + 1 [ ( – n 2 cos n t ) – π x ] , ⇒ 2 x 2 – 2 π 2 = 2 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n [ cos n x − cos ( – πn ) ] , ⇒ 2 x 2 – 2 π 2 = 2 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n cos n x − 2 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n ( –1 ) n , ⇒ 2 x 2 – 2 π 2 = 2 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n cos n x − 2 n = 1 ∑ ∞ n 2 1 .
طبق قضیه پارسوال و نامساوی بسل که ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \zeta \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} ζ ( 2 ) = n = 1 ∑ ∞ n 2 1 است، خواهیم داشت:
x 2 – π 2 = 4 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 cos n x − 2 π 2 3 \large { { x ^ 2 } – { \pi ^ 2 } } = { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 2 } } } \cos n x } } - { \frac { { 2 { \pi ^ 2 } } } { 3 } } x 2 – π 2 = 4 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n cos n x − 3 2 π 2
یا
x 2 = π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 cos n x . \large { { x ^ 2 } = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } . } x 2 = 3 π 2 + 4 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n cos n x .
مثال ۳
سری فوریه تابع f ( x ) = x 3 f\left( x \right) = {x^3} f ( x ) = x 3 را به کمک بسط سری فوریه زیر به دست آورید.
x 2 = π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 cos n x for – π ≤ x ≤ π . \large { { x ^ 2 } = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } \; \; \; } \kern-0.3pt { \text{for} \; – \pi \le x \le \pi . } x 2 = 3 π 2 + 4 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n cos n x for – π ≤ x ≤ π .
حل: با انتگرال گرفتن از این سری داریم:
$$ \large \begin {align*} \require {cancel} &<br />
{ { \int \limits _ { – \pi } ^ x { { t ^ 2 } d t } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } d t } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { \cos n t } }{ { { n ^ 2 } } } d t } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br />
{ { \left . { \left ( { \frac { { { t ^ 3 } } } { 3 } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } = { \left . { \left ( { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } t } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } } + { { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \sin n t } } { { { n ^ 3 } } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } \right ] } , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br />
{ { \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + \cancel { \frac { { { \pi ^ 3 } } } { 3 } } } = { \frac { { { \pi ^ 2 } x } } { 3 } + \cancel { \frac { { { \pi ^ 3 } } } { 3 } } } } + { { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \frac { { \sin n x } } { { { n ^ 3 } } } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br />
{ { { x ^ 3 } = { \pi ^ 2 } x } + { 1 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 3 } } } \sin n x } . } } \end {align*} $$
بسط سری فوریه تابع x x x به شکل زیر است:
x = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 n sin n x . \large x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ {n+1} } } } { n } \sin n x } . x = 2 n = 1 ∑ ∞ n ( –1 ) n + 1 sin n x .
با قرار دادن این بسط در عبارت فوق، خواهیم داشت:
x 3 = 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 n sin n x + 12 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 3 sin n x = ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n ( 12 n 3 – 2 π 2 n ) sin n x \large \begin {align*} { { x ^ 3 } } & = { 2 { \pi ^ 2 } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin nx} } + { 1 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 3 } } } \sin n x } } \\ & = { { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \left ( { \frac { { 1 2 } } { { { n ^ 3 } } } – \frac { { 2 { \pi ^ 2 } } } { n } } \right ) } \kern0pt{ \sin n x } } } \end {align*} x 3 = 2 π 2 n = 1 ∑ ∞ n ( –1 ) n + 1 sin n x + 12 n = 1 ∑ ∞ n 3 ( –1 ) n sin n x = n = 1 ∑ ∞ ( –1 ) n ( n 3 12 – n 2 π 2 ) sin n x
مثال ۴
مشتقگیری از بسط سری فوریه تابع f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x که روی بازه [ – π , π ] \left[ { – \pi ,\pi } \right] [ – π , π ] تعریف شده است را بررسی کنید.
حل: بسط سری فوریه این تابع خطی به صورت زیر است:
x = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 sin n x n . \large x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \frac { { \sin n x} } { n } } . x = 2 n = 1 ∑ ∞ ( –1 ) n + 1 n sin n x .
با مشتق گرفتن از این بسط به رابطه زیر میرسیم:
1 ∼ 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 cos n x = 2 ( cos x – cos 2 x + cos 3 x – … ) . \large { 1 \sim 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \cos n x } } = { 2 \left ( { \cos x – \cos 2 x } \right . } + { \left . { \cos 3 x – \ldots } \right ) . } 1 ∼ 2 n = 1 ∑ ∞ ( –1 ) n + 1 cos n x = 2 ( cos x – cos 2 x + cos 3 x – … ) .
در اینجا با یک تناقض روبهرو میشویم، زیرا سری فوریه 1 باید شامل تنها یک جمله ثابت باشد. برای توضیح این تناقض، تابع دلتای دیراک یا تابع ضربه واحد δ ( x ) \delta \left( x \right) δ ( x ) را معرفی میکنیم. تعریف ضعیف تابع دلتا بیان میکند که
δ ( x ) = { 0 , x ≠ 0 ∞ , x = 0 \large \delta \left ( x \right ) = \begin {cases} 0 , & x \ne 0 \\ \infty , & x = 0 \end {cases} δ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , ∞ , x = 0 x = 0
مساحت کل زیر نمودار این تابع برابر با یک است:
∫ – ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1. \large \int \limits _ { – \infty } ^ \infty { \delta \left ( x \right ) d x } = 1 . –∞ ∫ ∞ δ ( x ) d x = 1.
