در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، توابع هذلولوی یا هیپربولیک و مشتق آن‌ها را بررسی کردیم. در این آموزش، انتگرال توابع هیپربولیک را با ارائه چند مثال توضیح می‌دهیم.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
همان‌گونه که در آموزش‌های قبلی دیدیم، شش تابع اصلی هیپربولیک به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:
cosh x = e x + e – x 2 \large \cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize cosh x = 2 e x + e – x sinh x = e x – e – x 2 \large \sinh x = \large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize sinh x = 2 e x – e – x coth x = cosh x sinh x = e x + e – x e x – e – x \large \coth x = \large\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}\normalsize coth x = sinh x cosh x = e x – e – x e x + e – x tanh x = sinh x cosh x = e x – e – x e x + e – x \large \tanh x = \large\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\normalsize tanh x = cosh x sinh x = e x + e – x e x – e – x csch x = 1 sinh x = 2 e x – e – x \large \text{csch}\,x = \large\frac{1}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}\normalsize csch x = sinh x 1 = e x – e – x 2 sech x = 1 cosh x = 2 e x + e – x \large \text{sech}\,x = \large\frac{1}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\normalsize sech x = cosh x 1 = e x + e – x 2
فرمول‌های مشتق و انتگرال توابع هیپربولیک در جدول زیر آورده شده است:
انتگرال مشتق ∫ cosh x d x = sinh x + C \large {\large\int\normalsize} {\cosh x dx} = \sinh x + C ∫ cosh x d x = sinh x + C ( sinh x ) ′ = cosh x \large {\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x ( sinh x ) ′ = cosh x ∫ sinh x d x = cosh x + C \large {\large\int\normalsize} {\sinh x dx} = \cosh x + C ∫ sinh x d x = cosh x + C ( cosh x ) ′ = sinh x \large {\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x ( cosh x ) ′ = sinh x ∫ sech 2 x d x = tanh x + C \large {\large\int\normalsize} {{\text{sech}^2}x dx} = \tanh x + C ∫ sech 2 x d x = tanh x + C ( tanh x ) ′ = sech 2 x \large {\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\text{sech}^2}x ( tanh x ) ′ = sech 2 x ∫ csch 2 x d x = − coth x + C \large {\large\int\normalsize} {{\text{csch}^2}x dx} = -\coth x + C ∫ csch 2 x d x = − coth x + C ( coth x ) ′ = − csch 2 x \large {\left( {\coth x} \right)^\prime } = -{\text{csch}^2}x ( coth x ) ′ = − csch 2 x ∫ sech x tanh x d x = –sech x + C \large {\large\int\normalsize} {\text{sech}\,x\tanh xdx}= – \text{sech}\,x + C ∫ sech x tanh x d x = – sech x + C ( sech x ) ′ = –sech x tanh x \large {\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime }= – \text{sech}\,x\tanh x ( sech x ) ′ = – sech x tanh x ∫ csch x coth x d x = –csch x + C \large {\large\int\normalsize} {\text{csch}\,x\coth xdx}= – \text{csch}\,x + C ∫ csch x coth x d x = – csch x + C ( csch x ) ′ = –csch x coth x \large {\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } = – \text{csch}\,x\coth x ( csch x ) ′ = – csch x coth x
سه اتحاد مفید زیر را نیز یادآوری می‌کنیم:
cosh 2 x – sinh 2 x = 1 \large {\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x= 1 cosh 2 x – sinh 2 x = 1
sinh 2 x = 2 sinh x cosh x \large \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x sinh 2 x = 2 sinh x cosh x
cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x \large \cosh 2x = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x
وقتی انتگرالده، شامل یک تابع هیپربولیک باشد، می‌توان با استفاده از تغییر متغیر u = e x u = {e^x} u = e x x = ln u x = \ln u x = ln u d x = d u u dx = {\large\frac{{du}}{u}\normalsize} d x = u d u
در ادامه، چند مثال از روش محاسبه انتگرال توابع هیپربولیک را بررسی می‌کنیم.
مثال ۱
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ cosh x 2 + 3 sinh x d x . \large {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{\cosh x}}{{2 + 3\sinh x}}\normalsize} dx} . ∫ 2 + 3 sinh x cosh x d x .
