نقاط مشتق ناپذیر – به زبان ساده + مثال و تمرین تصویری

نقاط مشتق ناپذیر، نقاطی هستند که در صورت مشتق‌گیری از یک تابع و قرار دادن مقدار آن‌ها درون تابع، خروجی معلوم و مشخصی به دست نمی‌آید. به عنوان مثال، اگر با قرار دادن نقطه‌ای مانند $$x = ۰$$ درون رابطه مشتق تابعی مانند $$f ( x )$$، به جواب تعریف نشده یا بی‌‌نهایت برسیم، می‌گوییم $$x = ۰$$، یک نقطه مشتق ناپذیر است. در این وضعیت، به $$f ( x )$$، یک تابع مشتق ناپذیر گفته می‌شود. مشتق‌پذیری یا مشتق‌ناپذیری یک تابع، مفهوم بسیار مهمی است که در بسیاری از حوزه‌ها نظیر فیزیک (مدل‌سازی حرکت و رفتار سیستم‌ها)، مهندسی (بهینه‌سازی طراحی سازه‌ها)، اقتصاد (مدلسازی رفتار بازار) و علوم کامپیوتر (یادگیری عمیق، شبکه‌های عصبی و غیره) کاربرد دارد. در این مقاله از مجله فرادس، قصد داریم به آموزش تعیین نقاط مشتق ناپذیر توابع ریاضی بپردازیم. به این منظور، ابتدا تعریفی از توابع مشتق‌پذیر را ارائه می‌کنیم و سپس، انواع توابع مشتق‌ناپذیر را با حل مثال مورد بررسی قرار می‌دهیم.

مشتق پذیری چیست؟

«مشتق‌پذیری» (Differentiability)، یک مفهوم ریاضی است که به وجود یا عدم وجود مشتق تابع در هر نقطه دلخواه از دامنه اشاره می‌کند.

به عنوان مثال، اگر تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$ دارای مشتق باشد (اگر یک مقدار تعریف شده برای $$f ^ { \prime } ( a )$$ وجود داشته باشد)، $$f ( x )$$ را یک تابع مشتق‌پذیر می‌گوییم. $$a$$، یک عضو دلخواه از دامنه تابع است.

مفهوم حدی تابع مشتق پذیر

رابطه حدی مشتق تابع، معمولا به یکی از فرم‌های زیر نوشته می‌شود:

$$\begin{equation} f ^ { \prime } ( a ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } \end{equation}$$

$$f ^ { \prime } ( a ) = \lim _ { x \to a } \frac { f ( x ) - f ( a ) }{ x - a }$$

در صورت به دست آوردن یک مقدار متناهی (وجود حد) برای روابط بالا، می‌توانیم تابع $$f ( x )$$ را یک تابع مشتق‌پذیر در نظر بگیریم. در طرف مقابل، اگر با حل روابط بالا، به یک مقدار نامتناهی یا تعریف نشده برسیم، تابع $$f ( x )$$ را به عنوان یک تابع مشتق‌ناپذیر در نظر می‌گیرم.

مثال ۱: بررسی مشتق پذیری یک تابع

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = ( ۲ x - ۳ ) ^ { \frac { ۱ } { ۵ } }$$

می‌خواهیم مشتق‌پذیری این تابع را در نقطه $$x = \frac { ۳ } { ۲ }$$ مورد بررسی قرار دهیم. به این منظور، ابتدا فرمول حدی مشتق را می‌نویسیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$$

$$x = \frac { ۳ } { ۲ }$$ را درون رابطه بالا جایگذاری می‌کنیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { f ( \frac { ۳ } { ۲ } + h ) - f ( \frac { ۳ } { ۲ } ) } { h }$$

اکنون، رابطه را با توجه به $$f \left ( \frac { ۳ } { ۲ } \right )$$ بازنویسی می‌کنیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \left [ ۲ ( \frac { ۳ } { ۲ } + h ) - ۳ \right ] ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } - \left [ ۲ \left ( \frac { ۳ }{ ۲ }\right ) - ۳ \right ] ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } } { h }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \left ( ۳ + ۲ h -۳ \right ) ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } - \left ( ۳ -۳ \right ) ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } } { h }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \left ( ۲ h \right ) ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } - ۰ } { h }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۲ ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } - ۰ } { h ^ { \frac { ۴ } { ۵ } } }$$

حاصل تقسیم عدد بر صفر، بی‌نهایت می‌شود:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۲ ^ { \frac { ۱ } { ۵ } } } { h ^ { \frac { ۴ } { ۵ } } } = \infty$$

بی‌نهایت، یک مقدار معلوم نیست. به عبارت دیگر، تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = \frac { ۳ } { ۲ }$$، مشتق ندارد. بنابراین، نقطه $$x = \frac { ۳ } { ۲ }$$، یک نقطه مشتق ناپذیر به شمار می‌رود.

