محاسبه رادیکال با فرجه ۳ – به زبان ساده با مثال و تمرین

۱۵۱۲۹ بازدید

آخرین به‌روزرسانی: ۱ دی ۱۴۰۳

زمان مطالعه: ۱۹ دقیقه

دانلود PDF مقاله

محاسبه رادیکال یک عدد با فرجه ۳، با پیدا کردن عددی انجام می‌گیرد که توان سوم آن برابر با عدد زیر رادیکال شود. به عنوان مثال، رادیکال ۸ با فرجه ۳ برابر با ۲ است؛ زیرا اگر ۲ را به توان ۳ برسانیم، حاصل آن برابر با ۸ می‌شود. محاسبه رادیکال با فرجه سه، قواعد مختص به خود را دارد. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی قواعد محاسبه رادیکال با فرجه ۳ با حل چندین مثال متنوع می‌پردازیم. در انتهای مقاله، سطح یادگیری شما را با حل چند تمرین چندگزینه‌ای می‌سنجیم.

فهرست مطالب این نوشته

رادیکال با فرجه سه چیست و چگونه بدست می آید؟

چگونه روش های محاسبه رادیکال با فرجه ۳ را به خوبی یاد بگیریم؟

فرمول محاسبه رادیکال با فرجه ۳ چیست؟

عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳

محاسبه رادیکال با فرجه ۳ به توان ۲ و بالاتر

ضرب و تقسیم رادیکال با فرجه ۳

روش جذر گرفتن سریع برای حل رادیکال با فرجه ۳

محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر از ۳

آزمون سنجش یادگیری محاسبه رادیکال با فرجه ۳

محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در ماشین حساب مهندسی و ویندوز

در ادامه، ضمن تعریف رادیکال با فرجه سه و آموزش نحوه محاسبه آن، مباحثی نظیر عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳، به توان رساندن، ضرب و تقسیم، جذر گرفتن سریع، استفاده از ماشین‌حساب و محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر را نیز مورد بررسی قرار می‌دهیم.

رادیکال با فرجه سه چیست و چگونه بدست می آید؟

اعداد رادیکالی از سه جز اصلی علامت رادیکال ( $\sqrt { \ \ \ \ }$ )، عدد زیر رادیکال و فرجه رادیکال تشکیل می‌شوند. اگر فرجه رادیکال داده نشده باشد، مقدار آن را برابر با عدد $۲$ در نظر می‌گیریم. بنابراین، $\sqrt { x }$ ، رادیکال $x$ با فرجه $۲$ یا به عبارت دیگر، ریشه دوم $x$ است.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

رادیکال با فرجه $۳$ ، ریشه سوم عدد یک عدد را نمایش می‌دهد. برای درک این مفهوم، $\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$ ‌ را در نظر بگیرید. حاصل این رادیکال عبارت است از:

$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ } = ۳$

اجزای این معادله را در نظر بگیرید:

فرجه رادیکال: $۳$
عدد زیر رادیکال: $۲۷$
حاصل رادیکال: $۳$

قصد داریم رابطه بین اعداد بالا را به دست بیاوریم. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، اگر حاصل رادیکال را به توان فرجه رادیکال برسانیم، به عدد زیر رادیکال می‌رسیم:

$۳ ^ ۳ = ۲۷$

یک پسر نشسته روی زمین در حال مطالعه کتاب

بنابراین، هرگاه از ما رادیکال یک عدد با فرجه $۳$ را خواستند، به دنبال عددی می‌گردیم که حاصل آن به توان $۳$ ، برابر با آن عدد شود. توجه داشته باشید که در مثال بالا، عدد $۲۷$ ، یک مکعب کامل بود. اعداد مکعب کامل را می‌توان به صورت یک عدد صحیح به توان $۳$ نمایش داد. هنگام قرارگیری این اعداد در زیر رادیکال با فرجه $۳$ ، جواب رادیکال برابر با یک عدد صحیح می‌شود. اگر عدد زیر رادیکال با فرجه $۳$ ، مکعب کامل نباشد، جواب رادیکال یک عدد گنگ خواهد بود. به منظور درک بیشتر و بهتر این موضوع، به حل دو مثال و ارائه فرمول محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ می‌پردازیم.