حل: تغییر متغیر u = 2 + 3 sinh x u = 2 + 3\sinh x u = 2 + 3 sinh x d u = 3 cosh x d x du = 3\cosh x dx d u = 3 cosh x d x cosh x d x = d u 3 \cosh x dx = {\large\frac{{du}}{3}\normalsize} cosh x d x = 3 d u
∫ cosh x 2 + 3 sinh x d x = ∫ d u 3 u = 1 3 ∫ d u u = 1 3 ln ∣ u ∣ + C = 1 3 ln ∣ 2 + 3 sinh x ∣ + C . \large {\int {\frac{{\cosh x}}{{2 + 3\sinh x}}dx} }
= {\int {\frac{{\frac{{du}}{3}}}{u}} }
= {\frac{1}{3}\int {\frac{{du}}{u}} } \\ \large
= {\frac{1}{3}\ln \left| u \right| + C }
= {\frac{1}{3}\ln \left| {2 + 3\sinh x} \right| }+{ C.} ∫ 2 + 3 sinh x cosh x d x = ∫ u 3 d u = 3 1 ∫ u d u = 3 1 ln ∣ u ∣ + C = 3 1 ln ∣ 2 + 3 sinh x ∣ + C .
مثال ۲
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ sinh 3 x d x \large {\large\int\normalsize} {{{\sinh }^3}xdx} ∫ sinh 3 x d x
حل: از آنجایی که cosh 2 x – sinh 2 x = 1 {\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x= 1 cosh 2 x – sinh 2 x = 1 sinh 2 x = cosh 2 x – 1 {\sinh^2}x= {\cosh ^2}x – 1 sinh 2 x = cosh 2 x –1
I = ∫ sinh 3 x d x = ∫ sinh 2 x sinh x d x = ∫ ( cosh 2 x – 1 ) sinh x d x . \large {I = \int {{{\sinh }^3}xdx} }
= {\int {{{\sinh }^2}x\sinh xdx} } \\ \large
= {\int {\left( {{\cosh^2}x – 1} \right)\sinh xdx} .} I = ∫ sinh 3 x d x = ∫ sinh 2 x sinh x d x = ∫ ( cosh 2 x –1 ) sinh x d x .
با استفاده از تغییر متغیر u = cosh x u = \cosh x u = cosh x d u = sinh x d x du = \sinh xdx d u = sinh x d x
I = ∫ ( cosh 2 x – 1 ) sinh x d x = ∫ ( u 2 – 1 ) d u = u 3 3 – u + C = cosh 3 x 3 – cosh x + C . \large{I = \int {\left( {{\cosh^2}x – 1} \right)\sinh xdx} }
= {\int {\left( {{u^2} – 1} \right)du} } \\ \large
= {\frac{{{u^3}}}{3} – u + C }
= {\frac{{{{\cosh }^3}x}}{3} – \cosh x }+{ C.} I = ∫ ( cosh 2 x –1 ) sinh x d x = ∫ ( u 2 –1 ) d u = 3 u 3 – u + C = 3 cosh 3 x – cosh x + C .
مثال ۳
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ x sinh x d x \large {\large\int\normalsize} {x\sinh xdx} ∫ x sinh x d x
حل: در این مثال، از انتگرال‌گیری جزء به جزء ∫ u d v = u v – ∫ v d u {\large\int\normalsize} {udv}= uv – {\large\int\normalsize} {vdu} ∫ u d v = uv – ∫ v d u u = x u = x u = x d v = sinh x d x dv=\sinh xdx d v = sinh x d x d u = d x du = dx d u = d x v = ∫ sinh x d x = cosh x v = {\large\int\normalsize} {\sinh xdx}= \cosh x v = ∫ sinh x d x = cosh x
∫ x sinh x d x = x cosh x − ∫ cosh x d x = x cosh x – sinh x + C . \large {\int {x\sinh xdx} }
= {{x\cosh x }-{ \int {\cosh xdx} }}
= {x\cosh x – \sinh x }+{ C.} ∫ x sinh x d x = x cosh x − ∫ cosh x d x = x cosh x – sinh x + C .
مثال 4
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ e x sinh x d x \large {\large\int\normalsize} {{e^x}\sinh xdx} ∫ e x sinh x d x
حل: از آنجایی که sinh x = e x – e – x 2 \sinh x = {\large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize} sinh x = 2 e x – e – x
∫ e x sinh x d x = ∫ e x e x – e – x 2 d x = 1 2 ∫ ( e 2 x – 1 ) d x = 1 2 ( 1 2 e 2 x – x ) + C = e 2 x 4 – x 2 + C . \large {\int {{e^x}\sinh xdx} }
= {\int {{e^x}\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}dx} } \\ \large
= {\frac{1}{2}\int {\left( {{e^{2x}} – 1} \right)dx} }
= {{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{e^{2x}} – x} \right) }+{ C }}
= {{\frac{{{e^{2x}}}}{4} – \frac{x}{2} }+{ C.}} ∫ e x sinh x d x = ∫ e x 2 e x – e – x d x = 2 1 ∫ ( e 2 x –1 ) d x = 2 1 ( 2 1 e 2 x – x ) + C = 4 e 2 x – 2 x + C .
