تبدیل z – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

تبدیل z، اساساً یک ابزار عددی است که برای انتقال از حوزه زمان به حوزه فرکانس به‌کار می‌رود و یک تابع ریاضی از متغیر مختلط $$z$$ است.

تعریف تبدیل z

تبدیل z هر سیگنال گسسته $$x[n]$$ ($$[\cdot]$$ نشان‌دهنده گسسته بودن سیگنال است) را با $$X(z)$$ نشان می‌دهند و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large X \left ( z \right ) = \sum\limits _ { n = - \infty } ^ { \infty }{ x \left[ n \right] { { z } ^ { - n } } }$$

اگر اندیس جمع از 0 تا $$\infty$$ باشد، تبدیل z یک‌طرفه نامیده می‌شود:

$$\large X \left ( z \right ) = \sum \limits _ { n = 0 } ^ { \infty }{ x \left[ n \right] { { z } ^ { - n } } }$$

کاربرد تبدیل z

1. تبدیل فوریه گسسته (DFT) را می‌توان به‌ کمک تبدیل z محاسبه کرد.
2. تبدیل z به طور گسترده در تحلیل انواع مختلفی از فیلترهای دیجیتال به‌کار می‌رود.
3. تبدیل z در بسیاری از زمینه‌ها مانند فیلترسازی خطی، یافتن کانولوشن خطی و همبستگی متقابل دنباله‌های مختلف کاربرد دارد.
4. با استفاده از تبدیل z می‌توان درباره مشخصه‌های سیستم (مانند پایدار/ناپایدار، علی/غیرعلی و...) بحث کرد.

ناحیه همگرایی

دانستن مقادیری از $$z$$ که به‌ازای آن‌ها، حاصل این مجموع (سری) مقداری محدود شود، در تحلیل سیستم کاربرد دارد. این مقادیر $$z$$‌ که به‌ازای آن‌ها تابع $$f(z)$$ مقداری محدود دارد، درون ناحیه‌ای قرار دارند که «ناحیه همگرایی» (Region of Convergence) یا ROC نامیده می‌شود. ناحیه همگرایی را می‌توان به‌صورت زیر تعریف کرد:

$$\large \mathrm{ROC} = \left \{ z : \left|\sum _ { n = -\infty} ^ { \infty } x[n]z ^ { - n } \right| < \infty \right\}$$

تبدیل z، دو بخش حقیقی و موهومی دارد. نمودار مولفه موهومی در برابر مولفه حقیقی، صفحه z مختلط نامیده می‌شود. شکل زیر، نمودار صفحه مختلط را به‌همراه ناحیه همگرایی نشان می‌دهد.

از صفحه z برای نمایش ناحیه همگرایی، قطب‌ها و صفرهای یک تابع استفاده می‌شود. متغیر مختلط $$z$$ را می‌توان به‌فرم قطبی زیر نوشت:

$$\large z = \text{ } r { {e } ^ { j \omega }}$$

که در آن، $$r$$ شعاع دایره و $$\omega$$ فرکانس زاویه‌ای دنباله است.

کاربرد ناحیه همگرایی

1. با استفاده از آن، می‌توان درباره پایداری سیستم اظهار نظر کرد.
2. علی یا غیرعلی بودن دنباله را تعیین می‌کند.
3. محدود یا نامحدود بودن طول دنباله را می‌توان با استفاده از آن تعیین کرد.

مثال ۱

سیگنال $$x [n] = 0.5 ^n$$ را در نظر بگیرید. اگر این سیگنال را در بازه $$(-\infty , \infty )$$ باز کنیم، داریم:

$$\large x [ n ] = \left \{ \cdots, 0.5 ^ { - 3 }, 0.5 ^ { - 2 }, 0.5 ^ { - 1 }, 1, 0.5, 0.5 ^ 2, 0.5 ^ 3, \cdots \right \} \\ \large = \left \{\cdots, 2 ^ 3, 2 ^ 2, 2, 1, 0.5, 0.5 ^ 2, 0.5 ^ 3, \cdots \right\}.$$

همان‌طور که می‌بینیم، ناحیه همگرایی وجود ندارد:

$$\large \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x [ n ] z ^ { - n } \to \infty.$$

مثال ۲

سیگنال $$x[n] = 0.5 ^n u [n]$$ را در نظر بگیرید که در آن، $$u[n]$$ تابع پله است. اگر این سیگنال را در بازه $$(-\infty , \infty )$$ باز کنیم، داریم:

$$\large x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}.$$

شعاع همگرایی را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x [ n ] z ^ { - n} = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 0.5 ^ n z ^ { - n } = \sum _ {n = 0} ^ {\infty}\left(\frac { 0 .5 }{z}\right) ^ n = \frac { 1 } { 1 - 0.5 z ^ { - 1 } }.$$

مثال 3

سیگنال