مثال ۱: محاسبه رادیکال ۶۴ با فرجه ۳

حاصل عبارت رادیکالی

\sqrt [ ۳ ] { ۶۴ }

را بنویسید.

مشاهده جواب

$\sqrt [ ۳ ] { ۶۴ }$ ، یک عدد رادیکالی با فرجه $۳$ است. به منظور محاسبه حاصل این رادیکال، به دنبال عددی می‌گردیم که توان سوم آن با عدد زیر رادیکال ( $۶۴$ ) برابر شود. این عدد، برابر با $۴$ است. زیرا:

$۴ ^ ۳ = ۶۴$

بنابراین:

$\sqrt [ ۳ ] { ۶۴ } = ۴$

مثال ۲: محاسبه رادیکال ۸۱ با فرجه ۳

حاصل عبارت رادیکالی

\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ }

را به صورت ضرب عدد در رادیکال ساده کنید.

مشاهده جواب

در مثال‌های قبلی دیدیم که برای محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ ، باید به دنبال عددی بگردیم که توان سوم آن برابر با عدد زیر رادیکال باشد. در این مثال، عدد زیر رادیکال برابر با $۸۱$ است. این عدد، مکعب کامل نیست. به عبارت دیگر، هیچ عدد صحیحی را نمی‌توانیم پیدا کنیم که توان سوم آن برابر با $۸۱$ شود. البته، امکان ساده‌سازی $\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ }$ و نمایش آن به صورت ضرب عدد در رادیکال وجود دارد. برای این کار، ابتدا ضرب‌هایی که حاصل آن‌ها برابر با $۸۱$ می‌شود را می‌نویسیم:

$۱ \times ۸۱ = ۸۱$

$۳ \times ۲۷ = ۸۱$

$۹ \times ۹ = ۸۱$

هدف ما از این کار، پیدا کردن یک مکعب کامل در ضرب‌های بالا است. به عبارت دیگر، می‌خواهیم یک مکعب کامل از درون $۸۱$ بیرون بکشیم. از میان اعداد بالا، $۲۷$ یک مکعب کامل است $( ۳ ^ ۳ = ۲۷ )$ . بنابراین، به جای عدد $۸۱$ در زیر رادیکال، $۳ \times ۲۷$ را قرار می‌دهیم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ \times ۲۷ }$

بر اساس قوانین ضرب رادیکال، داریم:

$\sqrt [ n ] { a \times b } = \sqrt [ n ] { a } \times \sqrt [ n ] { b }$

به عبارت دیگر، رادیکال ضرب دو عدد با ضرب رادیکال‌های آن دو عدد برابر است. بنابراین، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۳ \times ۲۷ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$

عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۳ }$ ، یک عدد رادیکالی گنگ است که امکان ساده‌سازی بیشتر آن وجود ندارد. با این وجود، در مثال ابتدای مطلب دیدیم که حاصل $\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$ برابر با $۳$ می‌شود:

$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ } = ۳$

زیرا:

$۳ ^ ۳ = ۲۷$

در نتیجه:

$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ } \times ۳$

$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = ۳ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$

چگونه روش های محاسبه رادیکال با فرجه ۳ را به خوبی یاد بگیریم؟

تصاویر بندانگشتی فیلم‌های مجموعه آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس — برای مشاهده فیلم‌های مجموعه آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس، بر روی تصویر کلیک کنید.

دانش‌آموزان دوره اول متوسطه، در درس ریاضی با مفهوم رادیکال و فرجه آشنا می‌شوند. رادیکال، کاربرد گسترده‌ای در حل مسائل ریاضی دوره اول متوسطه، دوره دوم متوسطه و حتی دانشگاه دارد. از این‌رو، بسیاری از دانش‌آموزان و دانشجویان، به دنبال منبع جامعی هستند که این مفهوم را به خوبی به آن‌ها آموزش دهد. بهترین راه یادگیری یک موضوع، آشنایی اصولی با مفاهیم پایه آن و حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع است. فرادرس، با تکیه بر این رویکرد، فیلم‌های آموزشی مفیدی را در رابطه با دروس ریاضی پایه‌های هفتم، هشتم، نهم و دیگر پایه‌های دوره‌های اول و دوم متوسطه تهیه کرده است که می‌توانند شما را در یادگیری سریع و ساده مسائل رادیکال با فرجه‌های مختلف یاری کنند. لینک مشاهده این فیلم‌ها در ادامه آورده شده است:

فرمول محاسبه رادیکال با فرجه ۳ چیست؟

محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ ، فرمول خاصی ندارد و در اغلب موارد، طی فرآیند توضیح داده شده در در بخش قبل صورت می‌گیرد. با این وجود، بر اساس قوانین رادیکال، می‌توانیم از دو رابطه زیر برای دو حالت اصلی محاسبه رادیکال با فرجه سه استفاده کنیم:

$\sqrt [ ۳ ] { a } = a ^ { \frac { ۱ } { ۳ } }$

$\sqrt [ ۳ ] { a ^ ۳ b } = a \sqrt [ ۳ ]{ b }$

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

فرمول اول، برای اعداد مکعب کامل قابل استفاده است. فرمول دوم را می‌توان برای اعدادی که مکعب کامل نیستند به کار برد. نحوه استفاده از این فرمول‌ها را به حل دو مثال آموزش می‌دهیم.

مثال ۳: محاسبه رادیکال ۳۴۳ با فرجه ۳

حاصل عبارت

\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ }

را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

عدد $۳۴۳$ ، یک عدد مکعب کامل است. برای به دست آوردن رادیکال این عدد با فرجه سه، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt [ ۳ ] { a } = a ^ { \frac { ۱ } { ۳ } }$

$a$ : عدد زیر رادیکال برابر با $۳۴۳$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۳۴۳ ^ { \frac { ۱ } { ۳ } }$

$۳۴۳ = ۷ ^ ۳$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۷ ^ { ۳ ^ { \frac { ۱ } { ۳ } } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۷ ^ { { \frac { ۳ } { ۳ } } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۷ ^ ۱ = ۷$

در نتیجه، رادیکال $۳۴۳$ با فرجه $۳$ برابر با $۷$ است.

مثال ۴: ضرب عدد در رادیکال با فرجه سه

حاصل‌ضرب

۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }

را به صورت یک یک عدد رادیکالی با فرجه

۳

بنویسید.

مشاهده جواب

برای تبدیل $۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$ به یک عدد رادیکالی با فرجه $۳$ ، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt [ ۳ ] { a ^ ۳ b } = a \sqrt [ ۳ ]{ b }$

$a$ : عدد غیررادیکالی برابر با $۴$
$b$ : عدد زیر رادیکال برابر با $۲$

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$۴ \sqrt [ ۳ ]{ ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ ^ ۳ \times ۲ }$

$۴ ^ ۳ = ۶۴$

$۴ \sqrt [ ۳ ]{ ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۶۴ \times ۲ }$

$۴ \sqrt [ ۳ ]{ ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۲۸ }$

در نتیجه، حاصل‌ضرب $۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$ برابر با رادیکال $۱۲۸$ با فرجه $۳$ است. عکس این فرآیند را می‌توان برای محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ (در صورت مکعب کامل نبودن عدد زیر رادیکال) استفاده کرد.

عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳

هنگام مطالعه قوانین اعداد رادیکالی یا مبحث دامنه توابع رادیکالی، احتمالا با جمله‌ای برخورد می‌کنید که می‌گوید عدد زیر رادیکال نمی‌توان منفی باشد. این جمله، برای رادیکال با فرجه $۲$ و دیگر فرجه‌های زوج صادق است؛ زیرا اگر عددی را به توان زوج برسانیم، علامت آن مثبت می‌شود. بنابراین، هیچ عددی را نمی‌توان پیدا کرد که توان زوج آن، یک عدد منفی شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

این محدودیت، برای عدد منفی زیر رادیکال با فرجه $۳$ یا دیگر فرجه‌های فرد وجود ندارد؛ چراکه اگر عددی را به تعداد فرد در خودش ضرب کنیم، علامت آن تغییری نمی‌کند. به عنوان مثال، رادیکال منفی یک با فرجه ۳ را در نظر بگیرید:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱ }$

اگر عدد $- ۱$ ، زیر رادیکال با فرجه $۲$ یا دیگر فرجه‌های زوج قرار داشت، حاصل آن در فضای مجموعه اعداد حقیقی، «تعریف نشده» می‌بود. زیرا:

$( -۱ ) \times ( - ۱ ) = ۱$

$\sqrt { - ۱ } \ne ۱$

فرجه فرد ( $۳$ )، باعث موجه بودن علامت منفی در $\sqrt [ ۳ ] { - ۱ }$ می‌شود. چراکه:

$( -۱ ) \times ( - ۱ ) \times ( - ۱ ) = - ۱$

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱ } = - ۱$

برای به دست آوردن حاصل $\sqrt [ ۳ ] { - ۱ }$ ، علامت منفی را به پشت آن انتقال می‌دهیم و مسئله را به صورت عادی حل می‌کنیم:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱ } = - \sqrt [ ۳ ] { ۱ }$

حاصل عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۱ }$ برابر با $۱$ است. بنابراین، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱ } = - ۱$

برای آشنایی بیشتر و بهتر با روش حل مسائل حاوی عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳، به حل یک مثال دیگر می‌پردازیم.

مثال ۵: محاسبه رادیکال منفی ۱۲۵ با فرجه ۳

حاصل عبارت رادیکالی

\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ }

را محاسبه کنید.

مشاهده جواب

برای محاسبه $\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ }$ ، ابتدا علامت منفی را به پشت رادیکال انتقال می‌دهیم:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ } = - \sqrt [ ۳ ] { ۱۲۵ }$

در مرحله بعد، حاصل $\sqrt [ ۳ ] { ۱۲۵ }$ را به دست می‌آوریم. $۱۲۵$ ، مکعب کامل عدد $۵$ است؛ زیرا:

$۵ ^ ۳ = ۱۲۵$

در نتیجه، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ } = - ۵$

برای اطمینان از نتیجه بالا، عدد $- ۵$ را سه بار در خودش ضرب کنید:

$( - ۵ ) \times ( - ۵ ) \times ( - ۵ ) = ?$

$( - ۵ ) \times ( - ۵ ) = ۲۵$

$۲۵ \times ( - ۵ ) = - ۱۲۵$

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ } = - ۵ \ \ \ \checkmark$

محاسبه رادیکال با فرجه ۳ به توان ۲ و بالاتر

بر اساس قوانین رادیکال، داریم:

$\left ( \sqrt [ n ] { a } \right ) ^ { m } = \sqrt [ n ] { a ^ m }$

$\sqrt [ n ] { a ^ m } = a ^ { \frac { m } { n } }$

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به این قوانین می‌توان حاصل رادیکال با فرجه $۳$ به توان $۲$ و بالاتر را به دست بیاوریم. روند انجام این محاسبات را طی حل یک مثال آموزش می‌دهیم. به خاطر داشته باشید که اگر رادیکال با فرجه $۳$ به توان $۳$ برسد، رادیکال آن حذف می‌شود و تنها عدد زیر رادیکال باقی می‌ماند.

مثال ۶: محاسبه رادیکال ۴۰ با فرجه ۳ به توان ۲

حاصل عبارت

\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲

را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

عبارت $\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲$ ، توان دوم یک عبارت رادیکالی با فرجه سه را نمایش می‌دهد. برای محاسبه این عبارت، دو روش وجود دارد. روش اول، ساده‌سازی رادیکال و سپس به توان رساندن عبارت ساده شده است. بر اساس این روش داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ \times ۵ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \left ( ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۵ } \right ) ^ ۲$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۲ }$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$

روش دوم، به توان رساندن رادیکال و سپس ساده‌سازی آن است. این روش به صورت زیر انجام می‌شود:

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ ^ ۲ }$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۱۶۰۰ }$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۶۴ \times ۲۵ }$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۶۴ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$

مثال ۷: محاسبه رادیکال تو در تو با فرجه ۳ به توان ۲

حاصل عبارت

\left ( \sqrt [ ۳ ] { \sqrt { ۲۷ } } \right ) ^ ۲

را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

برای حل این مثال، از قوانین زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt [ n ] { a ^ m } = a ^ { \frac { m } { n } }$

$\left ( \sqrt [ n ] { a } \right ) ^ { m } = \sqrt [ n ] { a ^ m }$

ابتدا به سراغ $\sqrt { ۲۷ }$ می‌رویم. این عبارت، رادیکال عدد $۲۷$ با فرجه $۲$ را نمایش می‌دهد. عدد $۲۷$ ، مربع کامل نیست. بنابراین، به صورت عدد صحیح از رادیکال خارج نمی‌شود. با این وجود می‌توانیم آن را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$\sqrt { ۲۷ } = ۲۷ ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }$