مثال 5
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ d x 1 + cosh x \large {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{1 + \cosh x}}\normalsize} ∫ 1 + cosh x d x
حل: از تعریف تابع cosh x = e x + e – x 2 \cosh x= {\large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize} cosh x = 2 e x + e – x
∫ d x 1 + cosh x = ∫ d x 1 + e x + e – x 2 = ∫ 2 d x 2 + e x + e – x = 2 ∫ e x d x 2 e x + e 2 x + 1 = 2 ∫ d ( e x + 1 ) ( e x + 1 ) 2 = – 2 e x + 1 + C . \large {\int {\frac{{dx}}{{1 + \cosh x}}} }
= {\int {\frac{{dx}}{{1 + \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}}}} } \\ \large
= {\int {\frac{{2dx}}{{2 + {e^x} + {e^{ – x}}}}} }
= {2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{2{e^x} + {e^{2x}} + 1}}} } \\ \large
= {2\int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} }
= { – \frac{2}{{{e^x} + 1}} + C.} ∫ 1 + cosh x d x = ∫ 1 + 2 e x + e – x d x = ∫ 2 + e x + e – x 2 d x = 2 ∫ 2 e x + e 2 x + 1 e x d x = 2 ∫ ( e x + 1 ) 2 d ( e x + 1 ) = – e x + 1 2 + C .
مثال ۶
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ d x sinh x + 2 cosh x \large {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sinh x + 2\cosh x}}\normalsize} ∫ sinh x + 2 cosh x d x
حل: در این مثال، از تعریف توابع sinh x = e x – e – x 2 \sinh x= {\large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize} sinh x = 2 e x – e – x cosh x = e x + e – x 2 \cosh x= {\large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize} cosh x = 2 e x + e – x
I = ∫ d x sinh x + 2 cosh x = ∫ d x e x – e – x 2 + 2 ⋅ e x + e – x 2 = ∫ 2 d x e x – e – x + 2 e x + 2 e – x = 2 ∫ d x 3 e x + e – x = 2 ∫ e x d x 3 e 2 x + 1 . \large{I = \int {\frac{{dx}}{{\sinh x + 2\cosh x}}} }
= {\int {\frac{{dx}}{{\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} + 2 \cdot \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}}}} } \\ \large
= {\int {\frac{{2dx}}{{{e^x} – {e^{ – x}} + 2{e^x} + 2{e^{ – x}}}}} }
= {2\int {\frac{{dx}}{{3{e^x} + {e^{ – x}}}}} }
= {2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{3{e^{2x}} + 1}}} .} I = ∫ sinh x + 2 cosh x d x = ∫ 2 e x – e – x + 2 ⋅ 2 e x + e – x d x = ∫ e x – e – x + 2 e x + 2 e – x 2 d x = 2 ∫ 3 e x + e – x d x = 2 ∫ 3 e 2 x + 1 e x d x .
با استفاده از تغییر متغیر u = e x u = {e^x} u = e x d u = e x d x du = {e^x}dx d u = e x d x
I = 2 ∫ e x d x 3 e 2 x + 1 = 2 ∫ d u 3 u 2 + 1 = 2 3 ∫ d u u 2 + 1 3 = 2 3 ∫ d u u 2 + ( 1 3 ) 2 = 2 3 ⋅ 3 1 arctan u 1 3 + C = 2 3 arctan ( 3 u ) + C = 2 3 arctan ( 3 e x ) + C . \large {I = 2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{3{e^{2x}} + 1}}} }
= {2\int {\frac{{du}}{{3{u^2} + 1}}} } \\ \large
= {\frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + \frac{1}{3}}}} }
= {\frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}} } \\ \large
= {{\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{1}\arctan \frac{u}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} }+{ C }}
= {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 u} \right) }+{ C }} \\ \large
= {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 {e^x}} \right) }+{ C.}} I = 2 ∫ 3 e 2 x + 1 e x d x = 2 ∫ 3 u 2 + 1 d u = 3 2 ∫ u 2 + 3 1 d u = 3 2 ∫ u 2 + ( 3 1 ) 2 d u = 3 2 ⋅ 1 3 arctan 3 1 u + C = 3 2 arctan ( 3 u ) + C = 3 2 arctan ( 3 e x ) + C .
