فرادرساتحاد سه جمله ای — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
در آموزش‌های پیشین مجله فرادس، با اتحادهای جبری از جمله مهم، از قبیل اتحاد مزدوج، اتحاد جمله مشترک، اتحاد چاق و لاغر و اتحاد مکعب آشنا شدیم. در این آموزش، مطالبی را درباره اتحاد سه جمله ای بیان می‌کنیم و ضمن اثبات آن، مثالهایی را نیز حل خواهیم کرد.
اتحاد چیست؟
معنی لغوی اتحاد یکی شدن است. در ریاضیات نیز اتحاد به یک تساوی گفته می‌شود که یک یا چند متغیر دارد و به‌ازای همه مقدارهای متغیرها برقرار است. مثلاً تساوی زیر یک عبارت جبری است:
$$ ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 $$
از آنجا که اتحاد برای همه مقدارها و متغیرها برقرار است، می‌توان در موارد مختلف از یکی از دو طرف تساوی استفاده کرد. مثلاً، می‌توان به‌جای $$ (a+b)^ 2 $$، عبارت جبری $$ a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 $$ را قرار داد و بالعکس.
یکی از کاربردهای اتحادها این است که با استفاده از آن‌ها می‌توان به‌راحتی حل بسیاری از مسائل پیچیده را آسان کرد، عبارت‌های جبری را تجزیه کرد و... . در ادامه، با اتحاد سه جمله ای آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را از کاربرد آن بررسی خواهیم کرد.
اتحاد سه جمله ای مربع
اتحاد مربع سه‌جمله‌ای یکی از انواع اتحاد مربع است که برای دو حالت مجموع و تفاضل سه جمله بیان می‌شود. در ادامه، این دو را معرفی می‌کنیم.
اتحاد مربع مجموع سه جمله
اتحاد سه جمله ای مربع برای مجموع سه جمله $$ a $$ و $$ b $$ و $$c$$ بهصورت زیر بیان می‌شود:
$$ \large \boxed {\begin {aligned}
( a + b + c ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2( a b + b c + c a )
\end {aligned} } $$
اثبات: برای اثبات اتحاد مربع سه‌جمله‌ای می‌توانیم ضرب $$( a + b + c ) ( a + b + c )$$ را انجام دهیم و بینیم که برابر با طرف سمت راست تساوی است:
$$ \begin {aligned}
( a + b + c ) ^ { 2 } & = ( a + b + c ) ( a + b + c ) \\
& = a ^ { 2 } + a b + a c + a b + b ^ { 2 } + b c + c a + b c + c ^ { 2 } \\
& = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 c a \\
& = a ^ { 2 } + b^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2( a b + b c + c a )
\end {aligned} $$
همانطور که می‌بینیم، اتحاد بهسادگی اثبات می‌شود.
اتحاد مربع تفاضل سه جمله
اتحاد مربع تفاضل سه جمله را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:
$$ \large \boxed { ( a - b - c ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a b + 2 b c - 2 c a } $$
اثبات: این اتحاد نیز بهسادگی و با انجام ضرب سمت راست تساوی، بهصورت زیر اثبات می‌شود:
$$ \begin {aligned}
( a - b - c ) ^ { 2 } & = ( a - b - c ) ( a - b - c ) \\
& = a ^ { 2 } - a b - a c - a b + b ^ { 2 } + b c - c a + b c + c ^ { 2 } \\
& = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a b + 2 b c- 2 c a \\
& = a ^ { 2 } +b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 ( a b - b c + c a )
\end {aligned} $$
اتحاد سه جمله ای مکعب
اتحاد مکعب سه‌جمله‌ای نیز برای مجموع و تفاضل بیان می‌شود که در ادامه با آن‌ها آشنا می‌شویم.