رابطه بین پیوستگی و مشتق ناپذیری تابع

پیوستگی، یکی از شروط مشتق‌پذیر بودن تابع است. به عبارت دیگر، در صورت وجود ناپیوستگی در یک تابع، محل ناپیوستگی، یک نقطه مشتق‌ناپذیر خواهد بود. اگر بتوانیم نمودار یک تابع را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کنیم، به آن تابع، تابع پیوسته می‌گوییم. در صورتی که هنگام رسم نمودار یک تابع، مجبور به برداشتن قلم از روی کاغذ شویم، با یک تابع ناپیوسته سر و کار داریم. تصویر زیر، نمونه‌‌ای از یک تابع پیوسته و یک تابع ناپیوسته را نمایش می‌دهد.

به نقطه جدایش نمودار (محل برداشتن قلم)، نقطه ناپیوستگی می‌گویند. در مطالعه مشتق‌پذیری یا مشتق‌ناپذیری توابع، به دنبال نقاط دارای ناپیوستگی می‌گردیم. این نقاط، همان نقاط مشتق ناپذیر تابع هستند. البته توجه داشته باشید که پیوستگی یک تابع، به معنای مشتق‌پذیری تمام نقاط آن نیست. حالت‌های خاصی از توابع پیوسته وجود دارند که برخی از نقاط آن‌ها، مشتق‌ناپذیر است. در بخش‌های بعدی، به معرفی این حالت‌های خاص خواهیم پرداخت.

مثال ۲: نقاط مشتق ناپذیر تابع ۱ بر روی x

$$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ را در نظر بگیرید. قصد داریم نقاط مشتق ناپذیر این تابع را به دست بیاوریم. نمودار این تابع، به صورت زیر رسم می‌شود.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$، دارای ناپیوستگی است. در این نقطه، یک مجانب قائم برای نمودار تابع تعریف می‌شود. بنابراین، امکان رسم خط مماس بر منحنی در $$x = ۰$$ وجود ندارد. در نتیجه، $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$ مشتق ناپذیر است.

برای اثبات مشتق‌ناپذیری تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$، فرمول حدی مشتق می‌نویسیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \frac { ۱ } { x + h } - \frac { ۱ } { x } } { h }$$

برای $$x = ۰$$، داریم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \frac { ۱ } { ۰ + h } - \frac { ۱ } { ۰ } } { h }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \frac { ۱ } { h } - \frac { ۱ } { ۰ } } { h }$$

حد بالا تعریف نشده است. بنابراین، تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$ مشتق ناپذیر است. مجانب‌های قائم، یکی از انواع ناپیوستگی‌ها و از نشانه‌های وجود نقاط مشتق ناپذیر هستند. دلایل مختلفی برای ناپیوستگی و مشتق‌ناپذیری یک تابع وجود دارد که در بخش بعدی آن‌ها را مرور می‌کنیم.

انواع تابع و نقاط مشتق ناپذیر چه هستند؟

اگر تابع $$f ( x )$$ در نقطه‌ای از دامنه خود، مشتق نداشته باشد، می‌گوییم $$f ( x )$$ در آن نقطه «مشتق‌ناپذیر» (Non-Differentiable) است.

مشتق‌ناپذیری یا در نقاط ناپیوستگی تابع به وجود می‌آید یا در نقاط تغییر شیب ناگهانی نمودار تابع به رخ می‌دهد. به طور کلی، علت مشتق‌ناپذیری توابع، یکی از موارد زیر است:

1. گوشه
2. تیزی
3. مماس عمودی
4. ناپیوستگی (جدایش یا پرش)

در ادامه، هر یک از دلایل وجود نقاط مشتق ناپذیر در تابع را به صورت تصویری بررسی می‌کنیم.