مثال ۷
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ sinh 2 x cosh 3 x d x . \large {\large\int\normalsize} {\sinh 2x\cosh 3xdx} . ∫ sinh 2 x cosh 3 x d x .
حل: با استفاده از تعریف توابع sinh x = e x – e – x 2 \sinh x= {\large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize} sinh x = 2 e x – e – x cosh x = e x + e – x 2 \cosh x= {\large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize} cosh x = 2 e x + e – x
∫ sinh 2 x cosh 3 x d x = ∫ e 2 x – e – 2 x 2 ⋅ e 3 x + e – 3 x 2 d x = 1 4 ∫ ( e 5 x – e x + e – x – e – 5 x ) d x = 1 4 ( e 5 x 5 – e x – e – x + e – 5 x 5 ) + C = 1 10 ⋅ e 5 x + e – 5 x 2 − 1 2 ⋅ e x + e – x 2 + C = cosh 5 x 10 – cosh x 2 + C . \large {\int {\sinh 2x\cosh 3xdx} }
= {\int {\frac{{{e^{2x}} – {e^{ – 2x}}}}{2} \cdot \frac{{{e^{3x}} + {e^{ – 3x}}}}{2}dx} } \\ \large
= {\frac{1}{4}\int {\left( {{e^{5x}} – {e^x} + {e^{ – x}} – {e^{ – 5x}}} \right)dx} }
= {{\frac{1}{4}\left( {\frac{{{e^{5x}}}}{5} – {e^x} – {e^{ – x}} + \frac{{{e^{ – 5x}}}}{5}} \right) }+{ C }} \\ \large
= {{\frac{1}{{10}} \cdot \frac{{{e^{5x}} + {e^{ – 5x}}}}{2} }-{ \frac{1}{2} \cdot \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2} }+{ C }}
= {{\frac{{\cosh 5x}}{{10}} – \frac{{\cosh x}}{2} }+{ C.}} ∫ sinh 2 x cosh 3 x d x = ∫ 2 e 2 x – e –2 x ⋅ 2 e 3 x + e –3 x d x = 4 1 ∫ ( e 5 x – e x + e – x – e –5 x ) d x = 4 1 ( 5 e 5 x – e x – e – x + 5 e –5 x ) + C = 10 1 ⋅ 2 e 5 x + e –5 x − 2 1 ⋅ 2 e x + e – x + C = 10 cosh 5 x – 2 cosh x + C .
مثال ۸
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
∫ sinh x cos x d x . \large {\large\int\normalsize} {\sinh x\cos xdx}. ∫ sinh x cos x d x .
حل: در این مثال، از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. بنابراین، فرض کنید:
u = cos x , d v = sinh x d x , ⇒ d u = – sin x d x , v = ∫ sinh x d x = cosh x . \large{u = \cos x,\;\;}\kern-0.3pt
{dv = \sinh xdx,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{du = – \sin xdx,\;\;}\kern-0.3pt
{v = \int {\sinh xdx} }={ \cosh x.} u = cos x , d v = sinh x d x , ⇒ d u = – sin x d x , v = ∫ sinh x d x = cosh x .
در نتیجه:
∫ sinh x cos x d x = cosh x cos x – ∫ cosh x ( – sin x ) d x = cosh x cos x + ∫ cosh x sin x d x . \large{\int {\sinh x\cos xdx} }
= {\cosh x\cos x – \int {\cosh x\left( { – \sin x} \right)dx} }\\ \large
= {\cosh x\cos x + \int {\cosh x\sin xdx}.} ∫ sinh x cos x d x = cosh x cos x – ∫ cosh x ( – sin x ) d x = cosh x cos x + ∫ cosh x sin x d x .
باز هم از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:
u = sin x , d v = cosh x d x , ⇒ d u = cos x d x , v = ∫ cosh x d x = sinh x . \large{u = \sin x,\;\;}\kern-0.3pt
{dv = \cosh xdx,\;\;}\\ \large\Rightarrow
{du = \cos xdx,\;\;}\kern-0.3pt
{v = \int {\cosh xdx} }={ \sinh x.} u = sin x , d v = cosh x d x , ⇒ d u = cos x d x , v = ∫ cosh x d x = sinh x .