به این ترتیب، داریم:

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } } \right ) ^ ۲$

اکنون، توان را به درون رادیکال می‌بریم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ ^ { { \frac { ۱ } { ۲ } } ^ ۲ } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ ^ { { \frac { ۲ } { ۲ } } } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$

در مثال‌های قبلی دیدیم که $\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$ برابر با $۳$ است. بنابراین:

$\left ( \sqrt [ ۳ ] { \sqrt { ۲۷ } } \right ) ^ ۲ = ۳$

ضرب و تقسیم رادیکال با فرجه ۳

ضرب و تقسیم رادیکال با فرجه $۳$ ، از قوانین کلی ضرب و تقسیم رادیکال‌ها پیروی می‌کند. برای ضرب دو عدد رادیکالی با فرجه سه داریم:

$\sqrt [ n ] { x } \cdot \sqrt [ n ] { y } = \sqrt [ n ] { x y }$

$a \sqrt [ n ] { x } \cdot b \sqrt [ n ] { y } = a b \sqrt [ n ] { x y }$

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

قوانین تقسیم دو عدد رادیکالی نیز به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$\frac { \sqrt [ n ] { x } } { \sqrt [ n ] { y } } = \sqrt [ n ] { \frac { x }{ y }}$

$\frac { a \sqrt [ n ] { x } } { b \sqrt [ n ] { y } } = \frac { a }{ b }\sqrt [ n ] { \frac { x }{ y }}$

یک دانش آموز نشسته پشت میز در حال فکر کردن - رادیکال با فرجه ۳

مثال ۸: محاسبه ضرب رادیکال با فرجه سه

حاصل ضرب

\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ }

در

\sqrt [ ۳ ] { ۶ }

را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن ضرب $\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ }$ در $\sqrt [ ۳ ] { ۶ }$ ، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt [ n ] { x } \cdot \sqrt [ n ] { y } = \sqrt [ n ] { x y }$

بر اساس این فرمول، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳۶ \times ۶ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = \sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۲ \times ۶ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = \sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۳ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = ۶$

در مطلب «روش جذر گرفتن سریع – به زبان ساده با مثال و تمرین»، روش‌ها و فرمول‌های محاسبه سریع مقدار تقریبی رادیکال با فرجه‌های مختلف را آموزش دادیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، شما را با نحوه جذر گرفتن سریع از رادیکال با فرجه سه آشنا می‌کنیم.

روش جذر گرفتن سریع برای حل رادیکال با فرجه ۳

اعداد زیر رادیکال در مسائل مربوط به محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ ، همیشه مکعب کامل نیستند. در این شرایط، خروجی رادیکال، یک عدد صحیح نخواهد شد. به همین دلیل، شما نیاز دارید فرم ساده شده یا مقدار تقریبی رادیکال را به دست بیاورید.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

روش‌های مختلفی برای به محاسبه مقدار تقریبی رادیکال با فرجه $۳$ و دیگر فرجه‌ها وجود دارد. یکی از متداول‌ترین و سریع‌ترین روش‌ها، استفاده از فرمول زیر است:

$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$

$n$ : فرجه رادیکال
$a ^ n$ : نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت $n$ مرتبه ضرب $a$ در خودش وجود داشته باشد.
$b$ : عدد زیر رادیکال منهای $a ^ n$

با حل یک مثال، نحوه استفاده از فرمول بالا را آموزش می‌دهیم.

مطلب پیشنهادی:

روش جذر گرفتن سریع – به زبان ساده با مثال و تمرین

شروع مطالعه

مثال ۹: محاسبه مقدار تقریبی رادیکال ۱۲۸ با فرجه ۳

مقدار تقریبی

\sqrt [ ۳ ] { ۱۲۸ }

را محاسبه کنید.

