ریاضی , علوم پایه 1067 بازدید

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با سری فوریه آشنا شدیم. در این آموزش درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بحث خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

مشتق سری فوریه

فرض کنید $$f(x)$$ یک تابع تکه‌ای پیوسته متناوب با دوره تناوب $$2\pi$$ باشد که روی بازه بسته $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ تعریف شده است. همان‌طور که می‌‌دانیم، بسط سری فوریه چنین تابعی به صورت زیر است:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . } $$

اگر مشتق $$f’\left( x \right)$$ این تابع نیز تکه‌ای پیوسته باشد و تابع $$f(x)$$ در شرایط تناوبی زیر صدق کند:

$$ \large { f \left ( { – \pi } \right ) = f \left ( \pi \right ) , \; \; \; } \kern-0.3pt{ f’ \left ( { – \pi } \right ) = f’ \left ( \pi \right ) , } $$

آنگاه بسط سری فوریه $$f’\left( x \right)$$ با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) \text { = } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { n { b _ n } \cos n x – n { a _ n } \sin n x } \right ) } } . $$

انتگرال سری فوریه

اگر $$g(x)$$ یک تابع تکه‌‌ای پیوسته متناوب با دوره تناوب $$2 \pi$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ باشد، آنگاه می‌‌توان از این تابع روی این بازه جمله به جمله انتگرال گرفت. سری فوریه تابع $$g(x)$$ به صورت زیر است:

$$ \large { g \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . } $$

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large { G \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } } \sim { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } } $$

که در آن، $${A_n} = – {\large\frac{{{b_n}}}{n}\normalsize}$$ و $${B_n} = {\large\frac{{{a_n}}}{n}\normalsize}$$.

با قرار دادن $$x=0$$، داریم:

$$ \large { G \left ( 0 \right ) = 0 } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { A _ n } } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } – \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } \; \; \text {or} \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } . } $$

بنابراین، بسط سری فوریه تابع $$G(x)$$ به صورت زیر تعریف می‌‌شود:

$$ \large \begin {align*} G \left ( x \right ) & = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } = { { \int \limits _ 0 ^ x { \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } d x } \text { + }} } \kern0pt{{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ 0 ^ x { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) d x } } } } \\ &= { { \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } \text { + }} \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { a _ n } \sin n x + { b _ n } \left ( {1 – \cos n x } \right ) } } { n } } } } \end {align*} $$

سری به دست آمده، نتیجه انتگرال‌‌گیری جمله به جمله از سری فوریه $$g(x)$$ است.

به دلیل وجود جمله وابسته به $$x$$ در جواب حاصل، واضح است که این بسط، بسط سری فوریه انتگرال $$g(x)$$ نیست. این نتیجه را می‌‌توان به گونه‌‌ای تغییر داد که بسط سری فوریه تابع زیر باشد:

$$ \large { \Phi \left ( x \right ) } = { \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } . } $$

سری فوریه تابع $$\Phi\left( x \right)$$ به صورت زیر است:

$$ \large { \Phi \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } \text { + } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } , } $$

که در آن:

$$ \large { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } , \; \; \; } \kern0pt { { A _ n } = – \frac { { { b _ n } } } { n } , \; \; \; } \kern0pt { { B _ n } = \frac { { { a _ n } } } { n } . } $$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

سری فوریه تابعِ

$$ \large { f \left ( x \right ) = \text {sign} \, x } =
{ \begin {cases}
– 1 , & – \pi \le x \le 0 \\
1 , & 0 \lt x \le \pi
\end {cases} , } $$

را با استفاده از بسط سری فوریه تابع $$F\left( x \right) = \left| x \right|$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ به دست آورید که به صورت زیر است:

$$ \large { F \left ( x \right ) = \left | x \right | } = { \frac { \pi }{ 2 } – \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } . \; } $$

حل: از آنجایی که به ازای $$x \ne 0$$، $$f\left( x \right) = F’\left( x \right)$$، داریم:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { d } { { d x } } \Big [ { \frac { \pi } { 2 } \text { − } } } \kern0pt{{ \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } } \Big ] } $$

یا

$$ \large f \left ( x \right ) = \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \sin \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { 2 n + 1 } } } . $$

نمودارهای این تابع و تقریب فوریه آن در شکل زیر نشان داده شده است.

