جواب تکین معادلات دیفرانسیل — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله دیفرانسیل چبیشف پرداختیم. در این آموزش، یکی از مباحث مربوط به معادلات دیفرانسیل،‌ یعنی جواب تکین را معرفی و روش به دست آوردن آن را بیان می‌کنیم.

تعریف جواب تکین

تابع $$\varphi (x)$$ را «جواب تکین» (Singular Solution) معادله دیفرانسیل $$F(x,y,y^ \prime)=0$$ می‌نامیم، هرگاه یکتایی جواب در هر نقطه از دامنه معادله نقض شود. از نظر هندسی، این بدین معنی است که بیش از یک منحنی، با خط مماس مشترک از هر نقطه‌ای مثل $$(x_0,y_0)$$ عبور می‌کند.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

نکته: گاهی هنگامی که یکتایی جواب معادله دیفرانسیل ممکن است فقط در برخی نقاط نقض شود، از تعریف ضعیف‌تر جواب تکین استفاده می‌شود.

جواب تکین معادله دیفرانسیل توسط انتگرال عمومی (معمولی) توصیف نمی‌شود، یعنی نمی‌توان به ازای هیچ مقدار خاصی از ثابت $$C$$ از جواب عمومی مشتق گرفت. این موضوع را با مثال زیر روشن می‌کنیم.

فرض کنید معادله‌ای به شکل $${\left( {y’} \right)^2} – 4y = 0$$ را باید حل کنیم. این معادله را می‌توان به راحتی حل کرد. جواب عمومی این معادله تابعی به صورت $$y=(x+C)^2$$ است. از نظر هندسی، این تابع توسط دسته‌ای از سهمی‌ها نمایش داده می‌شود (شکل 1).

علاوه بر این، تابع $$y=0$$ نیز در این معادله دیفرانسیل صدق می‌کند. اما، جواب عمومی شامل این تابع نیست. از آنجایی که بیش از یک منحنی کامل از هر نقطه از خط راست $$y=0$$ می‌گذرد، یکتایی جواب روی این خط نقض می‌شود و از این رو، جواب تکین این معادله دیفرانسیل است.

مبیّن $$\Large{p}$$

یکی از روش‌های یافتن جواب تکین، بررسی مبیّن $$p$$ معادله دیفرانسیل است. اگر تابع $$F\left( {x,y,y’} \right)$$ و مشتقات جزئی آن $${\large\frac{{\partial F}}{{\partial y}}\normalsize}, {\large\frac{{\partial F}}{{\partial y’}}\normalsize}$$ در دامنه معادله دیفرانسیل پیوسته باشند، جواب تکین را می‌توان از مجموعه معادلات زیر به دست آورد:

$$\large \left \{ \begin {array} {l} F \left ( { x , y , y ’ } \right ) = 0 \\ \frac { { \partial F \left ( { x , y , y ’ } \right ) } } { { \partial y ’ } } = 0 \end {array} \right . .$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

با حل مجموعه معادلات بالا، معادله‌ای به صورت $$\psi \left( {x,y} \right) = 0$$ به دست می‌آید که مبین $$p$$ این معادله دیفرانسیل نامیده می‌شود و منحنی متناظر با آن را منحنی مبین $$p$$ می‌نامند.

با به دست آوردن منحنی مبین $$p$$، باید آن را به صورت زیر بررسی کرد:

1. آیا جواب به دست آمده، جواب معادله دیفرانسیل است؟
2. آیا این جواب، یک جواب تکین است؛ یعنی آیا در این‌جا منحنی‌های کامل دیگری در این معادله دیفرانسیل وجود دارد که با منحنی مبین $$p$$ در هر نقطه‌ای تماس پیدا کند؟

برای این کار، کافی است مراحل زیر را انجام دهید:

• جواب عمومی معادله دیفرانسیل را بیابید (آن را $$y_1$$ بنامید)؛
• شرط‌های تماس جواب تکین (آن را با $$y_2$$ مشخص کنید) و جواب عمومی $$y_1$$ را در نقطه دلخواه $$x_0$$ بنویسید:

$$\large \left \{ \begin {array} {l} { y _ 1 } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 2 } \left( { { x _ 0 } } \right ) \\ { y ’ _ 1 } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y ’ _ 2 } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \end {array} \right . ;$$

