مسئله در مورد مساحت لوزی با جواب – حل سوالات امتحانی

در این مطلب از مجله فرادرس مسايلی را در مورد مساحت لوزی حل می‌کنیم. لوزی، یک چهار ضلعی با ضلع‌های برابر است. مساحت لوزی، اندازه سطح درون ضلع‌های این شکل هندسی را نمایش می‌دهد. این اندازه، معمولا با استفاده از اندازه قطرهای آن محاسبه می‌شود. در این مطلب، چندین مسئله در مورد مساحت لوزی را با اندازه‌های مختلف حل می‌کنیم. با مطالعه و یادگیری این مثال‌ها می‌توانید بر روی مبحث محاسبه مساحت لوزی تسلط پیدا کنید.

مسئله در مورد مساحت لوزی با قطر

در مطالب پیشین مجله فرادرس با فرمول مساحت مساحت لوزی آشنا شدیم. لوزی، سطح محدود به ضلع‌های آن است. فرمول مساحت لوزی، معمولا به شکل زیر نوشته می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

فرمول مساحت لوزی به صورت جبری نیز عبارت است از:

$$S = \frac {pq}{۲}$$

با در نظر داشتن فرمول‌های بالا، به حل چند مسئله در مورد مساحت لوزی می‌پردازیم.

سوال 1

مربعی به قطر 8 را در نظر بگیرید. مساحت این مربع چقدر است؟

مربع، یک لوزی است که ضلع‌های آن همدیگر را با زاویه 90 درجه قطع می‌کنند. در این لوزی خاص، اندازه قطرها با هم برابرند. بنابراین، فرمول محاسبه مساحت آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (قطر × قطر) = مساحت لوزی

۲ ÷ (8 × 8) = مساحت لوزی

۲ ÷ (64) = مساحت لوزی

32 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت مربع (لوزی) برابر 32 واحد سطح است.

سوال 2

اندازه قطرهای یک لوزی برابر 3 و 6 است. مساحت لوزی را به دست بیاورید.

در این سوال، قطر کوچک لوزی (3) و قطر بزرگ آن (6) را داریم. برای محاسبه مساحت لوزی، کافی است این مقادیر را درون فرمول زیر قرار دهیم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (3 × 6) = مساحت لوزی

۲ ÷ (18) = مساحت لوزی

9 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 9 واحد سطح است.

سوال 3

مساحت لوزی زیر را به دست بیاورید. (تمام اندازه‌ها بر حسب سانتی‌متر هستند.)

قطر بزرگ لوزی برابر 14 سانتی‌متر و قطر کوچک آن برابر 7 سانتی‌متر است. بنابراین، داریم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (7 × 14) = مساحت لوزی

۲ ÷ (98) = مساحت لوزی

49 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 49 سانتی‌متر مربع است. به دلیل بیان واحد قطرهای لوزی بر حسب سانتی‌متر، مساحت لوزی را بر حسب سانتی‌متر مربع بیان کردیم.

واحدهایی نظیر سانتی‌متر مربع، متر مربع، اینچ مربع و غیره، واحد سطح هستند. در برخی از مسائل، امکان بیان اندازه‌ها به یک واحد مشخص و خواستن مساحت بر حسب واحد دیگر وجود دارد. در بخش‌های بعدی، به حل چند مسئله در مورد مساحت لوزی با تبدیل واحد نیز خواهیم پرداخت.

سوال 4

مساحت لوزی زیر را حساب کنید. (اندازه‌ها بر حسب متر هستند.)

بر اساس خواص لوزی، قطرهای این شکل هندسی، عمود منصف یکدیگرند. به عبارت دیگر، قطرهای لوزی، همدیگر را با زاویه 90 درجه قطع کرده و از مرکز یکدیگر عبور می‌‌کنند. بنابراین، پاره‌خط عمود بر یکی از قطرهای لوزی در تصویر بالا (پاره‌خط 3 متری)، نصف قطر دیگر لوزی است:

۶ = ۳ × ۲ = قطر لوزی

مساحت لوزی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (6 × 10) = مساحت لوزی

۲ ÷ (60) = مساحت لوزی

30 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 30 متر مربع است.

سوال 5

مساحت یک لوزی به قطر بزرگ 11 سانتی‌متر و قطر کوچک 5 سانتی‌متر را به دست بیاورید.

مساحت لوزی برابر است با:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (5 × 11) = مساحت لوزی

۲ ÷ (55) = مساحت لوزی

27/5 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 27/5 سانتی‌متر مربع است. مساحت لوزی در این سوال به صورت اعشاری به دست آمد. در بخش‌های بعدی، چند مسئله در مورد مساحت لوزی با اندازه‌های اعشاری را نیز حل خواهیم کرد.

