لگاریتم نپر چیست؟ – به زبان ساده + مثال لگاریتم Napierian

لگاریتم نپر یا لگاریتم طبیعی به لگاریتمی گفته می‌شود که مبنای آن عدد e ≈ ۲٫۷۱۸ است. لگاریتم نپر x با $$\log_{e}{x}$$ نمایش داده می‌شود که با $$\ln x$$ برابر است، یعنی داریم $$\log_{e}{x} = \ln x$$. طبیعی بودن این لگاریتم به این دلیل است که انتخاب پایه e در درس ریاضی بسیار خوش‌رفتارتر از پایه‌های دیگر عمل خواهد کرد. در این مطلب از مجله فرادرس ابتدا توضیح می‌دهیم لگاریتم طبیعی چیست. سپس با ویژگی‌های آن آشنا می‌شویم و در قالب حل نمونه سوالات متنوع، تسلط بر روابط آن را نیز تمرین خواهیم کرد.

لگاریتم نپر چیست؟

لگاریتم نپر که با لگاریتم طبیعی یا ln نیز شناخته می‌شود، نوع خاصی از لگاریتم با پایه‌ای برابر با عدد ثابت و گنگ e ≈ ۲٫۷۱۸ است. به این عدد، عدد نپر یا عدد اویلر هم گفته می‌شود. نمایش ریاضیاتی این لگاریتم خاص به شکل زیر است:

$$\log_{e} \equiv \ln$$

به این ترتیب اگر از متغیر x لگارتیم نپر بگیریم، معادل این است که از آن ln گرفته‌ایم:

$$\log_{e}{x} = \ln x$$

می‌دانیم لگاریتم معمولی (مبنای ۱۰) به ما نشان می‌دهد که یک عدد چند بار در ۱۰ ضرب شده است. پس لگاریتم نپر نیز به ما می‌گوید که یک عدد چند بار در e ضرب شده است تا به مقدار فعلی برسد. در واقع لگاریتم نپری برای یک عدد حقیقی و مثبت x به‌صورت توان y تعریف می‌شود، به گونه‌ای که اگر پایه e را به توان y برسانیم، عدد x به‌دست آید:

$$e^y = x \Leftrightarrow \log_{e}{x} = y$$

لگاریتم نپر در پدیده‌هایی مانند واپاشی‌ رادیواکتیو، رشد جمعیت، حل معادلات دیفرانسیل و ... به‌صورت خودکار ظاهر می‌شود. به همین دلیل به آن لگاریتم طبیعی می‌گویند. این مفهوم به افتخار نام ریاضیدان اسکاتلندی «جان نپر» (John Napier) نام‌گذاری شد، شخصی که اولین بار ایده لگاریتم‌ها را معرفی کرد. جدول زیر تفاوت‌های لگاریتم معمولی و نپر را نشان می‌دهد:

چطور لگاریتم را با فرادرس یاد بگیریم؟

پیش از اینکه ویژگی‌های لگاریتم نپرین را بررسی کنیم، در این بخش مروری داریم بر فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس که نه‌تنها مبحث لگاریتم، بلکه کلیه موضوعات حسابان یک و ریاضی یازدهم را پوشش داده‌اند:

• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم فرادرس

ویژگی های لگارتیم نپر

در این بخش مهم‌ترین ویژگی‌های لگاریتم طبیعی را برای تمام‌ x‌های مثبت فهرست کرده‌ایم:

• $$\ln e = 1$$، چون $$e^1 = e$$.
• $$\ln 1 = 0$$، چون $$e^0 = 1$$.
• $$\ln 10 \approx 2.302$$، چون $$e^{ 2.302} \approx 10$$.
• $$\ln x$$ معکوس تابع نمایی با پایه e است، یعنی داریم $$e^{\log_{e}{x}} = x$$.
• رابطه تبدیل لگاریتم معمولی به نپر:

$$\ln x = \frac{\log_{10}{x}}{\log_{10}{e}} \approx \frac{\log_{10}{x}}{0.4343}$$

فیلم آموزش ریاضی ۲ – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

همچنین می‌دانیم که می‌توان از لگاریتم با یک پایه برای محاسبه لگاریتم با پایه‌ای دیگر استفاده کرد:

$$\log_{q}{x} = \frac{ \log_{e}{x}}{ \log_{e}{q}}$$

$$\log_{e}{n} = \log_{a}{n} . \log_{e}{a}$$

بنابراین تقریبا آزاد هستیم پایه‌ای را انتخاب کنیم که برای هدف ما در محاسبات مناسب‌تر است. قواعد ضرب، تقسیم و توان برای این نوع خاص از لگاریتم‌ها برای تمام $$x,y > 0$$ و مقادیر حقیقی a به شکل زیر برقراراند:

• قاعده ضرب: $$\ln(xy) = \ln x + \ln y$$.
• قاعده تقسیم: $$\ln(\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y$$.
• قاعده توان: $$\ln(x^a) = a \ln x$$.