اگر این شرط‌ها در نقطه دلخواه $$x_0$$ یک جواب داشته باشند، تابع $$y_2$$ یک جواب تکین است. جواب تکین معمولاً متناظر با پوش دسته منحنی‌های کامل جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

پوش دسته منحنی‌های کامل و مبین $$\Large$$

روش دیگر به دست آوردن جواب تکین به عنوان پوش دسته منحنی‌های کامل، استفاده از مبین $$C$$‌ است.

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

فرض کنید $$\Phi \left( {x,y,C} \right)$$ جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$F\left( {x,y,y’} \right) = 0$$ باشد. از لحاظ هندسی معادله $$\Phi \left( {x,y,C} \right) = 0$$ متناظر با دسته منحنی‌های کامل در صفحه $$xy$$ است. اگر تابع $$\Phi \left( {x,y,C} \right)$$ و مشتقات جزئی آن پیوسته باشند، پوش دسته منحنی‌های کامل جواب عمومی توسط مجموعه معادلات زیر تعریف می‌شود:

$$\large \left\{ \begin {array} {l} \Phi \left ( { x , y , C } \right ) = 0 \\ \frac { { \partial \Phi \left ( { x , y , C } \right ) } } { { \partial C } } = 0 \end {array} \right . .$$

برای اینکه مطمئن شویم آیا جواب این مجموعه معادلات واقعاً پوش است، می‌توانیم از روشی استفاده کنیم که در بخش قبلی گفته شد.

روش کلی یافتن نقاط تکین

یک روش رایج‌تر برای یافتن نقاط تکین یک معادله دیفرانسیل، استفاده همزمان از مبین $$p$$ و $$C$$ است.

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی – حل سوالات کنکور ارشد و دکتری در فرادرس

کلیک کنید

در اینجا، ابتدا معادلات مبین $$p$$ و $$C$$ را به دست می‌آوریم:

• $${\psi_p}\left( {x,y} \right) = 0$$ معادله مبین $$p$$،
• و $${\psi_C}\left( {x,y} \right) = 0$$ معادله مبین $$C$$ است.

این معادلات ساختار معینی دارند. در حالت کلی، معادله مبین $$p$$‌ را می‌توان به صورت ضرب سه تابع نوشت:

$$\large { { \psi _ p } \left ( { x , y } \right ) } = { E \times { T ^ 2 } \times C } = { 0 , }$$

که در آن، $$E$$ معادله پوش، $$T$$ معادله مکان هندسی نقاط غیرمتوالی و $$C$$ معادله مکان هندسی نقطه بازگشت است.

به طور مشابه، معادله مبین $$C$$‌ را نیز می‌توان به صورت ضرب سه تابع نوشت:

$$\large { { \psi _ C } \left ( { x , y } \right ) } = { E \times { N ^ 2 } \times { C ^ 3 } } = { 0 , }$$

در این معادله، $$E$$ معادله پوش، $$N$$ معادله مکان هندسی گره و $$C$$ معادله مکان هندسی نقطه بازگشت است.

در اینجا با انواع جدیدی از نقاط تکین شامل مکان هندسی نقطه بازگشت ($$C$$)، مکان هندسی نقاط غیرمتوالی ($$T$$) و مکان هندسی گره ($$N$$) مواجه می‌شویم. در شکل‌های ۲ تا ۴، این نقاط در صفحه $$xy$$ نشان داده شده‌اند.

سه نوع از این چهار نقطه، یعنی مکان هندسی نقاط غیرمتوالی، نقطه بازگشت و گره، نقاط خارجی هستند؛ یعنی در معادله دیفرانسیل صدق نمی‌کنند و از این رو، جواب‌های تکین معادله دیفرانسیل نیستند. فقط پوش نقاط مورد نظر جواب تکین است. از آنجایی که در معادلات مبین $$p$$ و $$C$$، پوش به عنوان عامل درجه اول معرفی شده است، به دست آوردن معادله پوش امکان‌پذیر خواهد بود.