رسم تابع در متمتیکا — آموزش گام به گام و به زبان ساده

نمودارها، بخصوص در فضای دو و سه بعُدی، به درک رفتار توابع در ریاضیات کمک ارزنده‌ای می‌کنند. نرم‌افزارهای متعددی برای رسم نمودار توابع وجود دارد. ولی شاید هیچ یک از این گونه نرم‌افزارها از عهده رسم توابع پیچیده و با مختصات گوناگون بر نیاید. در این بین رسم تابع در متمتیکا بسیار ساده بوده و کدهای دستوری برای ترسیم توابع بسیار خوانا هستند. بخصوص آن که معرفی تابع در این نرم‌افزار، به شیوه نمادین صورت گرفته و به راحتی توسط کاربر قابل درک است. به همین دلیل این نوشتار از مجله فرادرس را به کدها و نمونه تصاویر مربوط به رسم تابع در متمتیکا اختصاص داده‌ایم تا کسانی که به ریاضیات و علوم تجربی و حتی محض علاقمند هستند را با دستورات ترسیم نمودار تابع آشنا کنیم.

به منظور آشنایی با نرم‌افزار متمتیکا و همچنین بعضی از دستورات مربوط به ترسیم نمودار، نوشتارهای متمتیکا (Mathematica) چیست؟ — راهنمای شروع به کار و رسم نمودار در متمتیکا — راهنمای سریع و کاربردی را مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب رسم تابع — با مثال های حل شده و رسم نمودار برای داده‌ها — معرفی و کاربردها نیز خالی از لطف نیست.

رسم تابع در متمتیکا

«نرم‌افزار متمتیکا» (Mathematica) با بهره‌گیری از «زبان برنامه‌نویسی ولفرام» (Wolfram Language)، امکان اجرای تعداد بسیار زیادی از عملیات ریاضی و آماری را دارد.

فیلم آموزش محاسبات عددی با متمتیکا Mathematica – مقدماتی در فرادرس

کلیک کنید

انعطاف این زبان و همچنین امکان نوشتن فرمول‌های ریاضی به صورت نمادین، یکی از مهم‌ترین وجه‌های این نرم‌افزار محسوب می‌شود.

قبل از آنکه به بررسی دستورات مربوط به رسم تابع در متمتیکا بپردازیم، بهتر است برای یادآوری، مفهوم تابع را مرور کنیم. توابع در حقیقت ضوابط ریاضیاتی هستند که بین یک مجموعه با مجموعه دیگر نوشته می‌شوند. از جنبه دیگر می‌توان رابطه‌هایی را به عنوان زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه در نظر گرفت. به این ترتیب، یک تابع، رابطه‌ای خواهد بود که هیچ دو عضوی از آن، دارای مولفه‌های اول یکسان نباشند.

از آنجایی که توابع براساس ضرب دکارتی ساخته می‌شوند، می‌توان آن‌ها را در «مختصات دکارتی» (Cartesian Coordinate system) نیز نشان داد. البته مختصات دیگری نیز برای نشان دادن توابع ریاضیات به کار می‌روند. برای مثال می‌توان به «مختصات کروی» (Polar coordinate system) یا «مختصات استوانه‌ای» (Cylindrical coordinate System) اشاره کرد.

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

خوشبختانه همه این مختصات در نرم‌افزار متمتیکا قابل استفاده هستند. در ادامه به نحوه رسم نمودار توابع در فضای دو بُعدی در مختصات دکارتی خواهیم پرداخت. در نوشتاری دیگر به نحوه ترسیم نمودارهای سه بُعدی و مختصات کروی یا استوانه‌ای اشاره خواهیم کرد.

رسم توابع در متمتیکا

در ابتدا با دستور ساده Plot، ترسیم تابع را آغاز می‌کنیم. شکل دستوری این تابع به صورت زیر است.

$$\large Plot[f, \{x , x_{min}, x_{max}\} ]$$

در رابطه بالا، نماد $$f$$ ضابطه تابع را مشخص کرده و $$x$$، نام متغیر درون تابع است. همچنین کران پایین و بالا برای محدوه مقادیر متغیر نیز در بخش $$x_{min}$$ و $$x_{max}$$ قابل تعیین است.

