معادله کلرو — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره معادلات دیفرانسیل بحث و روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی کردیم. معادله کلرو نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در این آموزش به معرفی آن می‌پردازیم.

معادله کلرو

معادله‌ای به فرمِ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large y = x y ’ + \psi \left ( { y ’ } \right ) $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$ \psi \left( {y’} \right) $$ یک تابع غیرخطی مشتق‌پذیر است. این معادله، «معادله کلرو» (Clairaut Equation) نامیده می‌شود. معادله کلرو یک حالت خاص از معادله لاگرانژ است ($$ \varphi \left( {y’} \right) = y’ $$). این معادله، مشابه معادله لاگرانژ، با تعریف یک پارامتر حل می‌شود. جواب عمومی این معادله به صورت زیر است:

$$ \large y = C x + \psi \left ( C \right ) $$

که در آن، $$C$$ یک ثابت اختیاری است.

مشابه معادله لاگرانژ‌، معادله کلرو نیز ممکن است جواب تکین داشته باشد که به صورت پارامتری زیر نوشته می‌شود:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
x = – \psi ’ \left( p \right) \\
y = x p + \psi \left ( p \right )
\end {array} \right . $$

که در آن $$p$$ یک پارامتر است.

مثال‌ها

در این بخش، دو مثال مربوط به معادله دیفرانسیل کلرو بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال 1

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = x y ’ + { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } $$ را بیابید.

حل:‌ این معادله، معادله کلرو است. با قرار دادن $$ y’ = p $$، معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large y = x p + { p ^ 2 } . $$

با دیفرانسیل‌گیری، داریم:

$$ \large { d y = x d p + p d x } + { 2 p d p . } $$

اکنون مقدار $$pdx$$ را به جای $$dy$$ قرار می‌دهیم:

$$ \large \require {cancel}
{ { \cancel { p d x } = x d p + \cancel { p d x } } + { 2 p d p , \; \; } } \Rightarrow
{ d p \left( { x + 2 p } \right ) = 0 . } $$

با صفر قرار دادن عامل اول، داریم:

$$ \large d p = 0 , \; \; \Rightarrow p = C . $$

اکنون معادله بالا را در معادله دیفرانسیل قرار می‌دهیم:

$$ \large y = C x + { C ^ 2 } . $$

بنابراین، جواب عمومی معادله کلرو، دسته‌ای تک‌پارامتری از خطوط راست است.

حال عامل دوم را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$ \large { x + 2 p = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = – 2 p . } $$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

در نتیجه،‌ جواب تکین معادله دیفرانسیل به فرم پارامتری حاصل می‌شود:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
x = – 2 p \\
y = x p + { p ^ 2 }
\end {array} \right . . $$

با حذف $$p$$ از دستگاه معادلات بالا، معادله منحنی کامل به دست می‌آید:

$$ \large { p = – \frac { x } { 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ y = x \left ( { – \frac { x } { 2 } } \right ) + { \left ( { – \frac { x } { 2 } } \right ) ^ 2 } }
= { – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } }
= { – \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } . } $$

از نظر هندسی، منحنی $$ y = – \large\frac{{{x^2}}}{4}\normalsize $$ یک پوش برای دسته‌ای از خطوط راست است که با جواب عمومی تعریف می‌شود (شکل ۱).

مثال ۲

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = x y ’ + \sqrt { { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } + 1 } $$ را بیابید.

حل:‌ این معادله، معادله کلرو است. با قرار دادن $$ y’ = p $$، معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large y = x p + \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } . $$

با دیفرانسیل‌گیری، داریم:

$$ \large { d y = x d p + p d x } + { \frac { { p d p } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } . } $$

از آن‌جایی که $$dy=pdx$$، می‌توان نوشت:

$$ \large { { \cancel { p d x } = x d p + \cancel { p d x } } + { \frac { { p d p } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } , \; \; } } \\ \large \Rightarrow
{ \left ( { x + \frac { p } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } } \right ) d p = 0 . } $$

حالت $$ dp = 0 $$ را در نظر می‌گیریم و در نتیجه آن داریم: $$p=C$$. با جایگذاری این عبارت در معادله، جواب عمومی به دست می‌آید:

$$ \large y = C x + \sqrt { { C ^ 2 } + 1 } . $$

این جواب، متناظر با دسته‌ای از خطوط راست تک‌پارامتری است.

حالت دوم، با معادله $$ x = – { \large \frac { p } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } \normalsize } $$ توصیف می‌شود. توصیف پارامتری $$y$$ به صورت زیر است:

$$ \large { y = x p + \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } }
= { – \frac { { p ^ 2 } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } + \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } \\ \large
= { \frac { { – \cancel { p ^ 2 } + \cancel { p ^ 2 } + 1 } } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } }
= { \frac { 1 } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } . } $$

پارامتر $$p$$ را می‌توان از فرمول‌های $$x$$ و $$y$$ حذف کرد. با به توان دو رساندن و جمع این دو معادله، داریم:

$$ \large { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } }
= { { \left ( { – \frac { p } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } } \right ) ^ 2 } } + { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt { { p ^ 2 } + 1 } } } } \right ) ^ 2 } }
= { \frac { \cancel { { p ^ 2 } + 1 } } { \cancel { { p ^ 2 } + 1 } } } = { 1 . } $$

معادله اخیر، دایره‌ای به شعاع یک و مبدأ مرکز مختصات است. بنابراین، جواب تکین با دایره واحد در صفحه $$xy$$ مشخص می‌شود که پوش خطوط راست است (شکل ۲).