مشتق سری فوریه
شکل ۱

مثال ۲

بسط سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {x^2}$$ را با استفاده از سری فوریه زیر بیابید.

$$ \large { x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } \; \; \; } \kern-0.3pt
{ \text {for}\; – \pi \le x \le \pi . } $$

حل: از آنجایی که $$f\left( x \right)$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ یک تابع تکه‌‌ای پیوسته است، می‌‌توانیم از این سری فوریه انتگرال بگیریم:

$$ \large { \int \limits _ { – \pi } ^ x { t d t } \text { = } } \kern0pt { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n t \, d t } } . } $$

در نتیجه:

$$ \large \begin{align*} & \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } = \kern0pt { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \left [ { \left . { \left ( { – \frac { { \cos n t } } { { { n ^ 2 } } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } \right ] } , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } \text { = } } } \kern0pt{ { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \left[ {\cos n x } \right . } – { \left . { \cos \left ( { – \pi n } \right ) } \right ] } , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac {{ { \pi ^ 2 } } } { 2 } } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } } } -{ { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 }} } \cos n x } } } – { { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { 1 }{ { { n ^ 2 } } } } . } } \end {align*} $$

طبق قضیه پارسوال و نامساوی بسل که $$\zeta \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}$$ است، خواهیم داشت:

$$ \large { { x ^ 2 } – { \pi ^ 2 } } = { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 2 } } } \cos n x } } – { \frac { { 2 { \pi ^ 2 } } } { 3 } } $$

یا

$$ \large { { x ^ 2 } = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } . } $$

مثال ۳

سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {x^3}$$ را به کمک بسط سری فوریه زیر به دست آورید.

$$ \large { { x ^ 2 } = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } \; \; \; } \kern-0.3pt
{ \text{for} \; – \pi \le x \le \pi . } $$

حل: با انتگرال گرفتن از این سری داریم:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel} &
{ { \int \limits _ { – \pi } ^ x { { t ^ 2 } d t } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } d t } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \int \limits _ { – \pi } ^ x { \frac { { \cos n t } }{ { { n ^ 2 } } } d t } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ { \left . { \left ( { \frac { { { t ^ 3 } } } { 3 } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } = { \left . { \left ( { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } t } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } } + { { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \sin n t } } { { { n ^ 3 } } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ x } \right ] } , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ { \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + \cancel { \frac { { { \pi ^ 3 } } } { 3 } } } = { \frac { { { \pi ^ 2 } x } } { 3 } + \cancel { \frac { { { \pi ^ 3 } } } { 3 } } } } + { { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \frac { { \sin n x } } { { { n ^ 3 } } } } , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ { { x ^ 3 } = { \pi ^ 2 } x } + { 1 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 3 } } } \sin n x } . } } \end {align*} $$

بسط سری فوریه تابع $$x$$ به شکل زیر است:

$$ \large x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ {n+1} } } } { n } \sin n x } . $$

با قرار دادن این بسط در عبارت فوق، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} { { x ^ 3 } } & = { 2 { \pi ^ 2 } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin nx} } + { 1 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 3 } } } \sin n x } } \\ & = { { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \left ( { \frac { { 1 2 } } { { { n ^ 3 } } } – \frac { { 2 { \pi ^ 2 } } } { n } } \right ) } \kern0pt{ \sin n x } } } \end {align*} $$

مثال ۴

مشتق‌‌گیری از بسط سری فوریه تابع $$f(x)=x$$ که روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ تعریف شده است را بررسی کنید.

