نیمساز چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نیم‌ساز، خطی است که زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند. به عنوان مثال، قطرهای مربع، زاویه‌های داخلی آن را به دو زاویه 45 درجه تقسیم می‌کنند. بنابراین، قطرهای مربع، نیمساز زوایای داخلی آن هستند. در این آموزش از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، به این پرسش پاسخ می‌دهیم که نیمساز چیست و چگونه باید آن را رسم کرد. همچنین، با قضیه نیمساز زاویه آشنا می‌شویم.

انواع زاویه در هندسه

قبل از پاسخ به این پرسش که نیمساز چیست و چگونه می‌توان آن را رسم کرد، انواع مختلف زاویه در هندسه را مرور می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

بسته به شیب دو بازوی تشکیل دهنده یک زاویه، آن زاویه می‌تواند حاده (کمتر از 90 درجه، مانند زاویه 60 درجه)، منفرجه (بیش از 90 درجه) یا زاویه قائمه (دقیقاً 90 درجه) باشد.

تشکیل زاویه‌ها بخش مهمی از هندسه است، زیرا این دانش برای ساخت سایر شکل‌های هندسی و در درجه اول، مثلث، کاربرد دارد. تعدادی از زاویه‌ها را می‌توان به سادگی با تجزیه و تحلیل برخی از زاویه‌های مشترک ساخت.

برای آشنایی بیشتر با زاویه و میاحث مرتبط با آن، به مطلب «زاویه چیست؟ — تعریف، انواع و اندازه گیری (+ فیلم آموزش رایگان)» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

نیمساز چیست ؟

اما نیمساز چیست ؟ نیمساز زاویه یا به اختصار «نیمساز» (Bisector) خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. هر زاویه یک نیمساز دارد. همچنین این خط (نیمساز) تقارن بین دو بازوی یک زاویه است که تشکیل آن ما را قادر می‌سازد تا زاویه‌های کوچک‌تر بسازیم. مثلاً اگر از ما بخواهند دو زاویه 30 درجه بسازیم، این کار را می‌توانیم با ایجاد یک زاویه 60 درجه انجام دهیم و سپس آن را با نیمساز دو نیم تقسیم کنیم. به همین ترتیب، زوایای 90 درجه، 45 درجه، 15 درجه و سایر زوایا با استفاده از این مفهوم ساخته شده‌اند.

روش رسم نیمساز چیست ؟

برای ساخت زاویه‌ها و نیمساز آن‌ها به خط‌کش و پرگار نیاز داریم.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

فرض می‌کنیم زاویه $$\angle PQR$$ معلوم را داریم. مراحل تشکیل نیمساز این زاویه در ادامه توضیح داده شده است.

مرحله 1: سوزن پرگار را روی $$Q$$ قرار دهید. پرگار را به اندازه دلخواه باز کنید. کمانی رسم کنید که دو بازوی زاویه را قطع کند.

مرحله 2: از نقطه‌ای که کمان اول بازوی $$QP$$ را قطع می‌کند، یک کمان دیگر به سمت داخل زاویه رسم کنید.

مرحله 3: بدون تغییر اندازه پایه‌های پرگار، مرحله 2 را از نقطه‌ای که کمان اول $$QR$$ را قطع کرده تکرار کنید.

مرحله چهارم: با استفاده از خط‌کش، یک خط از $$Q$$ به نقطه تلاقی کمان‌ها رسم کنید.

خطی که از $$Q$$ ترسیم شده است، نیمساز زاویه $$\angle PQR$$ را نشان می‌دهد.

نکته: اگر نیمساز زاویه یک پاره‌خط را به دو زاویه 90 درجه تقسیم کند، به عنوان نیمساز عمود بر آن خط شناخته می‌شود.

برای آشنایی بیشتر با رسم نیمساز، به مطلب «رسم نیمساز — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» را ببینید.

قضیه نیمساز زاویه

قضیه نیمساز زاویه مربوط به اضلاع متناظر با دو پاره‌خطی از یک ضلع مثلث است که توسط خط نیمساز زاویه مقابل به دو بخش تقسیم می‌شود.

مثلث $$ABC$$‌ را در نظر بگیرید. نیمساز زاویه $$\angle BAC$$ ضلع $$BC$$ را در نقطه $$D$$ قطع کرده و به دو قسمت تقسیم می‌کند. طبق قضیه نیمساز زاویه، نسبت اندازه پاره‌خط $$BD$$ به $$DC$$ برابر است با نسبت طول ضلع $$AB$$ به $$AC$$.

$$\large \frac{\left | BD \right |}{\left | DC \right |}=\frac{\left | AB \right |}{\left | AC \right |}$$

برای آشنایی بیشتر با قضیه نیمساز، به مطلب «قضیه نیمساز زاویه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

مثال های نیمساز زاویه

در این بخش چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه 1 در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول نیمساز زاویه

در شکل زیر، $$BD$$ نیمساز زاویه $$\angle ABC$$ است. زاویه $$\angle ABC$$ را پیدا کنید.

حل: در شکل بالا، $$BD$$ نیمساز زاویه است. بنابراین، زاویه‌های $$\angle CBD$$ و $$\angle ABD$$ برابر هستند:

$$\large \angle CBD =\angle ABD$$

بنابراین، داریم:

$$\large \angle CBD =65^\circ$$

در نتیجه، زاویه مورد نظر برابر است با:

$$\large \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD =65^\circ +65^\circ = 130 ^ \circ$$

مثال دوم نیمساز زاویه

نیمساز $$\angle A$$ در مثلث $$\Delta ABC$$ در نقطه $$D$$‌ضلع $$BC$$ را قطع می‌کند. اگر $$AB > AC$$، ثابت کنید $$\angle ADC$$ حاده است.

حل: از آنجا که $$AB> AC$$ است، نامساوی $$\angle C > \angle B$$ را داریم (زاویه مقابل ضلع بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است). اکنون از قضیه زاویه خارجی استفاده می‌کنیم. داریم:

$$\large \begin {align*} \angle ADB &= \frac{1}{2}\angle A + \angle C \\ \angle ADC & = \frac{1}{2}\angle A + \angle B \end {align*}$$

 واضح است که $$\angle ADB > \angle ADC$$. اما از آنجا که این دو زاویه مکمل هستند، $$\angle ADB$$ باید منفرجه و $$\angle ADC$$ باید حاده باشد. بنابراین، اثبات کامل می‌شود.

مثال سوم نیمساز زاویه

در شکل زیر، $$CD$$ نیمساز زاویه $$C$$ است. اندازه $$x$$ را به دست آورید.

حل: طبق قضیه نیمساز زاویه، داریم:

$$\large \frac {AD} {AC} = \frac {DB}{BC}$$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$\large \frac {12} {18} = \frac {x}{24}\Rightarrow 18 x = 12\times 24=288 \Rightarrow x = \frac {288}{18} = 16$$

در نتیجه، $$x = 16$$ است.