مسئله در مورد مساحت لوزی و تعیین قطر آن

در بخش قبلی، چندین مسئله در مورد مساحت لوزی را مورد بررسی قرار دادیم. در این بخش، به حل مسائل تعیین قطر لوزی با استفاده از مساحت آن می‌پردازیم.

سوال 6

اگر مساحت یک لوزی برابر 27 ,واحد سطح و قطر کوچک آن برابر 6 واحد طول باشد، قطر بزرگ چقدر است؟

برای به دست آوردن قطر لوزی بر اساس اندازه قطر دیگر و مساحت، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (6 × قطر بزرگ) = 27

2 × 27 = 6 × قطر بزرگ

54 = 6 × قطر بزرگ

6 ÷ 54 = قطر بزرگ

9 = قطر بزرگ

در نتیجه، قطر بزرگ لوزی برابر 9 واحد طول است.

سوال 7

مساحت یک لوزی برابر 32 سانتی‌متر مربع است. با فرض برابر بودن قطرها، اندازه آن‌ها را حساب کنید.

اگر اندازه قطرهای لوزی با هم برابر باشند، فرمول مساحت به صورت زیر نوشته می‌شود:

۲ ÷ (قطر × قطر) = مساحت لوزی

۲ ÷ (قطر × قطر) = 32

۲ × 32 = قطر × قطر

64 = قطر × قطر

اگر عدد 8 را در خودش ضرب کنیم، به عدد 64 می‌رسیم. بنابراین، اندازه هر یک از قطرهای لوزی برابر 8 سانتی‌متر است.

سوال 8

مساحت یک لوزی برابر 12 متر مربع است. قطرهای لوزی را به دست بیاورید.

برای شروع، ابتدا فرمول مساحت لوزی با قطر را می‌نویسیم و آن را بر حسب ضرب قطرها حل می‌کنیم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = 12

2 × 12 = قطر کوچک × قطر بزرگ

24 = قطر کوچک × قطر بزرگ

حاصل‌ضرب قطر بزرگ در کوچک برابر 24 است. برای پاسخگویی به سوال، باید اعدادی را پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آن برابر با 24 باشد. این اعداد عبارت هستند از:

24 = 24 × 1

24 = 12 × 2

24 = 8 × 3

24 = 6 × 4

بنابراین، اندازه قطرهای کوچک و بزرگ لوزی، یکی از اندازه‌های (1 و 24)، (2 و 12)، (3 و 8) یا (4 و 6) است.

سوال 9

یک لوزی با مساحت 36 میلی‌متر مربع را در نظر بگیرید. اگر قطر بزرگ لوزی، دو برابر قطر کوچک آن باشد، اندازه هر یک از قطرها چقدر است؟

دو روش کلی برای حل این سوال، وجود دارد. در روش اول، ابتدا فرمول مساحت لوزی را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را درون آن قرار می‌دهیم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = 36

2 × 36 = (قطر کوچک × قطر بزرگ)

72 = (قطر کوچک × قطر بزرگ)

اکنون، اعدادی که حاصلضرب آن‌ها برابر 72 می‌شود را یادداشت می‌کنیم:

72 = 72 × 1

 72 = 36 × 2

72 = 24 × 3

72 = 18 × 4

72 = 12 × 6

72 = 9 × 8

از بین حالت‌های مختلف بالا، حاصلضرب 6 در 12 با فرض سوال مطابقت دارد. عدد 12، دو برابر عدد 6 است. بنابراین، قطر بزرگ لوزی برابر 12 میلی‌متر و قطر کوچک آن برابر 6 میلی‌متر است. در روش دوم، قطر بزرگ لوزی را بر حسب قطر کوچک آن می‌نویسیم:

قطر کوچک × 2 = قطر بزرگ

سپس، به جای قطر بزرگ در فرمول مساحت لوزی، عبارت بالا را قرار می‌دهیم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر کوچک × 2) = مساحت لوزی

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر کوچک × 2) = 36

36 × 2 = قطر کوچک × قطر کوچک × 2

72 = قطر کوچک × قطر کوچک × 2

2 ÷ 72 = قطر کوچک × قطر کوچک

36 = قطر کوچک × قطر کوچک

عدد 6، عددی است که ضرب آن در خودش برابر 36 می‌شود. بنابراین، قطر کوچک لوزی برابر 6 میلی‌متر و قطر بزرگ آن برابر دو برابر قطر کوچک، یعنی 12 میلی‌متر خواهد بود.

مسئله در مورد مساحت لوزی با کسر

در تمام نمونه سوال‌هایی که تا به اینجا حل کردیم، اندازه قطرهای لوزی به صورت اعداد طبیعی (1، 2، 3، 4 و ...) بیان شده بودند. در این بخش، به حل چند مسئله در مورد مساحت لوزی با اندازه‌های کسری، اعشاری و مخلوط می‌پردازیم.

سوال 10

تصویر زیر، یک لوزی و اندازه قطرهای بزرگ و کوچک آن را نمایش می‌دهد. مساحت لوزی را به صورت کسر ساده حساب کنید.

روند حل سوالات کسری، تفاوت چندانی با سوالات قبلی ندارد. با این وجود، برای درک بهتر این مسائل، از عبارت جبری فرمول مساحت استفاده می‌کنیم. پس از نوشتن این فرمول‌ها، اندازه قطرها را درون آن قرار می‌دهیم:

$$S = \frac {۱}{۲}pq$$

• S: مساحت لوزی
• p: اندازه یکی از قطرها
• q: اندازه قطر دیگر

$$S = \frac {۱}{۲} \times \frac {۱۶}{۳} \times \frac {۷}{۲}$$

در ضرب کسرها، صورت‌های اعداد در یکدیگر و مخرج‌های آن‌ها در یکدیگر ضرب می‌شوند:

$$S = \frac {۱ \times ۱۶ \times ۷}{۲ \times ۳ \times ۲}$$

$$S = \frac {۱۱۲}{۱۲}$$

به این ترتیب، مساحت لوزی به صورت کسری محاسبه می‌شود. البته برای ساده‌سازی کسر بالا می‌توانیم صورت و مخرج آن را بر عدد 4 تقسیم کنیم:

$$S = \frac {۱۱۲}{۱۲} = \frac {۲۸}{۳}$$

در نتیجه، مساحت لوزی برابر بیست و هشت سوم است.

سوال 11

اندازه قطر بزرگ و کوچک یک لوزی به ترتیب برابر 6/5 و 3/8 سانتی‌متر است. مساحت لوزی را به صورت کسر ساده حساب کنید.

اندازه قطرهای لوزی در این سوال به صورت اعشاری بیان شده‌اند. اعشار، یکی از روش‌های نمایش کسرها است. برای محاسبه مساحت لوزی، فرمول آن را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را درون آن قرار می‌دهیم:

$$S = \frac {۱}{۲}pq$$

• S: مساحت لوزی
• p: اندازه یکی از قطرها برابر 6/5 سانتی‌متر
• q: اندازه قطر دیگر برابر 3/8 سانتی‌متر

$$S = \frac {۱}{۲}\times ۶/۵ \times ۳/۸$$

محاسبه بالا، بر اساس قواعد ضرب اعداد اعشاری انجام می‌گیرد:

$$S = \frac {۱}{۲}\times ۲۴/۷$$

$$S = ۱۲/۳۵$$

مساحت لوزی برابر 12/35 سانتی‌متر مربع است. کسر ساده این عدد اعشاری به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$S = \frac {۱۲۳۵}{۱۰۰}$$

سوال 12

مساحت لوزی زیر را تعیین کنید.

اندازه‌های قطرهای لوزی، عدد مخلوط هستند. از این‌رو، به منظور محاسبه مساحت لوزی، ابتدا باید این اعداد را به شکل کسر ساده در بیاوریم:

$$۲\frac {۴}{۵} = \frac {(۲\times ۵) +۴}{۵} = \frac {۱۴}{۵}$$

$$۳\frac {۱}{۴} = \frac {(۳\times ۴) +۱}{۴} = \frac {۱۳}{۴}$$

اکنون با استفاده از کسرهای بالا، مساحت لوزی را محاسبه می‌کنیم:

$$S = \frac {۱}{۲}pq$$

$$S = \frac {۱}{۲} \times \frac {۱۴}{۵} \times \frac {۱۳}{۴}$$

$$S = \frac {۱ \times ۱۴ \times ۱۳}{۲ \times ۵ \times ۴}$$

$$S = \frac {۱۸۲}{۴۰}$$

$$S = \frac {۱۸۲}{۴۰} = \frac {۹۱}{۲۰}$$

مسئله در مورد مساحت لوزی رنگی

در این بخش، چند مسئله در مورد مساحت لوزی و قسمت‌های رنگی آن می‌پردازیم.