گوشه: نقطه مشتق ناپذیر در محل برخورد خطوط غیر هم شیب

«گوشه» (Corner)، به محلی گفته می‌شود که بخش خطی نمودار یک تابع، به صورت ناگهانی تغییر جهت می‌دهد. این ویژگی، دقیقا مشابه گوشه چندضلعی‌ها است. توابع ریاضی در نقاط گوشه، مشتق ناپذیر هستند. برای درک این نوع مشتق‌ناپذیری، تابع $$y = | x |$$ را در نظر بگیرید. بهترین راه برای بررسی وضعیت مشتق‌پذیری یک تابع، رسم نمودار آن است. تصویر زیر، نمودار تابع قدر مطلق $$x$$ را نمایش می‌دهد.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، نمودار $$y = | x |$$، به شکل حرف انگلیسی $$V$$ درآمده و در نقطه $$x = ۰$$ دارای یک گوشه است. همین موضوع، باعث مشتق‌ناپذیری $$y = | x |$$ در نقطه $$x = ۰$$ می‌شود. توابع مشابه تابع نمایش داده شده در تصویر بالا (توابع V شکل)، طبیعتا نمی‌توانند در محل محل تغییر ناگهانی جهت شیب، دارای مشتق باشند. چراکه بر اساس تعریف، مشتق هر تابع در یک نقطه مشخص، شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه است. اگر نمودار تابع دارای گوشه باشد، شیب نمودار در نقاط مجاور چپ و راست نقطه با یکدیگر تفاوت خواهد داشت.

بنابراین، برای تابع $$f ( x )$$، نقطه مشتق ناپذیر گوشه در شرایط زیر رخ می‌دهد:

• تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$، پیوسته است.
• نمودار تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$، به شکل $$V$$ یا $$\land$$ (یک گوشه) است.

در این شرایط، جوابی برای مشتق زیر وجود ندارد:

$$f ^ { \prime } ( a ) = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) - f ( a ) }{ x - a}$$

زیرا مشتق‌های چپ و راست تابع در نقطه $$x = a$$ با هم برابر نمی‌شوند.

تیزی: نقطه مشتق ناپذیر در تغییر شیب ناگهانی منحنی

به محل تغییر جهت ناگهانی منحنی تابع، اصطلاحا «تیزی» (Cusp) می‌گویند. مشتق تابع در نواحی تیز نمودار، تعریف نشده است.

تیزی، شباهت زیادی به گوشه دارد و می‌توان آن را نوعی گوشه در نظر گرفت. با این وجود، نقطه مشتق ناپذیر در تیزی، حاصل تغییر جهت منحنی است. برای درک بهتر این تعریف، تابع $$f ( x ) = \sqrt { | x | }$$ را در نظر بگیرید. تصویر زیر، نمودار این تابع رادیکالی را نمایش می‌دهد.

همان طور که مشاهده می‌کنید، در نقطه $$x = ۰$$، بخش منحنی نمودار تابع $$f ( x )$$، به طور ناگهانی تغییر جهت داده است. شکل به وجود آمده در نقطه $$x = ۰$$، با عنوان تیزی شناخته می‌شود. با توجه به متفاوت بودن شیب منحنی در سمت چپ و راست، مشتق تابع در نقطه مذکور ($$f ^ { \prime } ( ۰ )$$) وجود نخواهد داشت. به عبارت دیگر، تابع $$f ( x ) = \sqrt { | x | }$$ در نقطه $$x = ۰$$، مشتق‌ناپذیر است. بنابراین، اگر:

• تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$، پیوسته باشد.
• منحنی تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$، به طور ناگهانی تغییر جهت دهد.

$$x = a$$، یک نقطه مشتق ناپذیر به دلیل وجود تیزی در نظر گرفته می‌شود. زیرادر این شرایط، به دلیل برابر نشدن مشتق‌های چپ و راست تابع در نقطه $$x = a$$، جوابی برای مشتق زیر وجود نخواهد داشت:

$$f ^ { \prime } ( a ) = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) - f ( a ) }{ x - a}$$

مثال ۳: تعیین نقاط مشتق ناپذیر تابع قدر مطلق رادیکالی

تابع $$f ( x ) = \sqrt { \left | - \ ۳ \ x \ ^ { ۲ } \ + \ ۲۷ \right | }$$ را در نظر بگیرید. قصد داریم نقاط مشتق ناپذیر این تابع را به دست بیاوریم. تصویر زیر، نمودار این تابع را نمایش می‌دهد.

