مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری — انواع فرمول ها + حل مثال

S=bh، نمایش فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری است. در ریاضیات، روابط بین متغیرها را توسط عبارت‌های جبری نشان می‌دهند. در این آموزش، قصد داریم روش‌ها و فرمول‌های محاسبه مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری را مورد بررسی قرار دهیم.

عبارت جبری چیست؟

اگر به فرمول‌های ریاضی دقت کنید، متوجه خواهید شد که تمام آن‌ها از ترکیب حروف، اعداد و علائم ریاضی تشکیل می‌شوند. به نحوه نمایش روابط ریاضی توسط متغیرها (حروف)، ثابت‌ها (اعداد) و عملگرها (علائم)، عبارت جبری می‌گویند.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم

اینجا کلیک کنید

به عنوان مثال، فرمول زیر، عبارت جبری مساحت متوازی الاضلاع با ارتفاع و قاعده است:

$$
S= b \times h
$$

حرف‌های عبارت بالا، اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع هستند. علائم مساوی و ضرب نیز رابطه بین آن‌ها را مشخص می‌کنند. در بخش‌های بعدی، اجزای این عبارت جبری را به طور دقیق‌تر مورد بررسی قرار می‌دهیم و چند عبارت جبری دیگر را نیز برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع معرفی می‌کنیم.

مساحت متوازی الاضلاع چیست و چگونه بدست می‌آید؟

مساحت متوازی‌الاضلاع، اندازه سطح این شکل هندسی است که از ضرب قاعده در ارتفاع نظیر آن به دست می‌آید.

فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع به زبان فارسی عبارت است از:

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک

اینجا کلیک کنید

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی‌الاضلاع

اولین فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری را بر اساس رابطه بالا خواهیم نوشت.

مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری چیست؟

فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری، S=bh است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

در این متوازی‌الاضلاع، اندازه ارتفاع با متغیر h و اندازه قاعده با متغیر b نمایش داده شده است. این متغیرها را به جای ارتفاع و قاعده درون فرمول مساحت قرار می‌دهیم:

b × h = مساحت متوازی‌الاضلاع

در فرمول‌های ریاضی، معمولا مساحت را با حرف S یا A نمایش می‌دهند. به این ترتیب، می‌توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بنویسیم:

$$
S = b h
$$

عبارت بالا، مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری است. فرمول‌های متفاوتی برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع وجود دارند. در بخش‌های بعدی، عبارت‌های جبری هر کدام از این فرمول‌ها را معرفی خواهیم کرد.

مثال 1: محاسبه جبری مساحت متوازی الاضلاع با قاعده و ارتفاع

اگر یکی از ضلع‌های متوازی الاضلاعی برابر 7 و ارتفاع نظیر آن ضلع برابر 13 باشد، مساحت متوازی‌الاضلاع چقدر خواهد بود؟

در صورت سوال، اندازه ارتفاع نظیر یک ضلع داده شده است. بنابراین می‌توانیم آن ضلع را به عنوان قاعده در نظر بگیریم. برای تعیین مساحت متوازی‌الاضلاع، فرمول جبری آن را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را مشخص می‌کنیم:

$$
S = b h
$$

آموزش نگارش – پایه هفتم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه نهم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه هشتم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی

شروع یادگیری

آموزش عربی – پایه نهم

شروع یادگیری

آموزش محاسبات سریع ریاضی

شروع یادگیری

آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱

شروع یادگیری

آموزش ریاضی پایه هفتم

شروع یادگیری

آموزش ریاضیات گسسته – پایه دوازدهم

شروع یادگیری

• S: مساحت متوازی‌الاضلاع
• b: قاعده برابر 7
• h: ارتفاع برابر 13

اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$
S = ۷ \times ۱۳
$$

$$
S = ۹۱
$$

در نتیجه، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر ۹۱ واحد سطح است.

مثال 2: محاسبه جبری مساحت متوازی الاضلاع با متغیرها

تصویر زیر، اندازه یکی از ضلع‌ها و ارتفاع‌های متواز الاضلاع را نمایش می‌دهد. مساحت متوازی‌‌الاضلاع را حساب کنید.

اندازه‌های قاعده و ارتفاع، وابسته به متغیرهای x و y هستند. به منظور حل مسئله، کافی است این اندازه‌ها را درون فرمول قرار دهیم:

$$
S = b h
$$

$$
S = \frac {۵x}{۳} \times \frac {۷y}{۲}
$$

$$
S = \frac {۵x \times ۷y}{۶}
$$

$$
S = \frac {۳۵x y}{۶}
$$

مساحت متوازی الاضلاع با دو ضلع به صورت جبری

در بخش قبلی، عبارت جبری مساحت متوازی‌الاضلاع با ارتفاع و قاعده را معرفی کردیم. قاعده، یکی از ضلع‌های متوازی‌الاضلاع است. با داشتن دو ضلع و یک زاویه متوازی‌الاضلاع، امکان محاسبه مساحت توسط یک رابطه دیگر فراهم می‌شود. شکل زیر را در نظر بگیرید.