مشاهده جواب

برای محاسبه مقدار تقریبی $\sqrt [ ۳ ] { ۱۲۸ }$ ، ابتدا فرمول تقریب رادیکال را می‌نویسیم:

$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$

$n$ : فرجه رادیکال برابر با $۳$
$a ^ n$ : نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت $۳$ مرتبه ضرب $a$ در خودش وجود داشته باشد.
$b$ : اختلاف عدد زیر رادیکال با $a ^ ۳$

نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال $( ۱۲۸ )$ که بتوان آن را به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عددی مانند $a$ در خودش نمایش داد، عدد $۱۲۵$ است. این عدد، به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عدد $۵$ در خودش قابل نمایش است:

$۱۲۵ = ۵ \times ۵ \times ۵ = ۵ ^ ۳$

بنابراین:

$a ^ ۳ = ۱۲۵$

$a = ۵$

به این ترتیب، پارامتر $b$ ، اختلاف عدد زیر رادیکال $( ۱۲۸ )$ منهای $۱۲۵$ خواهد بود:

$b = ۱۲۸ - ۱۲۵ = ۳$

این مقادیر را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + \frac { ۳ } { ۳ \times ۵ ^ { ۳ - ۱ } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + \frac { ۱ } { ۵ ^ { ۲ } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + \frac { ۱ } { ۲۵ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + ۰/۰۴$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵/۰۴$

در نتیجه، مقدار تقریبی رادیکال $۱۲۸$ با فرجه $۳$ برابر با $۵/۰۴$ است. البته نتیجه این محاسبات، دقت بسیار بالایی دارد. برای درک میزان خطا، آن را با $۵/۰۳۹۶۸$ (مقدار به دست آمده از ماشین‌حساب) مقایسه کنید.

محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر از ۳

روند محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر از $۳$ ، تفاوت چندانی با محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ ندارد. به طور کلی، برای به دست آوردن جواب یک رادیکال، به فرجه آن نگاه می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

سپس، به دنبال عددی می‌گردیم که اگر آن را به توان فرجه برسانیم، عدد زیر رادیکال به دست آید. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۶ }$

این عبارت، یک عدد رادیکالی با فرجه $۴$ را نمایش می‌دهد. برای به دست آوردن جواب رادیکال، اجزای آن را مشخص می‌کنیم:

فرجه رادیکال: $۴$
عدد زیر رادیکال: $۱۶$

اکنون از خود می‌پرسیم؛ توان چهارم کدام عدد برابر با $۱۶$ می‌شود. پاسخ این سوال، عدد $۲$ است:

$۲ ^ ۴ = ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ = ۱۶$

بنابراین، داریم:

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۶ } = ۲$

این روند، برای حل رادیکال‌های دارای فرجه‌های دیگر و ساده‌سازی آن‌ها به صورت ضرب عدد در رادیکال نیز کاربرد دارد.

مثال ۱۰: محاسبه رادیکال با فرجه ۵

حاصل عدد رادیکالی

\sqrt [ ۵ ] { ۲۴۳ }

چند است؟

مشاهده جواب

برای به دست آوردن مقدار $\sqrt [ ۵ ] { ۲۴۳ }$ ، باید به دنبال عددی بگردیم که توان پنجم آن برابر با $۲۴۳$ شود. این عدد، $۳$ است.

$۳ ^ ۵ = ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ = ۲۴۳$

بنابراین:

$\sqrt [ ۵ ] { ۲۴۳ } = ۳$

در نتیجه، رادیکال $۲۴۳$ با فرجه $۵$ برابر با $۳$ است.

آزمون سنجش یادگیری محاسبه رادیکال با فرجه ۳

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث محاسبه رادیکال با فرجه سه را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، با زدن دکمه «دریافت نتایج آزمون»، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

حاصل عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۵۱۲ }$ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

۱۰

پاسخ تشریحی

عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۵۱۲ }$ ، یک عدد رادیکالی با فرجه $۳$ است. بنابراین، صورت سوال، ریشه سوم عدد $۵۱۲$ را از ما می‌خواهد. برای به دست آوردن ریشه سوم $۵۱۲$ ، به دنبال عددی می‌گردیم که توان سوم آن برابر با $۵۱۲$ می‌شود. عدد مورد نظر ما، $۸$ است.