سوال 13

اگر اندازه قطرهای لوزی زیر برابر 11 و 15 متر باشد، مساحت قسمت رنگی چقدر خواهد بود؟

قطر لوزی نمایش داده شده در تصویر بالا، آن را به دو قسمت تقسیم کرده است. بر اساس خواص قطرهای لوزی، این دو قسمت با هم برابر هستند. بنابراین، مساحت قسمت رنگی، نصف مساحت لوزی کامل خواهد بود. مساحت لوزی کامل برابر است با:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (11 × 15) = مساحت لوزی

۲ ÷ (165) = مساحت لوزی

82/5 = مساحت لوزی

مساحت قسمت رنگی، از تقسیم مساحت لوزی کامل بر عدد 2 به دست می‌آید:

۲ ÷ 82/5 = مساحت رنگی

41/25 = مساحت رنگی

در نتیجه، مساحت قسمت رنگی لوزی برابر 41/25 متر مربع است.

سوال 14

تصویر، اندازه ساق‌های یک مثلث قائم الزاویه را نمایش می‌دهد. مساحت آن را با کمک فرمول مساحت لوزی به دست بیاورید.

اگر چهار مثلث قائم الزاویه هم‌اندازه با مثلث بالا را در کنار یکدیگر قرار دهیم، شکل یک لوزی به وجود می‌آید.

به دلیل برابر بودن مثلث‌ها، مساحت لوزی، چهار برابر مساحت هر مثلث است. ساق‌های مثلث‌ها در کنار یکدیگر، قطرهای لوزی را تشکیل می‌دهند. از روی شکل می‌توان مشاهده کرد که قطر بزرگ لوزی برابر 8 و قطر کوچک آن برابر 6 است. مساحت لوزی با استفاده از این اندازه‌ها محاسبه می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (6 × 8) = مساحت لوزی

۲ ÷ (48) = مساحت لوزی

24 = مساحت لوزی

مساحت هر مثلث، یک‌چهارم مساحت لوزی است. بنابراین داریم:

4 ÷ مساحت لوزی = مساحت مثلث

4 ÷ 24 = مساحت مثلث

6 = مساحت مثلث

در نتیجه، مساحت مثلث قائم الزاویه برابر 6 واحد سطح است.

سوال 15

مساحت لوزی داخل مستطیل را به دست بیاورید.

اندازه طول و عرض مستطیل در تصویر بالا مشخص شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، طول مستطیل با قطر بزرگ لوزی و عرض آن با قطر کوچک لوزی برابر است. بنابراین، مساحت لوزی داخل مستطیل به صورت زیر محاسبه می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (عرض × طول) = مساحت لوزی

۲ ÷ (9 × 14) = مساحت لوزی

۲ ÷ (126) = مساحت لوزی

63 = مساحت لوزی

سوال 16

شکل داخل مستطیل زیر، یک لوزی است. مساحت قسمت رنگی را حساب کنید.

مساحت قسمت رنگی شکل بالا از اختلاف بین مساحت مستطیل و لوزی به دست می‌آید:

لوزی - مستطیل = قسمت رنگی

مساحت مستطیل برابر است با:

عرض × طول = مساحت مستطیل

قطر بزرگ لوزی (20=10+10) را به جای طول مستطیل و قطر کوچک لوزی (12=6+6) را به جای عرض مستطیل در فرمول بالا قرار می‌دهیم:

12 × 20 = مساحت مستطیل

240 = مساحت مستطیل

مساحت لوزی نیز با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (12 × 20) = مساحت لوزی

۲ ÷ (240) = مساحت لوزی

120 = مساحت لوزی

به این ترتیب، داریم:

لوزی - مستطیل = قسمت رنگی

120 - 240 = قسمت رنگی

120 = قسمت رنگی

در نتیجه، مساحت قسمت رنگی برابر 120 است.

سوال 17

نسبت مساحت مستطیل به لوزی داخل آن چند است؟

برای محاسبه نسبت خواسته شده، ابتدا مساحت مستطیل و لوزی را به دست می‌آوریم:

عرض × طول = مساحت مستطیل

۴/۴ × ۷/۲ = مساحت مستطیل

31/68 = مساحت مستطیل

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (۴/۴ × ۷/۲) = مساحت لوزی

۲ ÷ (31/68) = مساحت لوزی

15/84 = مساحت لوزی

نسبت مساحت مستطیل به لوزی برابر است با:

2 = 15/84 ÷ 31/68

در نتیجه، مساحت مستطیل، دو برابر مساحت لوزی است. اگر راس‌های لوزی بر روی ضلع‌های مستطیل قرار داشته باشند، نسبت مساحت مستطیل به لوزی، همواره برابر با 2 خواهد بود.

مسئله در مورد مساحت لوزی با تبدیل واحد

در این بخش، چند مسئله در مورد مساحت لوزی با تبدیل واحد را مورد بررسی و حل قرار می‌دهیم.

