مشتق ln – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

مثال 5: تعیین مشتق ln رادیکال x

مشتق تابع $$f ( x ) = \ln ( \sqrt { x } )$$ را به دست بیاورید؟

برای به دست آوردن مشتق تابع مورد سوال، عبارت $$\sqrt { x }$$ را به صورت عدد توان‌دار زیر می‌نویسیم:

$$\sqrt { x } = x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }$$

به این ترتیب، تابع f(x) به شکل زیر درمی‌آید:

$$f ( x ) = \ln (x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } )$$

بر اساس خواص رادیکال، می‌توانیم توان x را از درون ln خارج کنیم:

$$f ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ } \ln ( x )$$

کسر $$\frac { ۱ } { ۲ }$$، یک ضریب ثابت بوده و مشتق ln(x) برابر با $$\frac { ۱ } { x }$$ است. بنابراین، داریم:

$$f ' ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ۱ } { x }$$

$$f ' ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ x }$$

مشتق معکوس ln چگونه بدست می آید ؟

در ابتدای مقاله، بیان کردیم که لگاریتم، روشی برای نمایش معکوس عبارت‌های توانی است. اگر تابع ln را معکوس کنیم، به عبارت زیر می‌‌رسیم:

$$f ( x ) = \log _ { e } ( x ) \longrightarrow f ^ { - ۱ } ( x ) = e ^ { x }$$

معکوس ln، یا همان e^x، یکی از انواع توابع نمایی است که با عنوان تابع نمایی طبیعی شناخته می‌شود. این تابع نمایی، یک ویژگی منحصر به فرد دارد. مشتق e^x، با خودش برابری می‌کند:

$$\frac { d } { dx } e ^ x = e ^ x$$

اگر توان x دارای ضریب ثابت باشد، رابطه مشتق معکوس ln به شکل زیر درمی‌آید:

$$\frac { d } { dx } e ^ { cx } = c e ^ x$$

در صورتی که توان e به صورت تابعی از x باشد، مشتق معکوس ln به شکل زیر درمی‌آید:

$$\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }$$

مثال 6: تعیین مشتق e

مشتق تابع $$f ( x ) = e ^ { x ^ ۲ }$$ را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن مشتق f(x)، ابتدا فرم کلی آن را می‌نویسیم:

$$f ( x ) = e ^ { g ( x ) }$$

با توجه به فرم بالا، توان e، تابعی از متغیر x است:

$$g ( x ) = x ^ ۲$$

در این حالت، مشتق f(x)، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$f ' ( x ) = g ' ( x ) e ^ { g ( x ) }$$

g'(x) برابر است با:

$$g ' ( x ) = \frac { d } { d x } x ^ ۲ = ۲ x$$

عبارت بالا را در فرمول مشتق e قرار می‌دهیم:

$$f ' ( x ) = ۲ x e ^ { x ^ ۲ }$$

اثبات فرمول مشتق ln با حد و پیوستگی

مشتق، مفهومی است که ارتباط بسیار نزدیکی با مبحث حد و پیوستگی دارد. در حالت کلی، مشتق هر تابع مانند f(x)، با استفاده از حد زیر به دست می‌آید:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }$$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

اگر فرض کنیم:

$$f ( x ) = \ln ( x )$$

خواهیم داشت:

$$f ( x + \Delta x ) = \ln ( x + \Delta x )$$

عبارت‌های بالا را در رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { \ln ( x + \Delta x ) - \ln ( x ) } { \Delta x }$$

بر اساس خواص لگاریتم، می‌دانیم که تفریق دو عبارت لگاریتمی با مبنای یکسان، با لگاریتم تقسیم آن دو عدد بر هم برابری می‌کند. بنابراین:

$$\ln ( x + \Delta x ) - \ln ( x ) = \ln { ( \frac { x + \Delta x } { x } ) }$$

$$= \ln { ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) }$$

این عبارت را درون رابطه حدی مشتق جایگذاری می‌کنیم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { \ln { ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) } } { \Delta x }$$

مخرج کسر را به صورت یک ضریب به پشت ln می‌بریم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { ۱ } { \Delta x } \ln { ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) }$$

با توجه به یکی دیگر از خواص لگاریتم، می‌توانیم ضریب پشت لگاریتم را به توان عدد داخل لگاریتم تبدیل کنیم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \ln [ ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) ^ { \frac { ۱ } { \Delta x } } ]$$

به منظور حل رابطه حدی بالا، متغیرها را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:

$$n = \frac { \Delta x } { x }$$

$$\space \Delta x = n x$$

$$\space \frac { ۱ } { \Delta x } = \frac { ۱ } { nx } = \frac { ۱ } { n } . \frac { ۱ } { x }$$

$$\Delta x \rightarrow ۰\, \space n \rightarrow ۰$$

تغییر متغیرهای بالا را بر روی رابطه حدی مشتق اعمال می‌کنیم:

$$\lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln [ ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } . \frac { ۱ } { x } }]$$

بر اساس خواص لگاریتم و حد، عبارت $$\frac { ۱ } { x }$$ را به پشت لگاریتم و سپس به پشت حد انتقال می‌دهیم:

$$\frac { ۱ } { x } \lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln [ ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } }]$$

بر اساس تعریف، حد عبارت داخل ln، برابر با ثابت e است:

$$\lim _ { n \rightarrow ۰ } ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } } = e$$

بنابراین داریم:

$$\frac { ۱ } { x } \lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln ( e )$$

ln (e) برابر با عدد ۱ است. در نتیجه، عبارت بالا، برابر می‌شود با:

$$\frac { ۱ } { x }$$

این عبارت، مشتق ln را نمایش می‌دهد:

$$f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$

خلاصه روند اثبات رابطه مشتق لگاریتم طبیعی در ادامه آورده شده است:

$$\begin {aligned} \frac { d } { d x } \ln x & = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { \ln ( x + \Delta x ) - \ln x } { \Delta x } & = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \left ( \frac { ۱ } { \Delta x } \ln \left ( \frac { x + \Delta x } { x }\right ) \right ) & = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \ln \left ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } \right ) ^ { \frac { ۱ }{ \Delta x } } & = \ln \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \left ( ۱ + \frac { \Delta x } { x }\right ) ^ { \frac { ۱ } { \Delta x } } & = \ln e ^ { ۱ / x } & = \frac { ۱ } { x } \end {aligned}$$

سوالات متداول در رابطه با مشتق ln

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با مبحث مشتق ln به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

ln چیست ؟

ln، علامت مخصوص نمایش لگاریتم‌های طبیعی (لگاریتم بر مبنای ثابت e) است.

مشتق ln x چیست ؟

مشتق ln x برابر با یک بر روی x (یک x ام) است.

فرمول مشتق ln f(x) چیست ؟

فرمول مشتق ln f(x)، برابر با تقسیم f'(x) بر f(x) است.

معکوس ln x چیست ؟

معکوس ln x، تابع نمایی e^x است.

مشتق معکوس ln x چیست ؟

مشتق معکوس ln x (مشتق e^x) برابر با خودش (e^x) است.