اتحاد مکعب مجمع سه جمله
اتحاد مکعب مجموع سه‌جمله‌ای را می‌توانیم با استفاده از اتحاد مکعب دوجمله‌ای و به صورت زیر محاسبه کنیم:
$$ \begin{array} {l}
( a + b + c ) ^ { 3 }
& = [ a + ( b + c ) ] ^ { 3 } \\
& = a ^ { 3 } + 3 a ( b + c ) [ a + ( b + c ) ] + ( b + c ) ^ { 3 } \\
& = a ^ { 3 } + 3 a ( b + c ) [ a + ( b + c ) ] + b ^ { 3 } + 3 b c ( b +c ) + c ^ { 3 } \\
& = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } + 3 a ( b + c ) [ a + ( b + c ) ] + 3 b c ( b + c ) \\
& = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } + 3 ( b + c ) \left [ a ^ { 2 } + a b + a c + b c \right ] \\
& = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } + 3 ( b + c )[ a ( a + b ) + c ( a + b ) ] \\
& = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } + 3 ( b + c ) ( a + b ) ( a + c )
\end {array} $$
این فرمول را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$ \large \boxed {( a + b + c ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } + 3 ( b + c ) ( a + b ) ( a + c )} $$
اتحاد مکعب تفاضل سه جمله
با استفاده از آنچه برای مکعب جمع سه جمله بیان کردیم، برای مکعب تفاضل سه جمله، داریم:
$$ \begin{array} {l}
( a - b - c ) ^ { 3 }
& = a ^ { 3 } + {(-b}) ^ { 3 } + (-c) ^ { 3 } + 3 ( (-b) + (-c) ) ( a + (-b) ) ( a + (-c) ) \\
& = a ^ 3 - b ^ 3 - c ^ 3 -3 (b+c)(a-b)(a-c)
\end {array} $$
بنابراین، می‌توان نوشت:
$$ \large \boxed {\begin{array} {l}
( a - b - c ) ^ { 3 }
= a ^ 3 - b ^ 3 - c ^ 3 -3 (b+c)(a-b)(a-c)
\end {array} } $$
این اتحاد را می‌توان بهصورت زیر نیز اثبات کرد:
$$ \begin {aligned}
( a - b - c ) ^ { 2 } & = ( a - b - c ) ( a - b - c ) \\
& = a ^ { 2 } - a b - a c - a b + b ^ { 2 } + b c - c a + b c + c ^ { 2 } \\
& = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a b + 2 b c- 2 c a \\
& = a ^ { 2 } +b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 ( a b - b c + c a )
\end {aligned} $$
مثال‌های اتحاد سه جمله ای
در این بخش، مثالهایی از اتحاد سه جمله ای را بررسی می‌کنیم.
مثال اول اتحاد سه جمله ای
عبارت $$ 25 x ^ 2 + 16 y ^ 2 + 9 z ^ 2 – 40 x y + 24 y z – 30 z x $$ را تجزیه کنید.
حل: این عبارت را می‌توان بهصورت $$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a $$ نوشت که در آن، $$ a = 5 x $$، $$ b = - 4 y $$ و $$ c = - 3 z $$ است. بنابراین، از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:
$$ ( a + b + c ) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a $$
و می‌توان نوشت:
$$ 25 x ^ 2 + 16 y ^ 2 + 9 z ^ 2 – 40 x y + 24 y z – 30 z x = ( 5 x – 4 y – 3 z ) ^ 2 $$
مثال دوم اتحاد سه جمله ای
اگر $$a + b + c = 200 $$ و $$ab + bc + ca = 10000$$ باشد، مقدار $$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $$ را به‌دست آورید.
حل: از اتحاد مربع سه‌جمله‌ای استفاده می‌کنیم و می‌نویسیم:
$$ \large \begin {aligned}
a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } & = ( a + b + c ) ^ { 2 } - 2 ( a b + b c + c a ) \\
& = ( 2 0 0 ) ^ { 2 } - 2 ( 1 00 0 0 ) = 4 00 0 0 - 20 0 0 0= 20000
\end {aligned} $$
مثال سوم اتحاد سه جمله ای
تساوی‌های زیر را در نظر بگیرید:
$$ \large \begin {aligned} a + b & = c + 6 \\ a b - a c & = b c - 1 \\ \end {aligned} $$
مقدار $$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $$ را محاسبه کنید.