بر اساس نمودار تابع، $$f ( x )$$ در دو نقطه دارای تیزی است. این نقاط، به عنوان نقاط مشتق ناپذیر تابع در نظر گرفته می‌شوند. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، بخش‌های تیز، محل برخورد نموار با محور افقی ($$f ( x ) = ۰$$) هستند. بنابراین، برای به دست آوردن مختصات آن‌ها، باید تابع $$f ( x )$$ را برابر با ۰ قرار دهیم:

$$\sqrt { \left | - \ ۳ \ x \ ^ { ۲ } \ + \ ۲۷ \right | } = ۰$$

$$\left | - \ ۳ \ x \ ^ { ۲ } \ + \ ۲۷ \right | = ۰$$

$$- \ ۳ \ x \ ^ { ۲ } \ + \ ۲۷ = ۰$$

$$- \ ۳ \ x \ ^ { ۲ } = - ۲۷$$

$$x ^ { ۲ } = \frac { - ۲۷ } { - ۳ }$$

$$x ^ { ۲ } = + ۹$$

$$x = \pm ۳$$

در نتیجه، نقاط ۳+ و ۳ -، نقاط مشتق ناپذیر تابع $$f ( x ) = \sqrt { \left | - \ ۳ \ x \ ^ { ۲ } \ + \ ۲۷ \right | }$$ هستند.

مماس عمودی: نقطه مشتق ناپذیر در شیب بی نهایت

«مماس عمودی» (Vertical Tangent)، اصطلاحی است که برای اشاره به بخش وجود یک بخش عمودی در نمودار با شیب بی‌نهایت مورد استفاده قرار می‌گیرد. با توجه به جهت نمودار تابع، مماس عمودی به سمت بالا یا پایین در نظر گرفته می‌شود.

به هر صورت، اگر خط مماس بر نمودار در یک نقطه، دارای شیب بی‌نهایت (مماس عمودی) باشد، مشتق تابع در آن نقطه تعریف نمی‌شود. به عبارت دیگر، نقطه‌ای که شیب خط مماس بر نمودار در آن بی‌نهایت باشد، یک نقطه مشتق ناپذیر است. از معروف‌ترین توابع دارای مماس عمودی، می‌توان به تابع $$f ( x ) = \sqrt [ ۳ ] { x }$$ اشاره کرد. تصویر زیر، نمودار این تابع رادیکالی با فرجه فرد را نمایش می‌دهد.

تصویر زیر، بزرگنمایی نمودار $$f ( x ) = \sqrt [ ۳ ] { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$ است.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، نمودار تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = ۰$$ مانند یک خط عمودی است که شیب آن به بی‌نهایت میل می‌کند. بنابراین، این نقطه به عنوان یک نقطه مشتق ناپذیر در نظر گرفته می‌شود.

مشتق یک تابع، شیب مماس بر منحنی آن تابع در یک نقطه مشخص را نمایش می‌دهد. شیب ۰، بیانگر یک خط افقی و شیب بی‌نهایت، بیانگر یک خط عمودی است. از این‌رو، اگر خط مماس بر تابع در یک نقطه مشخص، به شکل یک خط عمودی درآمد، آن نقطه را به عنوان یک نقطه مشتق ناپذیر در نظر می‌گیریم. با توجه به توضیحات ارائه شده، اگر:

• تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$، پیوسته باشد.
• نمودار تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x = a$$، به شکل یک خط عمودی یا دارای مماس عمودی باشد.

جواب تعریف شده‌ای برای مشتق زیر وجود نخواهد داشت:

$$f ^ { \prime } ( a ) = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) - f ( a ) }{ x - a} = \pm \infty$$

زیرا به دلیل عمودی بودن خط مماس بر نمودار تابع، عبارت مخرج کسر بالا برابر با صفر شده و حاصل مشتق برابر با مثبت یا منفی بی‌نهایت می‌شود. به عنوان نکته آخر، توجه داشته باشید که مماس عمودی با مجانب عمودی یکسان نیست. بسیاری از دانش‌آموزان این دو مفهوم را با یکدیگر اشتباه می‌گیرند. مجانب عمودی، بیانگر وجود ناپیوستگی است اما مماس عمودی، نشان‌دهنده شیب بی‌نهایت در یک نقطه پیوسته است.