در تصویر بالا، اندازه ضلع‌های متوازی‌الاضلاع و زاویه بین آن‌ها را با متغیرهای b ،a و α نمایش داده شده‌اند. بر اساس این نامگذاری، فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع با دو ضلع به صورت زیر نوشته می‌شود:

فیلم آموزش هندسه ۲ – پایه یازدهم رشته ریاضی و فیزیک

اینجا کلیک کنید

$$
S = ab \sin {\alpha}
$$

مثال 3: محاسبه مساحت مستطیل با دو ضلع

مساحت مستطیل زیر را با فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع به دست بیاورید.

مستطیل، متوازی‌الاضلاعی با راس‌های قائمه است. بنابراین، برای محاسبه مساحت آن می‌توانیم از فرمول‌های مساحت متوازی‌الاضلاع استفاده کنیم. در این مسئله، اندازه دو ضلع مشخص است. از این‌رو، داریم:

$$
S = ab \sin {\alpha}
$$

• S: مساحت مستطیل
• a: یکی از ضلع‌های مستطیل برابر 15
• b: ضلع دیگر مستطیل برابر 9
• α: زاویه بین ضلع‌های مستطیل برابر 90 درجه

$$
S = ۱۵ \times ۹ \times \sin {۹۰^{\circ}}
$$

سینوس زاویه 90 درجه برابر 1 است:

$$
S = ۱۵ \times ۹ \times ۱
$$

$$
S = ۱۳۵
$$

در نتیجه، مساحت مستطیل برابر ۱۳۵ واحد سطح است. برای هر مستطیل، اندازه زاویه α در رابطه بالا، همواره برابر با 90 درجه خواهد بود. به عبارت دیگر، می‌توانیم فرمول مساحت مستطیل را به صورت «حاصل‌ضرب دو ضلع مجاور» بنویسیم.

مساحت متوازی الاضلاع با قطر به صورت جبری

فاصله بین دو گوشه غیر مجاور، با عنوان قطر شناخته می‌شود. قطرها، از دیگر اندازه‌های قابل استفاده برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع هستند. دو قطر متوازی‌الاضلاع زیر را در نظر بگیرید.

بر اساس اندازه‌های مشخص شده در تصویر، مساحت متوازی‌الاضلاع با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱

اینجا کلیک کنید

$$
S = \frac {۱}{۲} p q \sin {\alpha}
$$

یا

$$
S = \frac {۱}{۲} p q \sin {\beta}
$$

مثال 4: محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با قطر

متوازی‌الاضلاعی دارای دو قطر به اندازه‌های 8 و 17 سانتی‌متر است. با فرض زاویه 135 درجه‌ای بین دو قطر، مساحت متوازی‌الاضلاع را حساب کنید.

فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
S = \frac {۱}{۲} p q \sin {\alpha}
$$

• S: مساحت متوازی‌الاضلاع
• p: یکی از قطرها برابر 8 سنتی‌متر
• q: قطر دیگر برابر 17 سانتی‌متر
• α: زاویه یبن دو قطر برابر 135 درجه

$$
S = \frac {۱}{۲} \times ۸ \times ۱۷ \times \sin {۱۳۵^{\circ}}
$$

سینوس زاویه 135 درجه، تقریبا برابر 0/71 است:

$$
S = ۴ \times ۱۷ \times ۰/۷۱
$$

$$
S = ۴۸/۲۸
$$

در نتیجه، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر ۴۸/۲۸ سانتی‌متر مربع است. در رابطه با حل مثال‌های متنوع مرتبط با مساحت متواز‌ی‌الاضلاع، مجله فرادرس، مطلب «نمونه سوال مساحت متوازی‌الاضلاع با جواب — حل تمرین‌های متنوع» را تهیه کرده است که مطالعه آن را پس از مطالعه مطلب فعلی به شما پیشنهاد می‌کنیم.

عبارت جبری مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی ضلع ها

هر ضلع متوازی‌الاضلاع، فاصله بین دو گوشه مجاور آن (مختصات نقاط گوشه) است. در برخی از مسائل، اندازه ضلع به صورت برداری بیان می‌شود.

با ضرب برداری ضلع‌های متوازی‌الاضلاع، مساحت آن به دست می‌آید:

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور

اینجا کلیک کنید

$$
S= |\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}|
$$

فرمول بالا، با توجه به قواعد دترمینان حل می‌شود.

عبارت جبری مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی قطرها

یکی دیگر از روش‌های محاسبه مساحت متوازی الاضلاع به صورت جبری، ضرب خارجی قطرهای آن است. قطرهای متوازی‌الاضلاع، از جمع و تفریق برداری ضلع‌های آن به دست می‌آیند. از این‌رو، می‌توانیم فرمول مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی ضلع‌ها را بر حسب قطرها بازنویسی کنیم.

مساحت متوازی الاضلاع با ضرب خارجی قطرها به صورت جبری عبارت است از:

$$
S = \frac {۱}{۲} \overrightarrow {p} \times \overrightarrow {q}
$$