حل: بسط سری فوریه این تابع خطی به صورت زیر است:

$$ \large x = 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \frac { { \sin n x} } { n } } . $$

با مشتق گرفتن از این بسط به رابطه زیر می‌‌رسیم:

$$ \large { 1 \sim 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \cos n x } } = { 2 \left ( { \cos x – \cos 2 x } \right . } + { \left . { \cos 3 x – \ldots } \right ) . } $$

در اینجا با یک تناقض روبه‌‌رو می‌‌شویم، زیرا سری فوریه 1 باید شامل تنها یک جمله ثابت باشد. برای توضیح این تناقض، تابع دلتای دیراک یا تابع ضربه‌ واحد $$\delta \left( x \right)$$ را معرفی می‌‌کنیم. تعریف ضعیف تابع دلتا بیان می‌‌کند که

$$ \large \delta \left ( x \right ) =
\begin {cases}
0 , & x \ne 0 \\
\infty , & x = 0
\end {cases} $$

مساحت کل زیر نمودار این تابع برابر با یک است:

$$ \large \int \limits _ { – \infty } ^ \infty { \delta \left ( x \right ) d x } = 1 . $$

تابع دلتا به صورت زیر نیز تعریف می‌‌شود:

$$ \large { \delta \left ( x \right ) } = { \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \frac { 1 } { { 2 \pi } } \frac { { \sin \left ( { n + \frac { 1 } { 2 } } \right ) x } } { { \sin \frac { x } { 2 } } } . } $$

نمودار تابع دلتا به ازای $$n=5$$ و $$n=20$$ در شکل زیر نشان داده شده است.

تابع دلتا
شکل ۲

سری فوریه این تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*} { \delta \left ( x \right ) } & = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } + \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \cos n x } } \\ &= { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { \cos x + \cos 2 x } \right . } } + { { \left . { \cos 3 x + \ldots } \right ) } } \end {align*} $$

از آنجایی که تابع دلتا تابعی زوج است، این سری فقط شامل کسینوس خواهد بود.

اکنون بسط متناوب $${f_1}\left( x \right)$$ تابع $$f\left( x \right)$$ را بررسی می‌‌کنیم (شکل ۳).

شکل ۳
شکل ۳

این تابع در نقاط $$x = \left( {2m + 1} \right)\pi$$ ($$m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$) دارای ناپیوستگی‌‌های جهشی است. همچنین، مشتق بسط متناوب $${f’_1}\left( x \right)$$ در هر ناپیوستگی جهشی، یک تابع دلتای اضافه متمرکز دارد. بنابراین:

$$ \large { { f’ _ 1 } \left ( x \right ) } = { 1 \text { − }} \kern0pt{ 2 \pi \sum \limits _ { m = – \infty } ^ \infty { \delta \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] } } = { 1 – 2 \pi \bar \delta \left ( { x – \pi } \right ) , } $$

که در آن، $$\bar \delta \left( {x – \pi } \right)$$ بسط متناوب تابع دلتا با دوره تناوب $$2 \pi$$ را نشان می‌‌دهد.

با استفاده از سری فوریه تابع دلتا می‌‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*} \delta \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] & = \kern0pt
{ { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \cos n \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] } } } \\ &
= { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \left\{ { \cos \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] } \right . } } + { { \left . { \cos 2 \left [ { x – \left ( { 2 m + 1 } \right ) \pi } \right ] + \ldots } \right \} } } \\ &
= { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } + { \frac { 1 } { \pi } \left\{ { – \cos x + \cos 2 x }\right . } } – { { \left . { \cos 3 x + \cos 4 x – \ldots } \right\} } }
\\ & = { { \frac { 1 } { { 2 \pi } } } – { \frac { 1 } { \pi } \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \cos n x } . } } \end {align*} $$

از این رو، بسط سری فوریه $${f’_1}\left( x \right)$$ به این صورت خواهد بود:

$$ \large { { f _ 1 } ^ \prime \left ( x \right ) } = { 1 – 2 \pi \bar \delta \left ( { x – \pi } \right ) } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } \cos n x } } \sim { 1 . } $$

بنابراین، تابع $${f_1}^\prime \left( x \right) =1 – 2\pi \bar \delta \left( {x – \pi } \right)$$ بسط سری فوریه 1 است. نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل ۴
شکل ۴

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش انتگرال و مشتق سری فوریه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی مشتق سری فوریه

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال مشتق سری فوریه

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی انتگرال سری فوریه

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال انتگرال سری فوریه

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی (+)

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. او مدتی در زمینه انرژی‌های تجدیدپذیر فعالیت کرده، و در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق و ریاضیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *