منحنی بوسان – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، درباره خط مماس و قائم بر منحنی و انحنا و شعاع انحنای منحنی‌ها بحث کردیم. در این آموزش، منحنی بوسان و دایره بوسان را همراه با چند مثال حل شده معرفی خواهیم کرد.

مرتبه یا درجه تماس خم‌های مسطح

فرض کنید $$y = f\left( x \right)$$ و $$y = g\left( x \right)$$ دو خم یا منحنی مسطح باشند که در نقطه $${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ تماس دارند یا اصطلاحاً همدیگر را بوسیده‌اند (شکل ۱) و مشتق‌های تا مرتبه $$(n+1 )$$ آن‌ها موجود است.

دو منحنی $$y = f\left( x \right)$$ و $$y = g\left( x \right)$$ در نقطه $${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ تماسی با مرتبه $$n$$ دارند، اگر شرایط زیر برقرار باشند:

$$\large \begin {align*} f \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \\ & \ldots , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = { g ^ { \left ( n \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & \ne { g ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) . \end{align*}$$

به طور خاص اگر $$n = 1$$ باشد، منحنی‌های $$y = f\left( x \right)$$ و $$y = g\left( x \right)$$ یک خط مماس مشترک دارند.

حالت $$n = 0$$ بدین معنی است که منحنی‌ها یک نقطه مشترک $${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ دارند که در آن، $$f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right)$$ است؛ اما مشتقات اول در آن نقطه برابر نیستند ($$f’\left( {{x_0}} \right) \ne g’\left( {{x_0}} \right)$$). در این حالت، منحنی‌ها در نقطه $$M_0$$ همدیگر را قطع می‌کنند.

می‌توانیم تفاضل بین توابع $$\varphi \left( x \right) = g\left( x \right) – f\left( x \right)$$ را در یک همسایگی نقطه $$x _ 0$$ در نظر بگیریم و بسط تیلور آن را با فرم پئانو (Peano’s Form) باقیمانده بنویسیم. اگر منحنی‌های $$g (x)$$ و $$f (x)$$ تماس مرتبه $$n$$ داشته باشند، آنگاه $$n$$ جمله اول سری صفر بوده و تفاضل $$\varphi \left( x \right)$$ به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$\large \begin {align*} \varphi \left ( x \right ) & = \frac { { { \varphi ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) + \alpha } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) ^ { n + 1 } } \\ & = { \frac { { { g ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) – { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) + \alpha } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } \cdot } \kern0pt { { \left ( { x – { x _0 } } \right ) ^ { n + 1 } } } \end{align*}$$

که با $${\left( {x – {x_0}} \right)^{n + 1}}$$ متناسب است. در نتیجه، برای مقادیر زوج $$n$$، تفاضل $$\varphi \left( x \right)$$ در سمت راست و چپ نقطه تماس $$M_0$$ علامت‌های مخالف خواهد داشت. حالت خاص $$n = 0$$ را در بالا بررسی کردیم.

برای $$n$$ فرد، منحنی‌های $$y = f\left( x \right)$$ و $$y = g\left( x \right)$$ بدون اینکه یکدیگر را قطع کنند، اصطلاحاً همدیگر را در نقطه $$M_0$$ می‌بوسند.

منحنی بوسان

فرض کنید معادله منحنی $$y = f\left( x \right)$$ و دسته منحنی‌های $$G\left( {x,y,a,b, \ldots ,\ell} \right) = 0$$‌ با $$n + 1$$ پارامتر $$a$$، $$b$$، $$\ldots$$ و $$l$$ داده شده است. با تغییر مقادیر پارامترها، یک منحنی را از دسته منحنی‌ها انتخاب می‌کنیم که بالاترین مرتبه ممکن تماس را با منحنی $$y = f (x )$$ در نقطه $${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ داشته باشد. این منحنی را «منحنی بوسان» (Osculating Curve) می‌نامند.