بنابراین، داریم:
∫ sinh x cos x d x = cosh x cos x + ∫ cosh x sin x d x = cosh x cos x + ( sin x sinh x − ∫ sinh x cos x d x ) . \large {\int {\sinh x\cos xdx} }
= {\cosh x\cos x }+{ \int {\cosh x\sin xdx} } \\ \large
= {\cosh x\cos x }+{ \left ( {\sin x\sinh x }\right.}-{\left.{ \int {\sinh x\cos xdx} } \right).} ∫ sinh x cos x d x = cosh x cos x + ∫ cosh x sin x d x = cosh x cos x + ( sin x sinh x − ∫ sinh x cos x d x ) .
با حل این معادله برای ∫ sinh x cos x d x {\large\int\normalsize} {\sinh x\cos xdx} ∫ sinh x cos x d x
∫ sinh x cos x d x = cosh x cos x + sinh x sin x 2 . \large {\int {\sinh x\cos xdx} }
= {\frac{{\cosh x\cos x + \sinh x \sin x}}{2}.} ∫ sinh x cos x d x = 2 cosh x cos x + sinh x sin x .
برای دسترسی سریع به فرمول‌های پیچیده‌تر انتگرال توابع هیپربولیک، می‌توانید از فرمول‌های جدول زیر کمک بگیرید.
انتگرال توابع سینوس هیپربولیک
∫ sinh a x d x = 1 a cosh a x + C \large \int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax+C ∫ sinh a x d x = a 1 cosh a x + C
∫ sinh 2 a x d x = 1 4 a sinh 2 a x − x 2 + C \large \int\sinh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax - \frac{x}{2}+C ∫ sinh 2 a x d x = 4 a 1 sinh 2 a x − 2 x + C
$$\large \int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh^{n-1} ax)(\cosh ax) - \frac{n-1}{n}\int\sinh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$$
$$\large \int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{a(n+1)}(\sinh^{n+1} ax)(\cosh ax) - \frac{n+2}{n+1}\int\sinh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}$$
∫ d x sinh a x = 1 a ln ∣ tanh a x 2 ∣ + C \large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\tanh\frac{ax}{2}\right|+C ∫ sinh a x d x = a 1 ln tanh 2 a x + C
∫ d x sinh a x = 1 a ln ∣ cosh a x − 1 sinh a x ∣ + C \large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\cosh ax - 1}{\sinh ax}\right|+C ∫ sinh a x d x = a 1 ln sinh a x cosh a x − 1 + C
∫ d x sinh a x = 1 a ln ∣ sinh a x cosh a x + 1 ∣ + C \large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\sinh ax}{\cosh ax + 1}\right|+C ∫ sinh a x d x = a 1 ln cosh a x + 1 sinh a x + C
∫ d x sinh a x = 1 2 a ln ∣ cosh a x − 1 cosh a x + 1 ∣ + C \large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{\cosh ax - 1}{\cosh ax + 1}\right|+C ∫ sinh a x d x = 2 a 1 ln cosh a x + 1 cosh a x − 1 + C
$$\large \int\frac{dx}{\sinh^n ax} = -\frac{\cosh ax}{a(n-1)\sinh^{n-1} ax}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sinh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$
∫ x sinh a x d x = 1 a x cosh a x − 1 a 2 sinh a x + C \large \int x\sinh ax\,dx = \frac{1}{a} x\cosh ax - \frac{1}{a^2}\sinh ax+C ∫ x sinh a x d x = a 1 x cosh a x − a 2 1 sinh a x + C
$$\large \int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh bx)(\cosh ax) - b(\cosh bx)(\sinh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$$
انتگرال توابع کسینوس هیپربولیک ∫ cosh a x d x = 1 a sinh a x + C \large \int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax+C ∫ cosh a x d x = a 1 sinh a x + C ∫ cosh 2 a x d x = 1 4 a sinh 2 a x + x 2 + C \large \int\cosh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax + \frac{x}{2}+C ∫ cosh 2 a x d x = 4 a 1 sinh 2 a x + 2 x + C
$$\large \int\cosh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh ax)(\cosh^{n-1} ax) + \frac{n-1}{n}\int\cosh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$$
$$\large \int\cosh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}(\sinh ax)(\cosh^{n+1} ax) + \frac{n+2}{n+1}\int\cosh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}$$
∫ d x cosh a x = 2 a arctan e a x + C \large \int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{2}{a} \arctan e^{ax}+C ∫ cosh a x d x = a 2 arctan e a x + C
∫ d x cosh a x = 1 a arctan ( sinh a x ) + C \large \int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{1}{a} \arctan (\sinh ax)+C ∫ cosh a x d x = a 1 arctan ( sinh a x ) + C