برای مثال، رسم تابع مثلثاتی $$Sin$$ (سینوس) به شکل زیر صورت می‌گیرد.

$$\large \text{Plot[Sin[x],\{x,0,2 Pi\}] }$$

فیلم آموزش محاسبات عددی با متمتیکا Mathematica – تکمیلی در فرادرس

کلیک کنید

مشخص است که رسم تابع سینوس در بازه صفر تا $$2\pi$$ انجام خواهد شد. حاصل اجرای این دستور به صورت زیر خواهد بود.

توجه داشته باشید که اگر تابع مورد نظرتان دارای نقاط منفرد (مقدار بی‌نهایت برای تابع) باشد، متمتیکا در رسم سعی می‌کند، مقیاس محور عمودی را به شکلی تعیین کند که این وضعیت مشخص شود. به تصویر زیر که نمایش تابع تانژانت در بازه ۳- تا ۳ است، توجه کنید.

$$\large \text{Plot[Tan[x],\{x, -3,3 \}] }$$

نمودار حاصل از اجرای دستور بالا به مانند شکل ۴ خواهد بود.

نکته: نقاط منفرد یا نقاط تکین (نقاطی که تابع در آن‌ها بی‌نهایت بوده یا تعریف نشده است) با پارامتر Exclusion در نمودارهای ترسیم شده با دستور Plot قابل حذف شدن هستند. به دستور زیر و تصویر ۵ توجه کنید.

$$\large \text{Plot[Tan[x], {x, -3,3 }, Exclusion ->  {-Pi/2 , Pi/2} ] }$$

رسم همزمان چند تابع در دستور Plot

همانطور که دیدید، از دستور Plot برای رسم یک تابع کمک گرفتمی. از طرفی می‌توان از تابع Plot برای ترسیم چندین تابع هم‌زمان استفاده کرد. در این حالت همه توابع در یک مختصات، نمایش داده می‌شوند. در این حالت شیوه نوشتن دستور به صورت زیر خواهد بود.

$$\large \text{Plot}[\{f_1, f_2 , \ldots\}\text{ ,}\{x , x_{min}, x_{max}\} ]$$

برای مثال کد دستوری زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \text{Plot[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x] }, {x, 0, 2 Pi }] }$$

در تصویر 6، نتیجه اجرای دستور بالا را مشاهده می‌کنید. واضح است که هر سه تابع Sin(x), Sin(2x) و Sin(3x) با هم در صفحه مختصات نمایش داده شده‌اند. البته انتخاب رنگ‌ها برای هر یک از توابع، به صورت خودکار و توسط متمتیکا صورت گرفته است.

گزینه‌های گرافیک یا تصویری برای رسم تابع در متمتیکا

وقتی «زبان ولفرام» (Wolfram Language) یک نمودار برای شما ترسیم می‌کند، باید انتخاب‌های زیادی انجام دهد. باید تصمیم بگیرد که مقیاس‌ها روی محورها چگونه باشد، در کجا باید از تابع نمونه‌برداری شود، چگونه باید محورها ترسیم شود و غیره.

بیشتر اوقات، زبان ولفرام گزینه‌های بسیار خوبی را انتخاب خواهد کرد. با این حال، اگر می‌خواهید بهترین نتایج ممکن را برای اهداف خاص خود در رسم نمودارها بدست آورید، بهتر است زبان Wolfram را در انتخاب برخی از انتخاب ها کمک کنید.

مکانیسم کلی برای تعیین «گزینه‌ها» (Options) در توابع زبان Wolfram وجود دارد. هر گزینه نام مشخصی دارد. به عنوان آخرین آرگومان‌های تابعی مانند Plot، می‌توانید دنباله‌ای از قوانین را به فرم name-> value برای تعیین مقادیر برای گزینه‌های مختلف در نظر بگیرید. البته برای گزینه‌ای که مقدار پارامتر تعیین نشده‌ای داشته باشد، مقدار «پیش فرض» (Default) در نظر گرفته می‌شود.

به شکل تعیین پارامتر یا گزینه در دستور Plot که در ادامه دیده می‌شود، توجه کنید.

$$\large \text{Plot}[f , \{x, x_{min} , x_{max} \} ,  options \; -> \; value ]$$