لگاریتم نپر چیست؟ – به زبان ساده + مثال لگاریتم Napierian

لگاریتم نپر چیست؟

$$\log_{e} \equiv \ln$$

به این ترتیب اگر از متغیر x لگارتیم نپر بگیریم، معادل این است که از آن ln گرفته‌ایم:

$$\log_{e}{x} = \ln x$$

$$e^y = x \Leftrightarrow \log_{e}{x} = y$$

لگاریتم نپر در پدیده‌هایی مانند واپاشی‌ رادیواکتیو، رشد جمعیت، حل معادلات دیفرانسیل و ... به‌صورت خودکار ظاهر می‌شود. به همین دلیل به آن لگاریتم طبیعی می‌گویند. این مفهوم به افتخار نام ریاضیدان اسکاتلندی «جان نپر» (John Napier) نام‌گذاری شد، شخصی که اولین بار ایده لگاریتم‌ها را معرفی کرد. جدول زیر تفاوت‌های لگاریتم معمولی و نپر را نشان می‌دهد:

چطور لگاریتم را با فرادرس یاد بگیریم؟

• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم فرادرس

ویژگی های لگارتیم نپر

• $$\ln e = 1$$، چون $$e^1 = e$$.
• $$\ln 1 = 0$$، چون $$e^0 = 1$$.
• $$\ln 10 \approx 2.302$$، چون $$e^{ 2.302} \approx 10$$.
• $$\ln x$$ معکوس تابع نمایی با پایه e است، یعنی داریم $$e^{\log_{e}{x}} = x$$.
• رابطه تبدیل لگاریتم معمولی به نپر:

$$\ln x = \frac{\log_{10}{x}}{\log_{10}{e}} \approx \frac{\log_{10}{x}}{0.4343}$$

فیلم آموزش ریاضی ۲ پایه یازدهم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

همچنین می‌دانیم که می‌توان از لگاریتم با یک پایه برای محاسبه لگاریتم با پایه‌ای دیگر استفاده کرد:

$$\log_{q}{x} = \frac{ \log_{e}{x}}{ \log_{e}{q}}$$

$$\log_{e}{n} = \log_{a}{n} . \log_{e}{a}$$

بنابراین تقریبا آزاد هستیم پایه‌ای را انتخاب کنیم که برای هدف ما در محاسبات مناسب‌تر است. قواعد ضرب، تقسیم و توان برای این نوع خاص از لگاریتم‌ها برای تمام $$x,y > 0$$ و مقادیر حقیقی a به شکل زیر برقراراند:

• قاعده ضرب: $$\ln(xy) = \ln x + \ln y$$.
• قاعده تقسیم: $$\ln(\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y$$.
• قاعده توان: $$\ln(x^a) = a \ln x$$.

$$\ln x ≤ x-1$$

در سری توانی زیر که با عنوان «سری مرکانتور» شناخته می‌شود، از لگاریتم نپری برای تقریب زدن لگاریتم برای تمام $$|x| <1$$ استفاده می‌شود:

$$\ln(x+1) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$$

نمودار لگاریتم نپر

ارتباط لگاریتم طبیعی با تابع نمایی

• برای $$x> 0$$ داریم: $$e^(\ln x) = x$$
• برای تمام اعداد حقیقی داریم: $$\ln(e^x) = x$$

$$\ln (e^x) = x$$

این ویژگی نشان می‌دهد که لگاریتم طبیعی معکوس تابع نمایی است، چون پایه آن عدد e است، عددی بنیادی که در رشدهای پیوسته و فرآیندهای حدی ظاهر می‌شود. همچنین عبارت زیر را داریم که در ساده‌سازی عبارات جبری بسیار کاربردی است:

برای xهای مثبت:   $$e^{\ln x} = x$$

مشتق لگاریتم نپری

برای محاسبه مشتق $$\ln x$$، ابتدا از طرفین تساوی $$x = e^{\log_{e}{x}}$$ نسبت به x مشتق می‌گیریم:

$$\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} e^{\log_{e}{x}}$$

$$1= \frac{df}{du}.\frac{du}{dx}$$

$$1 = e^u . \frac{d}{dx}\log_{e}{x}$$

با توجه به اینکه $$e^ u = e^{ \log_{e}{x}} = x$$، پس عبارت بالا به شکل زیر بازنویسی می‌شود:

$$1 = x . \frac{d}{dx}\log_{e}{x}$$

$$\frac{d}{dx} \log_{e}{x} = \frac{1}{x}$$

یا

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

حل مثال و تمرین از لگاریتم نپرین

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس چند نمونه سوال برای شما آماده کرده‌ایم تا با پاسخ‌دهی به آن‌ها به تمام روابط مربوط به این نوع لگاریتم مسلط شوید.

مثال ۱

مقدار x در $$e^{3x} = 9$$ چقدر است؟

پاسخ

از طرفین عبارت داده شده لگاریتم در مبنای e می‌گیریم:

$$\ln (e^{3x}) = \ln 9$$

$$3x = \ln 9$$

$$x = \frac{\ln 9 }{3}$$

مثال ۲

عبارت زیر را ساده کنید:

$$6 \ln (y) + 2 \ln (4y) - \ln (8y^6)$$

پاسخ

$$6 \ln (y) + 2 \ln (4y) - \ln (8y^6)$$

$$= \ln (y^6) + \ln ((4y)^2) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (y^6) + \ln (16y^2) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (y^6 . 16y^2) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (16y^8) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (\frac{16y^8}{8y^6})$$

$$= \ln (2y^2)$$

مثال ۳

اگر $$f(x) = \log_{e}{3x}$$ باشد، $$f^{'} (x)$$ را پیدا کنید:

پاسخ

با کمک گرفتن از ویژگی‌های تابع لگاریتمی نپر به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$f(x) = \log_{e}{3x}$$

$$= \log_{e}{3} + \log_{e}{x}$$

$$f^{'} (x) = \frac{d}{dx} log_{e}{3} + \frac{d}{dx} log_{e}{x}$$

$$= \frac{1}{x}$$

در آخرین قسمت می‌دانیم حاصل $$log_{e}{3}$$ یک عدد ثابت است که مشتق آن صفر می‌شود.

مثال ۴

اگر $$p = \ln 2$$ و $$q = \ln 6$$ باشند، $$\ln 72$$ در قالب $$p$$ و $$q$$ چه می‌شود؟

پاسخ

می‌دانیم عدد $$72$$ را می‌توان به شکل $$36 \times 2 = 6^2 \times 2$$ نوشت. پس داریم:

$$\ln 72 = \ln (6^2 \times 2 )$$

$$= \ln 6^2 + \ln 2 = 2 \ln 6 + \ln 2$$

$$= 2q +p$$