تابع دلتا به صورت زیر نیز تعریف میشود:
δ ( x ) = lim n → ∞ 1 2 π sin ( n + 1 2 ) x sin x 2 . \large { \delta \left ( x \right ) } = { \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \frac { 1 } { { 2 \pi } } \frac { { \sin \left ( { n + \frac { 1 } { 2 } } \right ) x } } { { \sin \frac { x } { 2 } } } . } δ ( x ) = n → ∞ lim 2 π 1 sin 2 x sin ( n + 2 1 ) x .
نمودار تابع دلتا به ازای n = 5 n=5 n = 5 و n = 20 n=20 n = 20 در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل ۲
سری فوریه این تابع به صورت زیر است:
δ ( x ) = 1 2 π + 1 π ∑ n = 1 ∞ cos n x = 1 2 π + 1 π ∑ n = 1 ∞ ( cos x + cos 2 x + cos 3 x + … ) \large \begin {align*} { \delta \left ( x \right ) } & = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } + \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \cos n x } } \\ &= { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { \cos x + \cos 2 x } \right . } } + { { \left . { \cos 3 x + \ldots } \right ) } } \end {align*} δ ( x ) = 2 π 1 + π 1 n = 1 ∑ ∞ cos n x = 2 π 1 + π 1 n = 1 ∑ ∞ ( cos x + cos 2 x + cos 3 x + … )
از آنجایی که تابع دلتا تابعی زوج است، این سری فقط شامل کسینوس خواهد بود.
اکنون بسط متناوب f 1 ( x ) {f_1}\left( x \right) f 1 ( x ) تابع f ( x ) f\left( x \right) f ( x ) را بررسی میکنیم (شکل ۳).
شکل ۳
این تابع در نقاط x = ( 2 m + 1 ) π x = \left( {2m + 1} \right)\pi x = ( 2 m + 1 ) π (m = 0 , ± 1 , ± 2 , … m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots m = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) دارای ناپیوستگیهای جهشی است. همچنین، مشتق بسط متناوب f ’ 1 ( x ) {f’_1}\left( x \right) f ’ 1 ( x ) در هر ناپیوستگی جهشی، یک تابع دلتای اضافه متمرکز دارد. بنابراین:
f ’ 1 ( x ) = 1 − 2 π ∑ m = – ∞ ∞ δ [ x – ( 2 m + 1 ) π ] = 1 – 2 π δ ˉ ( x – π ) , \large { { f’ _ 1 } \left ( x \right ) } = { 1 \text { − }} \kern0pt{ 2 \pi \sum \limits _ { m = – \infty } ^ \infty { \delta \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] } } = { 1 – 2 \pi \bar \delta \left ( { x – \pi } \right ) , } f ’ 1 ( x ) = 1 − 2 π m = –∞ ∑ ∞ δ [ x – ( 2 m + 1 ) π ] = 1–2 π δ ˉ ( x – π ) ,
که در آن، δ ˉ ( x – π ) \bar \delta \left( {x – \pi } \right) δ ˉ ( x – π ) بسط متناوب تابع دلتا با دوره تناوب 2 π 2 \pi 2 π را نشان میدهد.
با استفاده از سری فوریه تابع دلتا میتوان نوشت:
δ [ x – ( 2 m + 1 ) π ] = 1 2 π + 1 π ∑ n = 1 ∞ cos n [ x – ( 2 m + 1 ) π ] = 1 2 π + 1 π { cos [ x – ( 2 m + 1 ) π ] + cos 2 [ x – ( 2 m + 1 ) π ] + … } = 1 2 π + 1 π { – cos x + cos 2 x − cos 3 x + cos 4 x – … } = 1 2 π − 1 π ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 cos n x . \large \begin {align*} \delta \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] & = \kern0pt { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \cos n \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] } } } \\ & = { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \left\{ { \cos \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] } \right . } } + { { \left . { \cos 2 \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] + \ldots } \right \} } } \\ & = { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \left\{ { – \cos x + \cos 2 x }\right . } } - { { \left . { \cos 3 x + \cos 4 x – \ldots } \right\} } } \\ & = { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } - { \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \cos n x } . } } \end {align*} δ [ x – ( 2 m + 1 ) π ] = 2 π 1 + π 1 n = 1 ∑ ∞ cos n [ x – ( 2 m + 1 ) π ] = 2 π 1 + π 1 { cos [ x – ( 2 m + 1 ) π ] + cos 2 [ x – ( 2 m + 1 ) π ] + … } = 2 π 1 + π 1 { – cos x + cos 2 x − cos 3 x + cos 4 x – … } = 2 π 1 − π 1 n = 1 ∑ ∞ ( –1 ) n + 1 cos n x .
از این رو، بسط سری فوریه f ’ 1 ( x ) {f’_1}\left( x \right) f ’ 1 ( x ) به این صورت خواهد بود:
f 1 ′ ( x ) = 1 – 2 π δ ˉ ( x – π ) = 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n + 1 cos n x ∼ 1. \large { { f _ 1 } ^ \prime \left ( x \right ) } = { 1 – 2 \pi \bar \delta \left ( { x – \pi } \right ) } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \cos n x } } \sim { 1 . } f 1 ′ ( x ) = 1–2 π δ ˉ ( x – π ) = 2 n = 1 ∑ ∞ ( –1 ) n + 1 cos n x ∼ 1.
بنابراین، تابع f 1 ′ ( x ) = 1 – 2 π δ ˉ ( x – π ) {f_1}^\prime \left( x \right) =1 – 2\pi \bar \delta \left( {x – \pi } \right) f 1 ′ ( x ) = 1–2 π δ ˉ ( x – π ) بسط سری فوریه 1 است. نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل ۴
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
^^
فیلم های آموزش انتگرال و مشتق سری فوریه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان) فیلم آموزشی مشتق سری فوریه فیلم آموزشی حل مثال مشتق سری فوریه فیلم آموزشی انتگرال سری فوریه فیلم آموزشی حل مثال انتگرال سری فوریه