نمایش زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \Phi \left ( { x , a , b , \ldots , l } \right ) = G \left ( { x , f \left ( x \right ) , a , b , \ldots , l } \right ) .$$

شرایط تماس به صورت زیر هستند:

$$\large \left\{ \begin {array} {l} \Phi \left ( { { x _ 0} , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\ { \Phi ’ _ x } \left ( { { x_ 0 } , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\ { \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \Phi _ { { x ^ n } } ^ { \left ( n \right ) } \left ( { { x _ 0} , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \end{array} \right..$$

شرایط بالا، یک دستگاه $$n +1$$ معادله‌ای را با $$n + 1$$ مجهول تشکیل می‌دهند. با حل این معادله، پارامترهای $$a$$، $$b$$، $$\ldots$$ و $$l$$ و معادله منحنی بوسان به دست می‌آیند. معمولاً مرتبه تماس منحنی بوسان، کمتر از $$n$$ نیست (برای $$n +1$$ پارامتر). بنابراین، مرتبه تماس یک منحنی بوسان معمولاً یکی کمتر از تعداد پارامترها است.

دایره بوسان

در این بخش، معادله دایره بوسان را به دست می‌آوریم. فرض کنید تابع $$y = f (x )$$ داده شده که حداقل دو بار مشتق‌پذیر است. دسته دایره‌ها را می‌توان با معادله زیر توصیف کرد:

$$\large { \left ( { x – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { y – b } \right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } .$$

همانطور که می‌بینیم، در اینجا سه پارامتر داریم:‌ مختصات $$a$$ و $$b$$ مرکز دایره و شعاع $$R$$ آن. واضح است که در این حالت، بالاترین مرتبه ممکن تماس، برابر با $$2$$ است.

رابطه زیر را داریم:‌

$$\large { \Phi \left ( { x , a , b , R } \right ) } = { { \left ( { x – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { y – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2} }$$

مشتقات تابع $$\Phi$$ به صورت زیر هستند:‌

$$\large \begin {align*} { { \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) } & = { 2 \left ( { x – a } \right ) + 2 \left ( { y – b } \right ) y ’ , } \; \; \; \kern-0.3pt \\ { { \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) } & = { 2 + 2 { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } + 2 \left ( { y – b } \right ) y ^ { \prime \prime } . } \end{align*}$$

با فرض اینکه منحنی‌ها در نقطه $$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ تماس دارند، دستگاه سه معادله‌ای زیر را برای پیدا کردن دایره بوسان به دست می‌آوریم:

$$\large { \left\{ \begin {array} { l } \Phi \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \\ { \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \\ { \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l } { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2 } = 0 \\ 2 \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } = 0 \\ 2 + 2 \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 + 2 \left ( { { y _ 0} – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = 0 \end {array} \right . }$$

از معادله آخر می‌توان مقدار $$b$$ را پیدا کرد:

$$\large 2 + 2 { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = 0 , \; \; \Rightarrow { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = – 1 – { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { { y _ 0 } – b = – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y^ { \prime \prime } _ 0 } } } , \; \; } \Rightarrow { b = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } }{ { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } . }$$

با جایگذاری $${{y_0} – b}$$ در معادله دوم، مختصه $$a$$ مرکز دایره به دست می‌آید:

$$\large { 2 \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 0 } – a = – \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { { x _ 0 } – a = \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } , \; \; } \Rightarrow { a = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } {{ { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } . }$$

شعاع دایره بوسان را می‌توان از معادله اول تعیین کرد:

$$\large \begin {align*} & { { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( {{ y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } } + { { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } {{ { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } } \right ) ^ 2 } \cdot \kern0pt { \left [ { { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } \right ] , } \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ 3 } } } { { { { \left ( { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^2 }} \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right | } } . } \end{align*}$$

می‌بینیم که مختصات $$a$$ و $$b$$ مرکز دایره، مختصات مرکز انحنای منحنی $$y = f (x )$$ در $$x _0$$ هستند و شعاع دایره بوسان، برابر با شعاع انحنای منحنی در نقطه تماس است.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال حل شده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

منحنی سهمی بوسان با تابع نمایی $$f\left( x \right) = {e^x}$$ را در نقطه $$x _ 0 = 0$$ به دست آورید.