سوال 18

اندازه‌های قطرهای یک لوزی برابر 140 سانتی‌متر و 50 سانتی‌متر است. مساحت لوزی را بر حسب متر مربع به دست بیاورید.

برای اینکه مساحت یک لوزی را بر حسب متر مربع به دست بیاوریم، ابتدا باید اندازه هر دو قطر آن را به متر تبدیل کنیم. هر متر برابر 100 سانتی‌متر است. بنابراین، داریم:

1/4 متر = 140 سانتی‌متر = قطر بزرگ

0/5 متر = 50 سانتی‌متر = قطر کوچک

اکنون، اندازه‌های بالا را در فرمول مساحت لوزی قرار می‌دهیم:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (0/5 × 1/4) = مساحت لوزی

۲ ÷ (0/7) = مساحت لوزی

0/35 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 0/35 متر مربع است.

سوال 19

قطر بزرگ یک لوزی برابر 350 میلی‌متر و قطر کوچک آن برابر 0/4 متر است. مساحت لوزی، چند سانتی‌متر مربع است؟

هر سانتی‌متر برابر 10 میلی‌متر و هر متر برابر 100 سانتی‌متر است. با توجه به این نسبت‌ها، اندازه قطرها را بر حسب سانتی‌متر می‌نویسیم:

40 سانتی‌متر = 0/4 متر = قطر بزرگ

35 سانتی‌متر = 350 میلی‌متر = قطر کوچک

به این ترتیب، امکان محاسبه مساحت لوزی بر حسب سانتی‌متر مربع فراهم می‌شود:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (35 × 40) = مساحت لوزی

۲ ÷ (1400) = مساحت لوزی

700 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 700 سانتی‌متر مربع است.

سوال 20

قطرهای بزرگ و کوچک یک لوزی به ترتیب برابر 10 و 15 سانتی‌متر است. مساحت لوزی را بر حسب اینچ مربع به دست بیاورید.

اگر هر سانتی‌متر را تقریبا برابر 0/4 اینچ در نظر بگیریم، اندازه قطرهای بزرگ و کوچک لوزی برابر خواهند بود با:

6 اینچ = 15 سانتی‌متر = قطر بزرگ

4 اینچ = 10 سانتی‌متر = قطر کوچک

مساحت لوزی برابر است با:

۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

۲ ÷ (4 × 6) = مساحت لوزی

۲ ÷ (24) = مساحت لوزی

12 = مساحت لوزی

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 12 اینچ مربع است.

مسئله در مورد مساحت لوزی با اندازه متغیر

در برخی از مسائل، اندازه قطرهای لوزی به صورت متغیرهای غیر عددی (مانند x و y) داده می‌شوند. در این بخش، چند مسئله در مورد مساحت لوزی با اندازه متغیر را حل می‌کنیم.

سوال 21

رابطه مساحت لوزی زیر را تعیین کنید.

اندازه قطرهای لوزی بالا بر حسب x داده شده‌اند. برای حل این مثال، کافی است این اندازه‌ها را درون فرمول مساحت لوزی قرار دهیم:

$$S = \frac {۱}{۲}pq$$

$$S = \frac {۱}{۲}\times \frac {۱۴x}{۵} \times \frac {۵x}{۲}$$

$$S = \frac {۱ \times ۱۴x \space \times \space ۵x}{۲ \times ۵ \times ۲}$$

$$S = \frac {۷۰x}{۲۰}$$

$$S = ۳/۵x$$

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 3/5x است. x، یک متغیر محسوب می‌شود و می‌تواند مقادیر عددی متفاوت با واحدهای مختلف داشته باشد. به عنوان مثال، اگر x برابر 2 سانتی‌متر باشد، مساحت لوزی برابر 7 سانتی‌متر خواهد بود.

سوال 22

مساحت لوزی با قطرهای زیر چند است؟

• قطر بزرگ: 4x+7
• قطر کوچک: y+1

اندازه قطرهای لوزی به صورت چندجمله‌ای داده شده‌اند. بنابراین، مساحت لوزی با استفاده از قواعد ضرب چندجمله‌ای‌ها محاسبه می‌شود:

$$S = \frac {۱}{۲}pq$$

$$S = \frac {۱}{۲} \times (۴x+۷) \times (y+۱)$$

$$S = \frac {۱}{۲} \times (۴xy + ۴x + ۷y + ۷)$$

$$S = ۲xy + ۲x + \frac{۷}{۲}y + \frac{۷}{۲}$$

به این ترتیب، مساحت لوزی به صورت یک چندجمله‌ای بر حسب x و y به دست می‌آید.