$$\large \int\frac{dx}{\cosh^n ax} = \frac{\sinh ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cosh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$
∫ x cosh a x d x = 1 a x sinh a x − 1 a 2 cosh a x + C \large \int x\cosh ax\,dx = \frac{1}{a} x\sinh ax - \frac{1}{a^2}\cosh ax+C ∫ x cosh a x d x = a 1 x sinh a x − a 2 1 cosh a x + C
∫ x 2 cosh a x d x = − 2 x cosh a x a 2 + ( x 2 a + 2 a 3 ) sinh a x + C \large \int x^2 \cosh ax\,dx = -\frac{2x \cosh ax}{a^2} + \left(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3}\right) \sinh ax+C ∫ x 2 cosh a x d x = − a 2 2 x cosh a x + ( a x 2 + a 3 2 ) sinh a x + C
$$\large \int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\cosh bx) - b(\sinh bx)(\cosh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$$
انتگرال توابع تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت هیپربولیک ∫ tanh x d x = ln cosh x + C \large \int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C ∫ tanh x d x = ln cosh x + C ∫ tanh 2 a x d x = x − tanh a x a + C \large \int\tanh^2 ax\,dx = x - \frac{\tanh ax}{a}+C ∫ tanh 2 a x d x = x − a tanh a x + C
$$\large \int \tanh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\tanh^{n-1} ax+\int\tanh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$
∫ coth x d x = ln ∣ sinh x ∣ + C , for x ≠ 0 \large \int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \text{ for } x \neq 0 ∫ coth x d x = ln ∣ sinh x ∣ + C , for x = 0
$$\large \int \coth^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\coth^{n-1} ax+\int\coth^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$
∫ sech x d x = arctan ( sinh x ) + C \large \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C ∫ sech x d x = arctan ( sinh x ) + C
∫ csch x d x = ln ∣ tanh x 2 ∣ + C , for x ≠ 0 \large \int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \text{ for } x \neq 0 ∫ csch x d x = ln tanh 2 x + C , for x = 0
انتگرال توابع سینوس و کسینوس هیپربولیک $$\large \int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\sinh bx) - b(\cosh ax)(\cosh bx)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$$ انتگرال توابع هیپربولیک و مثلثاتی ∫ sinh ( a x + b ) sin ( c x + d ) d x = a a 2 + c 2 cosh ( a x + b ) sin ( c x + d ) − c a 2 + c 2 sinh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + C \large \int \sinh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C ∫ sinh ( a x + b ) sin ( c x + d ) d x = a 2 + c 2 a cosh ( a x + b ) sin ( c x + d ) − a 2 + c 2 c sinh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + C ∫ sinh ( a x + b ) cos ( c x + d ) d x = a a 2 + c 2 cosh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + c a 2 + c 2 sinh ( a x + b ) sin ( c x + d ) + C \large \int \sinh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C ∫ sinh ( a x + b ) cos ( c x + d ) d x = a 2 + c 2 a cosh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + a 2 + c 2 c sinh ( a x + b ) sin ( c x + d ) + C
∫ cosh ( a x + b ) sin ( c x + d ) d x = a a 2 + c 2 sinh ( a x + b ) sin ( c x + d ) − c a 2 + c 2 cosh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + C \large \int \cosh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C ∫ cosh ( a x + b ) sin ( c x + d ) d x = a 2 + c 2 a sinh ( a x + b ) sin ( c x + d ) − a 2 + c 2 c cosh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + C
∫ cosh ( a x + b ) cos ( c x + d ) d x = a a 2 + c 2 sinh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + c a 2 + c 2 cosh ( a x + b ) sin ( c x + d ) + C \large \int \cosh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C ∫ cosh ( a x + b ) cos ( c x + d ) d x = a 2 + c 2 a sinh ( a x + b ) cos ( c x + d ) + a 2 + c 2 c cosh ( a x + b ) sin ( c x + d ) + C
اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
فیلم های آموزش انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام) فیلم آموزشی انتگرال توابع هیپربولیک فیلم آموزشی حل چند مثال از انتگرال توابع هیپربولیک 
فرادرس