حل: فرض می‌کنیم منحنی با معادله $$y = g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$$ تعریف شده باشد، که سه پارامتر دارد. بنابراین، می‌توانیم فرض کنیم مرتبه تماس منحنی‌ها برابر با $$2$$ است. در نتیجه، ضرایب $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را می‌توان از شرایط زیر محاسبه کرد:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\ f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\ f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \end{array} \right..$$

مشتقات توابع $$f\left( x \right) = {e^x}$$ و $$g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large { f ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { e ^ x } , } \; \; \; \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { e ^ x } ; } \\ \large { g ’ \left ( x \right ) = { \left ( { a { x ^ 2 } + b x + c } \right ) ^ \prime } = 2 a x + b , } \; \; \; \kern-0.3pt { g ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { 2 a x + b } \right ) ^ \prime } = 2 a . }$$

در نتیجه، دستگاه معادلات به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } { e ^ { { x _ 0 } } } = a x _ 0 ^ 2 + b { x _ 0 } + c \\ { e ^ { { x _ 0 } } } = 2 a { x _ 0 } + b \\ { e ^ { { x _ 0 } } } = 2 a \end{array} \right..$$

با قرار دادن $${x_0} = 0$$، داریم:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } c = 1 \\ b = 1 \\ 2 a = 1 \end {array} \right. \; \;\kern-0.3pt { \equiv \; \; \left\{ \begin {array} { l } a = \frac { 1 } { 2 } \\ b = 1 \\ c = 1 \end{array} \right..}$$

بنابراین، سهمی بوسان با تابع نمایی در نقطه $$x _0 = 0$$ تماسی با مرتبه دو دارد و با فرمول زیر تعیین می‌شود:‌

$$\large y = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + 1 .$$

اگر معادله را به فرم زیر بنویسیم، می‌بینیم که رأس سهمی در نقطه $$\left( { – 1,{\large\frac{1}{2}\normalsize}} \right)$$ قرار دارد:

$$\large \begin {align*} y & = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + 1 = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { x ^ 2 } + 2 x } \right ) + 1 } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { x ^ 2 } + 2 x + 1 – 1 } \right ) + 1 } = { \frac { 1 } { 2 } { \left ( { x + 1 } \right ) ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \end{align*}$$

نمودار دو منحنی بوسان در شکل ۲ نشان داده شده است.

مثال ۲

معادله سهمی بوسان با تابع $$f\left( x \right) = \cos x$$ را در نقطه $$x _0 = 0$$ به دست آورید.

حل: فرض می‌کنیم دسته سهمی‌ها سه پارامتر دارند و معادله آن‌ها با سه پارامتر $$a$$، $$b$$ و $$c$$ به صورت زیر است:

$$\large y = a { x ^ 2 } + b x + c$$

تابع زیر را معرفی می‌کنیم:‌

$$\large \Phi \left ( { x , a , b , c } \right) = a { x ^ 2 } + b x + c – f \left ( x \right )$$

شرایط تماس در نقطه $$x _0$$ به فرم زیر است:

$$\large \left \{ \begin {array} { l } \Phi \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right ) = 0 \\ { \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right ) = 0 \\ { \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right) = 0 \end {array} \right..$$

در این مثال، $$f\left( x \right) = \cos x$$ است. بنابراین، داریم:‌

$$\large \begin {align*} f ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime = – \sin x , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ {\prime \prime} \left ( x \right ) & = \left ( { – \sin x } \right ) ^ \prime = – \cos x . \end{align*}$$

در نتیجه، ضرایب $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به دست آورد:‌

$$\large \left\{ \begin {array} { l } a x _ 0 ^ 2 + b { x _ 0 } + c – \cos { x _ 0 } = 0 \\ 2 a { x _ 0 } + b + \sin { x _ 0 } = 0 \\ 2 a + \cos { x _ 0 } = 0 \end {array} \right . .$$

با جایگذاری $${x_0} = 0$$، داریم:

$$\large { \left\{ \begin {array} { l } c – 1 = 0 \\ b = 0 \\ 2 a + 1 = 0 \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l } a = – \frac { 1 } { 2 } \\ b = 0 \\ c = 1 \end{array} \right..}$$

بنابراین، سهمی بوسان با تابع کسینوس در نقطه $$x _0 = 0$$ با معادله زیر بیان می‌شود:

$$\large y = – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + 1 .$$

همانطور که می‌بینیم، این معادله متناظر با دو جمله اول بسط مک‌لورن تابع کسینوس است.