$۸ \times ۸ \times ۸ = ۸ ^ ۳ = ۵۱۲$

کدامیک از گزینه‌های زیر، فرم ساده شده عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ }$ را نمایش می‌دهد؟

$۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۱۰ }$

$۱۰۰$

$۱۰۰ \sqrt [ ۳ ] {۱۰ }$

$۱۰$

پاسخ تشریحی

برای ساده‌سازی عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ }$ ، باید اعدادی که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با عدد زیر رادیکال می‌شود را پیدا کنیم:

$۱ \times ۱۰۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$

$۲ \times ۵۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$

$۴ \times ۲۵۰۰ = ۱۰۰۰۰$

$۵ \times ۲۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$

$۸ \times ۱۲۵۰ = ۱۰۰۰۰$

$۱۰ \times ۱۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$

با رسیدن به بزرگ‌ترین عدد مکعب کامل، جستجو را متوقف می‌کنیم. در آخرین ضرب بالا، عدد $۱۰۰۰$ ، یک مکعب کامل است. این عدد، از ضرب سه عدد $۱۰$ در یکدیگر به دست می‌آید:

$۱۰۰۰ = ۱۰ \times ۱۰ \times ۱۰ = ۱۰ ^ ۳$

به این ترتیب، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰ \times ۱۰ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ \times ۱۰ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۱۰ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = ۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۱۰ }$

حاصل عبارت $\sqrt [ ۳ ] { - ۱۹۲ }$ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$- ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۲۴ }$

$- ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$

گزینه‌های اول و دوم

جواب رادیکال، تعریف نشده است.

پاسخ تشریحی

عبارت $\sqrt [ ۳ ] { - ۱۹۲ }$ ، یک عدد منفی را زیر رادیکال با فرجه $۳$ نمایش می‌دهد. به دلیل فرد بودن فرجه، جواب رادیکال، تعریف شده خواهد بود. برای به دست آوردن این جواب، ابتدا علامت منفی را به پشت رادیکال انتقال می‌دهیم:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۹۲ } = - \sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ }$

اکنون، عدد $۱۹۲$ را به صورت ضرب اعداد صحیح می‌نویسیم:

$۱ \times ۱۹۲ = ۱۹۲$

$۲ \times ۹۶ = ۱۹۲$

$۳ \times ۶۴ = ۱۹۲$

$۴ \times ۴۸ = ۱۹۲$

$۶ \times ۳۲ = ۱۹۲$

$۸ \times ۲۴ = ۱۹۲$

$۱۲ \times ۱۶ = ۱۹۲$

از بین اعداد بالا، $۶۴$ و $۸$ ، مکعب کامل هستند. ضرب‌های حاوی این اعداد را در رادیکال جایگذاری می‌کنیم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ \times ۶۴ }$

$۶۴ = ۴ ^ ۳$

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۹۲ } = - ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ \times ۲۴ }$

$۸ = ۲ ^ ۳$

$\sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۲۴ }$

$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۹۲ } = - ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۲۴ }$

در نتیجه، گزینه سوم صحیح است.

کدامیک از گزینه‌های زیر، حاصل تقسیم $\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } }$ را نمایش می‌دهد؟

$۷ \sqrt [ ۳ ] { ۷ }$

$۴۹ \sqrt [ ۳ ] { ۷ }$

$۴۹$

$۷$

پاسخ تشریحی

بر اساس فرمول تقسیم دو رادیکال با فرجه برابر، داریم:

$\frac { \sqrt [ n ] { x } } { \sqrt [ n ] { y } } = \sqrt [ n ] { \frac { x }{ y }}$

بنابراین:

$\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = \sqrt [ ۳ ] { \frac { ۲۴۰۱ } { ۷ } }$

$\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = \sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ }$

$\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = \sqrt [ ۳ ] { ۷ ^ ۳ }$

$\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = ۷ ^ { \frac { ۳ } { ۳ } }$

$\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = ۷ ^ { ۱ }$

$\frac { \sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ \sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = ۷$

مقدار تقریبی $\sqrt [ ۳ ] { ۹۰۰ }$ ، به کدامیک از گزینه‌های زیر نزدیک‌تر است؟

$۱۰$

$۹/۵$

$۹$

$۸/۵$

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

حاصل عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۷۲۹ }$ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$۲۷$

$۹$

$۹ \sqrt { ۳ }$

$۹ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

فرم ساده شده $\sqrt [ ۳ ] { ۵۴ }$ ، در کدام گزینه آمده است؟

$۳ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$

$۲ \sqrt { ۳ }$

$۲ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$

$۳ \sqrt { ۲ }$

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

کدامیک از گزینه‌های زیر برابر با $\sqrt [ ۳ ] { - ۱۰۴ }$ است؟

$-۲۶$

$۲ \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ }$

$- ۱۳ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$

$۲ \sqrt [ ۳ ] { - ۱۳ }$

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

حاصل‌ضرب $\sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ }$ در $\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ }$ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$۳۶$

$۳۶ \sqrt [ ۳ ] { ۶ }$

$۶$

$۶ \sqrt [ ۳ ] { ۶ }$

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

مقدار تقریبی ریشه سوم عدد $۳۸$ به کدامیک از گزینه‌های زیر نزدیک‌تر است؟

$۳$

$۳/۵$

$۴$

$۴/۵$

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس، نحوه محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ توسط ماشین‌حساب را آموزش می‌دهیم.

محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در ماشین حساب مهندسی و ویندوز

ماشین‌حساب‌های مهندسی، کامپیوتری و آنلاین، امکان محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ را فراهم می‌کنند. در اغلب ماشین‌حساب‌های مهندسی، هر کلید دارای یک یا دو عملکرد اضافی است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

این عملکردها، معمولا پس از فشردن کلیدی با عنوان «SHIFT» یا «2nd» قابل استفاده خواهند بود. تصویر زیر، صفحه‌کلید یکی از متداول‌ترین ماشین‌حساب‌های مهندسی را نمایش می‌دهد.

کلیدهای محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در ماشین حساب مهندسی

دو دکمه مشخص شده در تصویر بالا، امکان محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ و بالاتر را فراهم می‌کنند. با فشردن دکمه SHIFT یا 2nd (در برخی دیگر از ماشین‌حساب‌ها)، امکان استفاده از عملکردهای مشخص شده فراهم می‌شود. به عنوان مثال، اگر دکمه SHIFT و سپس دکمه $x ^ 3$ را فشار دهیم، با وارد کردن عدد مورد نظر و فشردن دکمه «AC»، ریشه سوم عدد در صفحه‌نمایش ماشین‌حساب نشان داده می‌شود. فشردن دکمه $\hat {}$ پس از SHIFT، امکان محاسبه رادیکال با فرجه دلخواه را فراهم می‌کند.

محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در ماشین حساب ویندوز

به منظور محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ ، می‌توان از ماشین‌حساب ویندوز نیز استفاده کرد. به این منظور، پس از جستجوی عنوان «Calculator» در منوی «Start»، بر روی آیکون برنامه ماشین‌حساب ویندوز کلیک کنید. با انتخاب دکمه $«3 ^ { nd } »$ ، ابزار محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ به نمایش درمی‌آید.

برای مشاهده تصویر در ابعاد اصلی، بر روی آن کلیک کنید.

با وارد کردن عدد مورد نظر و کلیک بر روی گزینه $\sqrt [ 3 ] { \ \ \ }$ در ماشین‌حساب ویندوز، رادیکال عدد وارد شده با فرجه $۳$ محاسبه شده و به جواب آن در بخش بالایی ماشین‌حساب نشان داده می‌شود.

مطلب پیشنهادی:

قابلیت های کاربردی ماشین حساب ویندوز ۱۰ — راهنمای جامع + فیلم آموزشی

شروع مطالعه

محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در اکسل

«اکسل» (Excel)، یک برنامه کاربردی است که به منظور کار بر روی داده‌های عددی مورد استفاده قرار می‌گیرد. از کاربردهای گسترده این برنامه، می‌توان به فرمول‌نویسی و انجام عملیات‌های ریاضی اشاره کرد.

برای محاسبه رادیکال با فرجه $۳$ در اکسل، پس از انتخاب سلول مورد نظر، فرمول زیر را در نوار $« f _ x »$ بنویسید:

= x^(1/3)

به جای $x$ ، عددی دلخواه را قرار دهید. محاسبه رادیکال با فرجه سه در ماشین‌حساب‌های آنلاین، مشابه ماشین‌حساب ویندوز یا اکسل انجام می‌شود. در این ماشین‌حساب‌ها، قابلیت‌های فرمول‌نویسی و دکمه‌های مشابه‌ای برای تعیین رادیکال با فرجه‌های مختلف وجود دارند.

مطلب پیشنهادی:

فرمول رادیکال در اکسل — از صفر تا صد

شروع مطالعه

محصول، خدمات یا برند خود را در مجله فرادرس معرفی کنید.

کلیک کنید

بر اساس رای ۵ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

ثبت نظر

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.