ویژگی های سری بینهایت – از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد مفاهیم مربوط به سری‌ها بحث شد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا ویژگی های سری بینهایت را توضیح دهیم. البته پیشنهاد می‌کنیم ابتدا به ساکن مطلب سری توانی را مطالعه فرمایید.

ویژگی های سری بینهایت

سری‌ به مفهومی در ریاضیات گفته می‌شود که در آن چندین عدد یا متغیر با یکدیگر جمع می‌شوند. اما این حاصل جمع معمولا از الگوی خاصی پیروی می‌کند.

دو نمونه معروف از سری‌های عددی، سری‌های هندسی و حسابی هستند. قبل از بیان کردن ویژگی‌های مربوط به سری‌های هندسی ابتدا به ساکن لازم است تا نماد‌های استفاده شده در این مطلب را توضیح دهیم. در ادامه این نماد‌ها معرفی شده‌اند.

• $$\left\{ { { a _ n } } \right\}$$, $$\left\{ { { b _ n } } \right\}$$: دنباله‌های عددی
• $${ { a _ 1 } }$$, $${ { b _ 1 } }$$: جمله اول سری‌ها
• $${ { a _ n } }$$, $${ { b _ n } }$$: جمله $$N$$ام سری‌ها
• $${ { S _ n } }$$: جمع جزئی $$n$$ جمله
• $$n$$: شماره جمله
• $$L , A, B$$: سری‌های بینهایت
• $$c$$: عدد حقیقی
• $$f \left ( x \right )$$: تابع پیوسته
• $$x$$: متغیر مستقل

تعریف سری بینهایت

سری بینهایت، به سری گفته می‌شود که در آن تعداد بینهایت جمله با یکدیگر جمع شده باشند. در حالت کلی یک سری بینهایت به صورت زیر قابل بیان است.

$$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = { a _ 1 } + { a _ 2 } + \ldots$$

توجه داشته باشید که الزاما ممکن نیست که حاصل جمع جملات یک سری بینهایت برابر با بینهایت باشد. برای نمونه سری زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \sum_{ n = 1 } ^ { \infty } ( \frac { 1 } {2 } ) ^ n$$

حاصل جمع جملات این سری به $$1$$ میل می‌کنند. روش‌هایی وجود دارند که می‌توان با استفاده از آن‌ها همگرایی و واگرایی سری‌ها را اثبات کرد. در ابتدا لازم است همگرایی سری‌ را به صورت زیر تعریف کنیم.

$$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { {a _ n } } = L \ , \ \lim \limits _ { n \to \infty } { S _ n } = L$$

یک سری بینهایت به عدد ثابتی همچون $$L$$ همگرا است اگر حاصل جمع جزئی $$S _ n$$ به ازای مقادیر بینهایتش به عدد ثابت $$L$$ میل کند. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = L$$

تشخیص همگرایی و واگرایی

اگر حاصل $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ همگرا باشد، در این صورت حاصل حد جمله عمومی به صفر میل می‌کند. بنابراین برای جمله عمومی یک سری همگرا، گزاره زیر را می‌توان بیان کرد:

$$\large \lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } = 0$$

فیلم آموزش ریاضی ۳ – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

توجه داشته باشید که آزمون جمله عمومی در جهت عکس برقرار نیست. در حالتی که حدِ $$\lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } \ne 0$$ مخالف صفر باشد و یا موجود نباشد، سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ واگرا خواهد بود.

در برخی موارد می‌توان از ویژگی‌‌های خطی سری‌های بینهایت به منظور تشخیص همگرایی یا واگرایی سری‌ها استفاده کرد. فرض کنید دو سریِ همگرای $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = A$$ و $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } } = B$$ وجود داشته باشند. در این صورت ویژگی‌ خطی زیر بین سری‌ها برقرار خواهند بود.

$$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } + { b _ n } } \right ) } = A + B \;$$,$$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { c { a_ n } } = c A$$

آزمون مقایسه

فرض کنید $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ و $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } }$$ دو سری بینهایت باشند. توجه داشته باشید که جملات عمومی به ازای تمامی مقادیر $$n$$ در نامساوی زیر قرار می‌گیرند.

$$\large 0 \lt { a _ n } \le { b _ n }$$

در این صورت از آزمون‌های مقایسه زیر می‌توان به منظور بررسی همگرایی یا واگرایی سری‌ها استفاده کرد.