مثال ۳

معادله منحنیِ

$$\large y = g \left ( x \right ) = \frac { a } { { x + b } }$$

را بیابید که با نمودار تابع لگاریتمی $$f\left( x \right) = \ln x + 1$$ در نقطه $$x _ 0 = 1$$ تماس پیدا می‌کند.

حل: دسته منحنی $$g (x)$$ دو پارامتر $$a$$ و $$b$$ دارد. بنابراین، این منحنی‌ها تماس مرتبه اول خواهند داشت. شرایط تماس به صورت زیر است:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\ f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \end{array} \right . .$$

مشتق‌ها نیز به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large \begin{align*} f ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \ln x + 1 } \right ) ^ \prime = \frac { 1 } { x } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ g ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \frac { a } { { x + b } } } \right ) ^ \prime = – \frac { a } { { { { \left ( { x + b } \right ) } ^ 2 } } } \end {align*}$$

با جایگذاری توابع و مشتقات آن‌ها، معادله‌های زیر به دست می‌آید:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } \ln { x _ 0 } + 1 = \frac { a } { { { x _ 0 } + b } } \\ \frac { 1 } { { { x _ 0 } } } = – \frac { a } { { { { \left ( { x + b } \right ) } ^ 2 } } } \end{array} \right..$$

برای نقطه $$x _ 0 = 1$$، مقادیر $$a$$ و $$b$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin{align*} & \left\{ \begin {array} { l } \ln 1 + 1 = \frac { a } { { 1 + b } } \\ \frac { 1 } { 1 } = – \frac { a } { { { { \left ( { 1 + b } \right ) } ^ 2 } } } \end {array} \right . , \; \; \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l } a = 1 + b \\ a = – \left ( { 1 + b } \right ) \end {array} \right . , \; \; } \\ & \Rightarrow { a = – { a ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { a + { a ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { a \left ( { 1 + a } \right ) = 0 . } \end {align*}$$

جواب بامعنی معادله اخیر $$a = -1$$ است. مقدار متناظر با آن نیز $$b = -2$$ است. بنابراین، تابع کسری که تماس مرتبه اول (یعنی یک مماس مشترک) با منحنی $$f\left( x \right) = \ln x + 1$$ در $$x _ 0 = 1$$ دارد، با معادله زیر توصیف می‌شود:‌

$$\large y = g \left ( x \right ) = – \frac { 1 } { { x – 2 } } = \frac { 1 } { { 2 – x } } .$$

مثال ۴

معادله

$$\large y = g \left ( x \right ) = a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + c x + d$$

را به گونه‌ای بنویسید که نمودار آن با منحنی $$f\left( x \right) = \tan x$$ در نقطه $$x _ 0 = 0$$ تماس داشته باشد.

حل: در اینجا با دسته‌ای از توابع شامل چهار پارامتر سر و کار داریم. بنابراین، بالاترین مرتبه ممکن تماس منحنی‌ها برابر با $$3$$ است. برای تعیین ضرایب $$a$$، $$b$$ $$c$$ و $$d$$ شرایط زیر را داریم:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\ f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\ f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\ f ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \end {array} \right..$$

مشتقات توابع مکعبی به صورت زیر است:

$$\large \begin{align*} g ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + c x + d } \right ) ^ \prime } = 3 a { x ^ 2 } + 2 b x + c , \\ g ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 a { x ^ 2 } + 2 b x + c } \right ) ^ \prime } = 6 a x + 2 b , \\ g ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 6 a x + 2 b } \right ) ^ \prime } = 6 a . \end {align*}$$