مثال ۴: اثبات مشتق ناپذیری در مماس عمودی

در این مثال، قصد داریم ثابت کنیم تابع $$f ( x ) = \sqrt [ ۳ ] { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$ مشتق ناپذیر است. به این منظور، رابطه حدی مشتق را برای $$x = ۰$$ می‌نویسیم:

$$f ^ { \prime } ( ۰ ) = \lim _ { x \rightarrow ۰ } \frac { f ( x ) - f ( ۰ ) }{ x - ۰}$$

$$\lim _ { x \rightarrow ۰ } \frac { \sqrt [ ۳ ] { x } - \sqrt [ ۳ ] { ۰ } }{ x - ۰}$$

$$\lim _ { x \rightarrow ۰ } \frac { \sqrt [ ۳ ] { x } }{ x }$$

$$\lim _ { x \rightarrow ۰ } \frac { ۱ }{ \sqrt [ ۳ ] { x ^ ۲ } }$$

$$\lim _ { x \rightarrow ۰ } \frac { ۱ }{ \sqrt [ ۳ ] { ۰ ^ ۲ } }$$

$$\lim _ { x \rightarrow ۰ } \frac { ۱ }{ ۰ } = \infty$$

بر اساس خروجی رابطه بالا، مشتق تابع $$f ( x ) = \sqrt [ ۳ ] { x }$$ در نقطه $$x = ۰$$ تعریف نمی‌شود؛ چراکه عدد تقسیم بر صفر برابر با بی‌نهایت است.

ناپیوستگی: نقطه مشتق ناپذیر در محل جدایش یا پرش نمودار

توابع ناپیوسته، از واضح‌ترین توابع دارای نقاط مشتق ناپذیر هستند. نقاط مشتق ناپذیر این توابع، در محل وجود نایپوستگی رخ می‌دهند. توابع جز صحیح یا براکتی، شناخته شده‌ترین مثال از انواع توابع ناپیوسته هستند.

خروجی این توابع با نزدیک‌ترین عدد صحیح به مقدار ورودی برابری می‌کند. با توجه به انتخاب عدد صحیح کوچک‌تر یا بزرگ‌تر، توابع براکتی به دو دسته «تابع کف» (Floor Function) و «تابع سقف» (Ceiling Function) تقسیم می‌شوند. به عنوان مثال، تابع $$f( x ) = ⌊ x ⌋$$، یک تابع کف است. تصویر زیر، نمودار این تابع براکتی را نمایش می‌دهد.

تابع کف، متغیر ورودی را می‌گیرد و نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از آن را به عنوان خروجی تحویل می‌دهد. با توجه به نمودار $$f( x ) = ⌊ x ⌋$$ (تصویر بالا) می‌توان مشاهده کرد که نمودار این تابع، با رسیدن به مقادیر صحیح $$x$$، دارای ناپیوستگی پرشی به سمت بالا است.

به عبارت دیگر، تمام اعضای مجموعه اعداد صحیح ($$\mathbb { R }$$)، به عنوان نقاط مشتق ناپذیر $$f( x ) = ⌊ x ⌋$$ در نظر گرفته می‌شوند. به طور کلی، نقاط مشتق ناپذیر توابع براکتی، در محلی رخ می‌دهند که مقدار خروجی تابع از یک عدد صحیح به عدد صحیح دیگر تغییر می‌‌کند.

مثال ۵: تعیین نقاط مشتق ناپذیر تابع براکتی

تابع براکتی $$f( x ) = ⌊ x ^ ۲ ⌋$$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم موقعیت چند نقطه مشتق ناپذیر این تابع را به دست بیاوریم.

می‌دانیم که توابع براکتی یا جز صحیح، در نقاطی که خروجی‌شان برابر با یک عدد صحیح باشد، دارای ناپیوستگی (نقطه مشتق ناپذیر) خواهند بود. بنابراین، برای تعیین نقاط مشتق ناپذیر $$f( x ) = ⌊ x ^ ۲ ⌋$$، به دنبال $$x$$هایی می‌گردیم که با قرار دادن آن‌ها درون تابع، به یک عدد صحیح برسیم.

با توجه به نمودار $$f( x ) = ⌊ x ^ ۲ ⌋$$، هنگام قرار دادن مقادیر بین ۱- تا ۱+، خروجی تابع برابر با ۰ می‌شود. در نقاط $$x = \pm ۱$$، نمودار به سمت خروجی $$f ( x ) = ۱$$ پرش می‌کند. بنابراین، $$x = \pm ۱$$، دو نقطه مشتق ناپذیر تابع هستند.