• اگر $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } }$$ همگرا باشد، در این صورت $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ نیز همگرا خواهد بود.
• اگر $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ واگرا باشد، در این صورت $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } }$$ نیز واگرا خواهد بود.

حالت دیگر زمانی است که می‌توان با محاسبه حد نسبت دو جمله، همگرایی یا واگرایی سری را تشخیص داد. بدین منظور دو سری بینهایت $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ و $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } }$$ را در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید جملات سری به ازای تمامی مقادیر $$n$$ مثبت باشند. در این صورت گزاره‌های زیر به منظور بررسی وضعیت همگرایی سری قابل استناد هستند.

• اگر نامساوی $$0 \lt \lim \limits _ { n \to \infty } { \large \frac { { { a _ n } } } { { { b _ n } } } \normalsize } \lt \infty$$ برقرار باشد، در این صورت هر دو سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ و $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } }$$ همگرا یا واگرا هستند.
• اگر حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } { \large \frac { { { a _n }} } { { { b _ n } } } \normalsize} = 0$$ برابر با صفر باشد، در این صورت همگرا بودن $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { {b _ n } }$$، همگرا بودن $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { {a _ n } }$$ را نتیجه می‌دهد.
• اگر حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } { \large \frac { { { a _n }} } { { { b _ n } } } \normalsize} = \infty$$ برابر با صفر باشد، در این صورت واگرا بودن $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { {b _ n } }$$، واگرا بودن $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { {a _ n } }$$ را نتیجه می‌دهد.

آزمون انتگرال

فرض کنید $$f(x)$$ تابعی پیوسته، مثبت و به ازای مقادیر $$x \ge 1$$ کاهشی باشد. در این صورت سری زیر زمانی همگرا است که انتگرالِ ناسره $${ \int \limits _ 1 ^ \infty \normalsize } { f \left ( x \right ) d x }$$ همگرا باشد. به همین صورت اگر انتگرال بیان شده واگرا باشد، در این صورت حاصل سری فوق نیز واگرا خواهد بود.

آزمون نسبت

یکی از روش‌های تشخیص همگرایی یا واگرایی یک سری، بررسی نسبت دو جمله متوالی آن است. در حقیقت اندازه نسبت دو جمله تعیین کننده همگرا یا واگرا بودن سری خواهد بود. بدین منظور در ابتدا فرض کنید $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ و $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } }$$ دو سری با جملات مثبت باشند. با این فرضیات، گزار‌ه‌‌های زیر به منظور تشخیص همگرایی یا واگرایی سری قابل استفاده هستند.

• اگر حد $$\sum\limits _ { n = 1 } ^ \infty { f \left( n \right ) } = f \left( 1 \right) + f \left ( 2 \right )+ f ( 3 ) ....$$ کمتر از ۱ باشد، در این صورت سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _n } }$$ نیز همگرا خواهد بود.
• اگر حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } { \large \frac { { {a _ {n + 1 } } } } { { {a _ n } } } \normalsize} \gt 1$$ بیشتر از ۱ باشد، در این صورت سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _n } }$$ واگرا خواهد بود.
• اگر $$\lim \limits _ { n \to \infty } { \large \frac { { {a _ {n + 1 } } } } { { {a _ n } } } \normalsize} = 1$$ برابر با ۱ باشد، در این صورت سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _n } }$$ نیز ممکن است همگرا یا واگرا باشد. در این حالت نمی‌توان از آزمون ریشه استفاده کرد.

آزمون ریشه

فرض کنید $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ سری با جملات مثبت باشد. در این صورت می‌توان آزمون ریشه را به صورت زیر عنوان کرد.

• اگر حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } \sqrt [n] { { { a_ n} } } \lt 1$$ کمتر از ۱ باشد، در این صورت سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ همگرا خواهد بود.
• اگر حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } \sqrt [n] { { {a _ n} } } \gt 1$$ بیشتر از ۱ باشد در این صورت سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ واگرا است.
• اگر حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } \sqrt [n] { { {a _ n} } } = 1$$ برابر با ۱ باشد در این صورت نمی‌توان نظری قطعی در مورد سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ داد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
• انتگرال ناسره — به زبان ساده
• سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد
• سری توانی — به زبان ساده

^^