مشتقات تابع تانژانت نیز برابر است با:‌

$$\large \begin{align*} f ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } , \\ f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left [ { { { \left ( { \cos x } \right ) } ^ { – 2 } } } \right ] ^ \prime } } \\ & = { – 2 { \left ( { \cos x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } = { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } , } \\ f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { 2 \sin x } \right ) } ^ \prime } { { \cos } ^ 3 } x – 2 \sin x { { \left ( { { { \cos } ^ 3 } x } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \cos } ^ 6 } x } } } \\ & = { \frac { { 2 \, { { \cos } ^ 3 } x + 6 \, { { \sin } ^ 2 } x \, { { \cos } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 6 } x } } } = { \frac { { 2 + 4 \, { { \sin } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 4 } x} } . } \end {align*}$$

در نتیجه، دستگاه معادلات زیر را خواهیم دشت:

$$\large \left\{ \begin {array} { l } \tan { x _ 0 } = a x _ 0 ^ 3 + b x _ 0 ^ 2 + c { x _ 0 } + d \\ \large \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } { x _ 0 } } } = 3 a x _ 0 ^ 2 + 2 b { x _ 0 } + c \\ \large \frac { { 2 \sin { x _ 0 } } } { { { { \cos } ^ 3 } { x _ 0 } } } = 6 a { x _ 0 } + 2 b \\ \large \frac { { 2 + 4 { { \sin } ^ 2 } { x _ 0 } } } { { { { \cos } ^ 4 } { x _ 0 } } } = 6 a \end{array} \right.$$

با جایگذاری مقدار $$x _ 0 = 0$$، داریم:

$$\large { \left\{ \begin {array} { l } d = 0 \\ c = 1 \\ 2 b = 0 \\ 6 a = 2 \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l } a = \frac { 1 } { 3 } \\ b = 0 \\ c = 1 \\ d = 0 \end{array} \right..}$$

بنابراین، تابع مکعبی بوسان به صورت زیر است:

$$\large y = \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + x .$$

این منحنی، با منحنی تانژانت در مبدأ تماس مرتبه سوم دارد.

توجه کنید که تابع مکعبی حاصل، چندجمله‌ای مک‌لورن مرتبه سوم تابع تانژانت است.

مثال ۵

معادله دایره بوسان با منحنی $$f\left( x \right) = \arctan x$$ را در نقطه $$x _ 0 = 1$$ بنویسید.

حل: واضح است که دو منحنی در نقطه زیر تماس دارند:‌

$$\large \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) = \left ( { 1 , \frac { \pi } { 4 } } \right ) .$$

مختصات و مرکز دایره بوسان نیز برابر است با:‌

$$\large { a = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { b = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2} } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right | } } . }$$

بنابراین، مشتق‌ها به صورت زیر خواهند بود:

$$\large { y ’ = { \left ( { \arctan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } . } }$$

مقادیر این مشتق‌ها در نقطه $$x _0 = 1$$ برابر است با:

$$\large { { y ’ _ 0 } = y ’ \left ( 1 \right ) = \frac { 1 } { 2 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = y ^ { \prime \prime } \left ( 1 \right ) = – \frac { 1 } { 2 } .}$$

مختصات مرکز دایره بوسان نیز به صورت زیر است:

$$\large \begin{align*} a & = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } = { 1 – \frac { { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 9 } { 4 } = 2. 2 5 ;} \\ b & = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } = { \frac { \pi } { 4 } + \frac { { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) } } } = { \frac { \pi } { 4 } – \frac { 5 } { 2 } \approx – 1.71 . } \end {align*}$$

شعاع دایره بوسان نیز برابر است با:‌

$$\large \begin{align*} R & = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0} } \right | } } = { \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { – \frac { 1 } { 2 } } \right | } } } \\ & = { \frac { { { { \left ( { 1 + \frac { 1 } { 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } = { 2 { \left ( { \frac { 5 } { 4 } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { \frac { { \sqrt { 1 2 5 } } } { 4 } \approx 2.80.} \end {align*}$$

بنابراین، مرکز دایره بوسان در نقطه $$\left ( { { \large \frac { 9 } { 4 } \normalsize } , { \large \frac { \pi } { 4 } \normalsize } – { \large \frac { 5 } { 2 } \normalsize } } \right )$$ قرار دارد.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• توابع صعودی و نزولی — به زبان ساده
• مجانب تابع — به زبان ساده
• توابع محدب و مقعر — از صفر تا صد

^^