حل: با استفاده از مقدارهای داده شده و اتحاد مربع سه‌جمله‌ای، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {array} {lll} a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 & ={ ( a + b + c ) } ^ 2 - 2 ( a b + b c + ac ) \\ & = { ( ( c +6 ) + c ) }^ 2 - 2 ( ( b c + a c - 1 ) + b c + a c ) \\ & = { ( 2 c + 6 ) } ^ 2 - 2 ( 2 b c + 2 a c - 1 ) \\ & = { ( 4 c ^ 2 + 2 4 c + 3 6 ) } - 2 ( 2 c (b + a ) - 1 ) \\ & = { ( 4 c ^ 2 + 2 4 c+ 3 6) } - 2 ( 2 c ( c + 6 ) - 1 ) \\ & = { ( 4 c ^ 2 + 2 4 c + 3 6 ) } - ( 4 c ^ 2+ 2 4 c - 2 ) \\ & = 36 - ( - 2 ) = 36 + 2 = 38 \end {array} $$
مثال چهارم اتحاد سه جمله ای
تساوی زیر را در نظر بگیرید:
$$ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c} =0 $$
عبارت زیر را بهصورت یک عبارت کامل بنویسید:
$$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $$
حل: باید آنچه را که داریم، به‌شکل اتحادهایی که داریم درآوریم. ابتدا دو طرف را در $$abc$$ ضرب می‌کنیم و خواهیم داشت:
$$ \frac { 1 } { a } + \frac { 1} { b } + \frac { 1 } { c } = 0 \Rightarrow a b c \left ( \frac { 1 } { a }+\frac { 1 } { b } + \frac { 1} { c } \right ) = 0 \Rightarrow b c + a c + a b = 0 $$
اکنون از اتحاد مربع سه‌جمله‌ای استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:
$$ \begin {align}
( a + b + c ) ^ { 2 } & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 ( a b + a c + b c )
\\
\Rightarrow ( a + b + c ) ^ { 2 } & = a ^ { 2 } +b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 ( 0 )
\\
\Rightarrow ( a + b + c ) ^ { 2 } & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 }
\end {align} $$
مثال پنجم اتحاد سه جمله ای
عبارت $$(a-b-c)(b-a+c)$$ را ساده کنید.
حل: از منفی پرانتز سمت راست فاکتور می‌گیریم و با استفاده از اتحاد مربع سه‌جمله‌ای خواهیم داشت:
$$ \begin {aligned}
( a - b - c ) ( b - a + c ) & = - ( a - b - c ) ( a - b - c ) \\
& = - ( a - b - c ) ^ { 2 } \\
& = - \left [ ( a ) ^ { 2 } + ( - b ) ^ { 2 } + ( - c ) ^ { 2 } + 2 ( a ) ( - b ) + 2 ( a ) ( - c ) + 2 ( - b ) ( - c ) \right ] \\
& = - \left ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a b - 2 a c + 2 b c \right ) \\
& = - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } - c ^ { 3 } + 2 a b + 2 a c - 2 b c
\end {aligned} $$
مثال ششم اتحاد سه جمله ای
اگر $$ x + 2y = 6$$ و $$xy = 2$$، آنگاه مقدار $$ x ^ 3 + 8 y ^ 3 $$ را محاسبه کنید.
حل: از اتحاد $$ ( a + b ) ^ 3 $$ استفاده می‌کنیم:
$$ ( a + b ) ^ 3 = a ^ 3 + 3 a ^ 2 b + 3 a b ^ 2 + b ^ 3 $$
که در آن، $$a = x $$ و $$b = 2y $$. بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \begin {aligned}
( x + 2 y ) ^ { 3 } & = x ^ { 3 } + 3 \times x ^ { 2 } \times ( 2 y ) + 3 \times x \times ( 2 y ) ^ { 2 } + ( 2 y ) ^ { 3 } \\
( x + 2 y ) ^ { 3 } & = x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } y + 1 2 x y ^ { 2 } + 8 y ^ { 3 } \\
6 ^ { 3 } & = x ^ { 3 } + 6 x y ( x + 2 y ) + 8 y ^ { 3 } \\
216 & = x ^ { 3 } + 6 \times 2 \times 6 + 8 y ^ { 3 } \\
x ^ { 3 } + 8 y ^ { 3 } & = 144
\end {aligned} $$
جمع‌بندی
در این آموزش، با اتحاد سه جمله ای مربع و مکعب آشنا شدیم و ضمن اثبات این اتحادها، مثالهایی را نیز بررسی کردیم.
بسیار عالی و کاربردی خدا خیرتان دهد