هنگامی که مقدار $$x$$، حدود برابر با ۱/۴۱ یا ۱/۴۱- شود، نمودار از مقدار ۱ به مقدار ۲ پرش می‌کند. بنابراین، $$x \pm ۱/۴۱$$ یا به طور دقیق‌تر، $$x \pm \sqrt { ۲ }$$ نیز به عنوان نقاط مشتق ناپذیر تابع به شمار می‌روند. با توجه به نمودار و فرم تابع، می‌توانیم نتیجه بگیریم که نقاط مشتق ناپذیر $$f( x ) = ⌊ x ^ ۲ ⌋$$ با قرار دادن مقادیر صحیح $$f ( x )$$ در رابطه $$x = \pm \sqrt { f ( x ) }$$ به دست می‌‌آیند.

البته با توجه به شکل نمودار، تابع $$f ( x )$$ در $$x = ۰$$ دارای مشتق است. بنابراین، این نقطه در مجموعه نقاط مشتق ناپذیر تابع قرار نمی‌گیرد.

حل تمرین نقاط مشتق ناپذیر

در این بخش، به منظور آشنایی بیشتر و بهتر با محبث مشتق‌پذیری توابع، به حل چند تمرین در رابطه با نحوه تعیین نقاط مشتق ناپذیر می‌پردازیم.

تمرین ۱: نقاط مشتق ناپذیر ۱ بر روی x به توان ۲

وضعیت مشتق‌پذیری تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ }$$ در نقطه $$x = ۰$$ را مشخص کنید.

برای تعیین مشتق‌پذیری تابع مورد سوال، ابتدا فرمول حدی مشتق را می‌نویسیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$$

در مرحله بعد، $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ }$$ را درون رابطه مشتق جایگذاری می‌کنیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \frac { ۱ } { ( x + h ) ^ ۲ } - \frac { ۱ } { x ^ ۲ } } { h }$$

اکنون، $$x = ۰$$ را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \frac { ۱ } { ( ۰ + h ) ^ ۲ } - \frac { ۱ } { ۰ ^ ۲ } } { h }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow ۰ } \frac { \frac { ۱ } { h ^ ۲ } - \frac { ۱ } { ۰ } } { h }$$

با میل کردن $$h$$ به ۰، حاصل عبارت بالا تعریف نشده می‌شود. بنابراین، تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ }$$ در نقطه $$x = ۰$$ مشتق‌ناپذیر است. اگر نمودار این تابع را رسم کنیم، به شکلی مشابه تصویر زیر می‌رسیم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، نمودار تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ }$$ در نقطه $$x = ۰$$ دارای ناپیوستگی و مجانب قائم است.

تمرین ۲: تعیین نقاط مشتق ناپذیر از روی نمودار تابع

تصویر زیر، نمودار تابع $$f ( x )$$ را نمایش می‌دهد.

اگر $$f ( x )$$ در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده باشد، نقاط مشتق ناپذیر آن را پیدا کنید.

به منظور تعیین نقاط مشتق ناپذیر تابع از روی نمودار، بخش‌های مختلف آن را مورد بررسی قرار می‌دهیم. در این تمرین، از سمت چپ نمودار تابع به سمت راست حرکت می‌کنیم. بر اساس شکل، نمودار $$f ( x )$$ از سمت چپ تا نقطه $$x = - ۲$$، دارای یک شیب منفی با مقدار ثابت (خط راست) است. با رسیدن به نقطه $$x = - ۲$$، نمودار تغییر جهت می‌دهد و شیب آن به مثبت تغییر می‌کند.

در نقطه تغییر علامت شیب از منفی به مثبت، یک گوشه (شکل $$V$$) به وجود می‌آید. از نقطه $$x = - ۲$$ به بعد، نمودار با یک شیب مثبت اما با نرخ کاهشی (به شکل منحنی) ادامه می‌یابد. با رسیدن به نقطه $$x = ۲$$ و بعد از آن، شیب منحنی به صورت ملایم تغییر می‌کند. این تغییر شیب، به گونه‌ای نیست که بتوان آن را به عنوان یک گوشه در نظر گرفت.

با رسیدن به نقطه $$x = ۳$$ و پس از آن، نمودار تابع از یک منحنی به یک خط راست افقی با شیب ۰ تبدیل می‌شود. در این حالت، یک نقطه عطف تیز به وجود می‌آید. تفاوت این شکل تیز با گوشه، انحنای اضلاع آن است.