به‌علاوه یک نامساوی مهم در مورد لگاریتم‌های نپر داریم که برای تمام‌ x‌های مثبت درست است و در $$x=1$$ به تساوی می‌رسد:

$$\ln x ≤ x-1$$

در سری توانی زیر که با عنوان «سری مرکانتور» شناخته می‌شود، از لگاریتم نپری برای تقریب زدن لگاریتم برای تمام $$|x| <1$$ استفاده می‌شود:

$$\ln(x+1) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$$

در نهایت به خاطر داشته باشید که دامنه تابع $$\ln x$$ برابر است با $$x>0$$، یعنی این تابع فقط برای اعداد مثبت تعریف شده است و برد آن کل اعداد حقیقی است. همچنین اگر علاقه‌مندید نحوه رسم نمودار توابع لگاریتمی در اکسل را بیاموزید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «نحوه رسم نمودار لگاریتمی در اکسل – آموزش تصویری کامل» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

نمودار لگاریتم نپر

از نظر نموداری لگاریتم نپری یک تابع صعودی یکنوا است که از نقطه $$(1,0)$$ عبور می‌کند. این تابع زمانی که x از سمت راست به صفر نزدیک می‌شود، به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند و به محور y مجانب است. همچنین وقتی که x به بی‌نهایت میل کند، مقدار تابع نیز به بی‌نهایت می‌رود. شکل این نمودار در کل دامنه‌اش تقعر رو به پایین دارد که نشان‌دهنده رشد نرم و تدریجی آن از مقادیر منفی و نزدیک صفر به مقادیر مثبت برای $$x>1$$ است:

ارتباط لگاریتم طبیعی با تابع نمایی

لگاریتم طبیعی معکوس تابع نمایی (یا تابع exp) با پایه e است:

• برای $$x> 0$$ داریم: $$e^(\ln x) = x$$
• برای تمام اعداد حقیقی داریم: $$\ln(e^x) = x$$

در فیلم آموزش رایگان معرفی ویژگی های تابع نمایی فرادرس، با ویژگی‌های تابع نمایی بیشتر آشنا می‌شوید. این رابطه معکوس نشان می‌دهد که لگاریتم نپر تنها تابعی است که عملکرد نمایی را خنثی می‌کند، یعنی اعداد حقیقی مثبت را به اعداد حقیقی بازمی‌گرداند و برعکس. رابطه زیر نیز این نکته را تایید می‌کند:

$$\ln (e^x) = x$$

این ویژگی نشان می‌دهد که لگاریتم طبیعی معکوس تابع نمایی است، چون پایه آن عدد e است، عددی بنیادی که در رشدهای پیوسته و فرآیندهای حدی ظاهر می‌شود. همچنین عبارت زیر را داریم که در ساده‌سازی عبارات جبری بسیار کاربردی است:

برای xهای مثبت:   $$e^{\ln x} = x$$

مشتق لگاریتم نپری

برای محاسبه مشتق $$\ln x$$، ابتدا از طرفین تساوی $$x = e^{\log_{e}{x}}$$ نسبت به x مشتق می‌گیریم:

$$\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} e^{\log_{e}{x}}$$

حاصل سمت چپ یک است، اما در مورد سمت راست طبق قاعده زنجیره‌ای و با در نظر گرفتن $$f(u) = e^u$$ و $$u = \log_{e}{x}$$، داریم:

$$1= \frac{df}{du}.\frac{du}{dx}$$

$$1 = e^u . \frac{d}{dx}\log_{e}{x}$$

با توجه به اینکه $$e^ u = e^{ \log_{e}{x}} = x$$، پس عبارت بالا به شکل زیر بازنویسی می‌شود:

$$1 = x . \frac{d}{dx}\log_{e}{x}$$

$$\frac{d}{dx} \log_{e}{x} = \frac{1}{x}$$

یا

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

حل مثال و تمرین از لگاریتم نپرین

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس چند نمونه سوال برای شما آماده کرده‌ایم تا با پاسخ‌دهی به آن‌ها به تمام روابط مربوط به این نوع لگاریتم مسلط شوید.

مثال ۱

مقدار x در $$e^{3x} = 9$$ چقدر است؟

پاسخ

از طرفین عبارت داده شده لگاریتم در مبنای e می‌گیریم:

$$\ln (e^{3x}) = \ln 9$$

$$3x = \ln 9$$

$$x = \frac{\ln 9 }{3}$$

مثال ۲

عبارت زیر را ساده کنید:

$$6 \ln (y) + 2 \ln (4y) - \ln (8y^6)$$

پاسخ

$$6 \ln (y) + 2 \ln (4y) - \ln (8y^6)$$

$$= \ln (y^6) + \ln ((4y)^2) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (y^6) + \ln (16y^2) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (y^6 . 16y^2) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (16y^8) - ln (8y^6)$$

$$= \ln (\frac{16y^8}{8y^6})$$

$$= \ln (2y^2)$$

مثال ۳

اگر $$f(x) = \log_{e}{3x}$$ باشد، $$f^{'} (x)$$ را پیدا کنید:

پاسخ

با کمک گرفتن از ویژگی‌های تابع لگاریتمی نپر به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$f(x) = \log_{e}{3x}$$

$$= \log_{e}{3} + \log_{e}{x}$$

$$f^{'} (x) = \frac{d}{dx} log_{e}{3} + \frac{d}{dx} log_{e}{x}$$

$$= \frac{1}{x}$$

در آخرین قسمت می‌دانیم حاصل $$log_{e}{3}$$ یک عدد ثابت است که مشتق آن صفر می‌شود.

مثال ۴

اگر $$p = \ln 2$$ و $$q = \ln 6$$ باشند، $$\ln 72$$ در قالب $$p$$ و $$q$$ چه می‌شود؟

پاسخ

می‌دانیم عدد $$72$$ را می‌توان به شکل $$36 \times 2 = 6^2 \times 2$$ نوشت. پس داریم:

$$\ln 72 = \ln (6^2 \times 2 )$$

$$= \ln 6^2 + \ln 2 = 2 \ln 6 + \ln 2$$

$$= 2q +p$$