مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری – انواع فرمول ها + حل مثال

S=bh، نمایش فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری است. در ریاضیات، روابط بین متغیرها را توسط عبارت‌های جبری نشان می‌دهند. در این آموزش، قصد داریم روش‌ها و فرمول‌های محاسبه مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری را مورد بررسی قرار دهیم.

عبارت جبری چیست؟

به عنوان مثال، فرمول زیر، عبارت جبری مساحت متوازی الاضلاع با ارتفاع و قاعده است:

$$S= b \times h$$

مساحت متوازی الاضلاع چیست و چگونه بدست می‌آید؟

فیلم آموزش محاسبه مساحت متوازی الاضلاع ( رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی‌الاضلاع

اولین فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری را بر اساس رابطه بالا خواهیم نوشت.

مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری چیست؟

فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری، S=bh است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

در این متوازی‌الاضلاع، اندازه ارتفاع با متغیر h و اندازه قاعده با متغیر b نمایش داده شده است. این متغیرها را به جای ارتفاع و قاعده درون فرمول مساحت قرار می‌دهیم:

b × h = مساحت متوازی‌الاضلاع

در فرمول‌های ریاضی، معمولا مساحت را با حرف S یا A نمایش می‌دهند. به این ترتیب، می‌توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بنویسیم:

$$S = b h$$

عبارت بالا، مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری است. فرمول‌های متفاوتی برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع وجود دارند. در بخش‌های بعدی، عبارت‌های جبری هر کدام از این فرمول‌ها را معرفی خواهیم کرد.

مثال 1: محاسبه جبری مساحت متوازی الاضلاع با قاعده و ارتفاع

اگر یکی از ضلع‌های متوازی الاضلاعی برابر 7 و ارتفاع نظیر آن ضلع برابر 13 باشد، مساحت متوازی‌الاضلاع چقدر خواهد بود؟

در صورت سوال، اندازه ارتفاع نظیر یک ضلع داده شده است. بنابراین می‌توانیم آن ضلع را به عنوان قاعده در نظر بگیریم. برای تعیین مساحت متوازی‌الاضلاع، فرمول جبری آن را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را مشخص می‌کنیم:

$$S = b h$$

• S: مساحت متوازی‌الاضلاع
• b: قاعده برابر 7
• h: ارتفاع برابر 13

اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$S = ۷ \times ۱۳$$

$$S = ۹۱$$

در نتیجه، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر ۹۱ واحد سطح است.

مثال 2: محاسبه جبری مساحت متوازی الاضلاع با متغیرها

تصویر زیر، اندازه یکی از ضلع‌ها و ارتفاع‌های متواز الاضلاع را نمایش می‌دهد. مساحت متوازی‌‌الاضلاع را حساب کنید.

اندازه‌های قاعده و ارتفاع، وابسته به متغیرهای x و y هستند. به منظور حل مسئله، کافی است این اندازه‌ها را درون فرمول قرار دهیم:

$$S = b h$$

$$S = \frac {۵x}{۳} \times \frac {۷y}{۲}$$

$$S = \frac {۵x \times ۷y}{۶}$$

$$S = \frac {۳۵x y}{۶}$$

مساحت متوازی الاضلاع با دو ضلع به صورت جبری

در بخش قبلی، عبارت جبری مساحت متوازی‌الاضلاع با ارتفاع و قاعده را معرفی کردیم. قاعده، یکی از ضلع‌های متوازی‌الاضلاع است.

فیلم آموزش ریاضی پایه دهم در فرادرس

کلیک کنید

با داشتن دو ضلع و یک زاویه متوازی‌الاضلاع، امکان محاسبه مساحت توسط یک رابطه دیگر فراهم می‌شود. شکل زیر را در نظر بگیرید.

$$S = ab \sin {\alpha}$$

مثال 3: محاسبه مساحت مستطیل با دو ضلع

مساحت مستطیل زیر را با فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع به دست بیاورید.

$$S = ab \sin {\alpha}$$

• S: مساحت مستطیل
• a: یکی از ضلع‌های مستطیل برابر 15
• b: ضلع دیگر مستطیل برابر 9
• α: زاویه بین ضلع‌های مستطیل برابر 90 درجه

$$S = ۱۵ \times ۹ \times \sin {۹۰^{\circ}}$$

$$S = ۱۵ \times ۹ \times ۱$$

$$S = ۱۳۵$$

مساحت متوازی الاضلاع با قطر به صورت جبری

فاصله بین دو گوشه غیر مجاور، با عنوان قطر شناخته می‌شود. قطرها، از دیگر اندازه‌های قابل استفاده برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع هستند.

$$S = \frac {۱}{۲} p q \sin {\alpha}$$

یا

$$S = \frac {۱}{۲} p q \sin {\beta}$$

مثال 4: محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با قطر

متوازی‌الاضلاعی دارای دو قطر به اندازه‌های 8 و 17 سانتی‌متر است. با فرض زاویه 135 درجه‌ای بین دو قطر، مساحت متوازی‌الاضلاع را حساب کنید.

فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$S = \frac {۱}{۲} p q \sin {\alpha}$$

• S: مساحت متوازی‌الاضلاع
• p: یکی از قطرها برابر 8 سنتی‌متر
• q: قطر دیگر برابر 17 سانتی‌متر
• α: زاویه یبن دو قطر برابر 135 درجه

$$S = \frac {۱}{۲} \times ۸ \times ۱۷ \times \sin {۱۳۵^{\circ}}$$

سینوس زاویه 135 درجه، تقریبا برابر 0/71 است:

$$S = ۴ \times ۱۷ \times ۰/۷۱$$

$$S = ۴۸/۲۸$$

عبارت جبری مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی ضلع ها

هر ضلع متوازی‌الاضلاع، فاصله بین دو گوشه مجاور آن (مختصات نقاط گوشه) است. در برخی از مسائل، اندازه ضلع به صورت برداری بیان می‌شود.

فیلم آموزش هندسه ۳ پایه دوازدهم در فرادرس

کلیک کنید

$$S= |\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}|$$

عبارت جبری مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی قطرها

یکی دیگر از روش‌های محاسبه مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری، ضرب خارجی قطرهای آن است. قطرهای متوازی‌الاضلاع، از جمع و تفریق برداری ضلع‌های آن به دست می‌آیند. از این‌رو، می‌توانیم فرمول مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی ضلع‌ها را بر حسب قطرها بازنویسی کنیم.

مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی قطرها به صورت جبری عبارت است از:

$$S = \frac {۱}{۲} \overrightarrow {p} \times \overrightarrow {q}$$