اکنون، نقاط مستعد مشتق‌ناپذیری تابع را پیدا کردیم. در نقطه اول ($$x = - ۲$$)، با گوشه‌ای مواجه هستیم که در آن، نمودار به طور ناگهانی تغییر شیب می‌دهد. بنابراین، شیب نمودار در سمت چپ این نقطه با شیب نمودار در سمت راست آن برابر نخواهد بود. به این ترتیب، جوابی برای $$f ^ { \prime } ( - ۲ )$$ وجود ندارد. در نتیجه، $$x = - ۲$$، یک نقطه مشتق ناپذیر است.

برخلاف نقطه اول، تغییر شیب در نقطه دوم ($$x = ۲$$)، به صورت تدریجی رخ می‌دهد. در واقع، اگر نمودار را در این نقطه به میزان زیادی بزرگ کنیم، شکل آن به صورت یک خط افقی با شیب ۰ خواهد بود. بنابراین، نمی‌توان این نقطه را مشتق‌ناپذیر در نظر گرفت.

در نقطه سوم ($$x = ۳$$)، شیب نمودار به طور ناگهانی ۰ می‌شود. به دلیل تغییر ناگهانی شیب، یک شکل تیز به وجود می‌آید که امکان به دست آوردن مشتق در آن وجود ندارد. در نتیجه، این نقطه نیز به عنوان یک نقطه مشتق‌ناپذیر در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، نقاط مشتق ناپذیر تابع $$f ( x )$$ عبارت هستند از:

$$x = - ۲$$

$$x = ۳$$

سوالات متداول در رابطه با نقاط مشتق ناپذیر

در این بخش به برخی از پرتکراترین سوالات در رابطه با مبحث مشتق‌ناپذیری و توابع مشتق ناپذیر به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

تابع مشتق ناپذیر چیست؟

اگر مشتق تابعی در یک یا چند نقطه وجود نداشته باشد، می‌گوییم آن تابع در آن نقطه/نقاط، مشتق‌ناپذیر است.

نقاط مشتق ناپذیر چگونه به وجود می آیند؟

نقاط مشتق ناپذیر به دلیل وجود ناپیوستگی یا تغییر شیب ناگهانی نمودار تابع به وجود می‌آیند.

انواع نقاط مشتق ناپذیر به چند دسته تقسیم می‌شوند؟

نقاط مشتق‌ناپذیر، معمولا به چهار نوع گوشه، تیزی، مماس عمودی و ناپیوستگی (از هر نوعی) تقسیم می‌شوند.

آیا یک تابع پیوسته همیشه مشتق پذیر است؟

خیر. یک تابع پیوسته، لزوما مشتق‌پذیر نیست. به عنوان مثال، تابع رادیکال ایکس با فرجه ۳، یک تابع پیوسته است که در نقطه ۰، مشتقی برای آن تعریف نمی‌شود.

آیا یک تابع ناپیوسته همیشه مشتق ناپذیر است؟

بله. ناپیوستگی، از دلایل اصلی مشتق‌ناپذیری است. نقطه ناپیوسته در نمودار، همان نقطه مشتق ناپذیری محسوب می‌شود.

تفاوت تابع مشتق پذیر و مشتق ناپذیر چیست؟

اگر امکان به دست آوردن یک مقدار مشخص برای مشتق یک تابع در تمام نقاط دامنه آن وجود داشته باشد، به آن تابع، تابع مشتق‌پذیر می‌گویند. وجود نداشتن مقدار مشخص برای مشتق در حداقل یک نقطه از دامنه، تابع را به تابع مشتق‌ناپذیر تبدیل می‌کند.

کدام توابع مشتق ناپذیر و پیوسته هستند؟

توابع دارای گوشه، تیزی و مماس عمودی، توابع پیوسته با نقاط مشتق ناپذیر هستند.

تفاوت نقطه مشتق ناپذیر در مماس عمودی و مجانب قائم چیست؟

در نقطه مشتق ناپذیر مماس عمودی، نمودار تابع پیوسته بوده و فقط شیب آن بی‌نهایت (نمودار قائم) است. در نقطه مشتق ناپذیر مجانب قائم، نمودار تابع ناپیوسته بوده و در نقطه ناپیوستگی به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.