ضرب رادیکال – به زبان ساده

ضرب رادیکال

همانطور که می‌دانید، اگر $$x$$ مقداری باشد که توان یا مربع آن برابر با $$y$$ باشد، آنگاه می‌توانیم برای پیدا کردن $$x$$ از $$y$$ ریشه یا رادیکال بگیریم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده.

$$\large x^2 = y \rightarrow \sqrt{y} = x$$

البته این موضوع را برای توان‌های دیگری از $$x$$ نیز می‌توان به کار برد و مفهوم رادیکال را تعمیم داد. به این ترتیب اگر $$y$$ به صورت توان $$n$$ام از $$x$$ نوشته شده باشد، آنگاه ریشه $$n$$ام $$y$$ برابر است با $$x$$. به بیان ریاضی این گزاره به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

$$\large x^n = y \rightarrow \sqrt[n]{y} = x$$

از نظر تکنیکی می‌توان ریشه یا رادیکال یک عدد را به صورت یک عبارت توانی نیز نشان داد. برای مثال ریشه دوم یک عدد مثل $$a$$، قابل نمایش به صورت زیر است.

$$\large \sqrt{a} = a^{1/2}$$

همانطور که مشاهده می‌کنید، ریشه دوم به صورت توان ۱/۲ نشان داده شده. همین کار را برای ریشه $$n$$ام نیز می‌توانیم به کار ببریم. به رابطه زیر دقت کنید.

$$\large \sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

رابطه ۱

در نظر گرفتن عبارت‌های رادیکالی به صورت نمایی، این قدرت را به ما می‌دهد که بتوانیم کلیه محاسباتی که برای عبارت‌های توانی به کار می‌بریم، برای عبارت‌های رادیکالی نیز مورد استفاده قرار دهیم. البته باید به یاد داشته باشید که در عبارت‌های رادیکالی با فرجه زوج باید همیشه مقدار زیر رادیکال مثبت باشد، ریشه‌های زوج برای مقادیر منفی تعریف نشده است. زیرا از ضرب دو عدد یکسان، هرگز عدد منفی بوجود نمی‌آید.

ضرب رادیکال ها با فرجه های برابر

فرض کنید که دو عبارت رادیکالی، به صورت $$\sqrt{x}$$ و $$\sqrt{y}$$ داشته باشیم. واضح است که هر دو رادیکال دارای فرجه (فرجه ۲) یکسان هستند. به این ترتیب حاصل‌ضرب به صورت زیر خواهد بود.

$$\large \sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$$

رابطه ۲

برای مثال در نظر بگیرد که باید $$\sqrt{2}$$ را در $$\sqrt{3}$$ ضرب کنیم. به این ترتیب طبق رابطه بالا خواهیم داشت.

$$\large \sqrt{2} \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$$

از طرفی برای ساده‌سازی می‌توان عمل عکس را به صورتی انجام داد که رادیکال ضرب را به صورت تفکیکی با ضرب دو رادیکال نوشت. به مثال زیر در این زمینه توجه کنید.

$$\large \sqrt{144} = \sqrt{ 9 \times 16} = \sqrt{9 } \times \sqrt{16} = 3 \times 4 = 12$$

همانطور که می‌بینید، ۱۴۴ را به صورت ضرب دو عامل مربعی درآورده‌ایم. هم ۹ و هم ۱۶ مربع کامل هستند. بنابراین با توجه به عمل عکس رابطه 2، مقدار $$\sqrt{144}$$ را بدست آوردیم. به عنوان یک مثال دیگر به رابطه‌ای تمرکز می‌کنیم که در آن فرجه رادیکال‌ها مقداری برابر ولی غیر از ۲ است.

دو رادیکال $$\sqrt[3]{4}$$ و $$\sqrt[3]{2}$$ را در نظر بگیرید. از آنجا که هر دو فرجه برابر با ۳ هستند، باز هم می‌توانیم هر دو رادیکال را مطابق با رابطه 2 در هم ضرب کنیم.

$$\large \sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \times 2} = \sqrt[3]{8} = 2$$

به طوری کلی قاعده‌ای که در رابطه 2 معرفی شد را برای رادیکال با فرجه $$n$$ به شکل زیر خواهیم نوشت.

$$\large \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$$

رابطه ۳

توجه داشته باشید که در رابطه ۳، علامت $$\cdot$$ به معنی ضرب دو عبارت زیر رادیکال است. مشخص است که از رابطه ۳ می‌توان در دو جهت استفاده کرد. از یک طرف، تساوی را از راست به چپ نتیجه گرفت و از طرف دیگر معادله را از چپ به راست به کار برد. معمولا زمانی که لازم است عبارت زیر رادیکال را ساده کنیم، از چپ به راست، رابطه 3 را به کار می‌بریم.

ضرب رادیکال ها با فرجه های متفاوت

فرض کنید که قرار است دو رادیکال $$\sqrt[3]{2}$$ را در $$\sqrt[4]{2}$$ ضرب کنیم. ابتدا آن‌ها به صورت توان‌دار نوشته، سپس عمل ضرب را انجام می‌دهیم.

$$\large \sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{3} = 2^{1/3} \times 2^{1/4} = 2^{1/3 + 1/4} = 2^{7/12} = \sqrt[12\;]{2^7}$$

فیلم آموزش ریاضی پایه دهم در فرادرس

کلیک کنید

همانطور که می‌بینید در گام آخر، دوباره عبارت نمایی را به صورت رادیکالی درآورده‌ایم. مشخص است که این کار زمانی امکان‌پذیر است که مقادیر زیر رادیکال یکسان باشند. در نتیجه، ضرب دو رادیکال فقط در دو حالت قابل اجرا و ساده‌ شدن است.

• اگر فرجه رادیکال‌ها در ضرب، یکسان باشد از رابطه ۳ کمک خواهیم گرفت.
• اگر مقدار زیر رادیکال‌ها در ضرب، یکسان باشند از رابطه ۴ استفاده خواهیم کرد.

$$\large \sqrt[n ]{x} \times \sqrt[m ]{x} = x^{( 1/n )+( 1/m)} = x^{\frac{ m +n }{ n \times m }} = \sqrt[ n \times m\;\;]{x^{( n +m)}}$$

رابطه ۴

برای مثال ضرب دو رادیکال زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \sqrt[ 3 ]{ 5} \times \sqrt[ 4 ]{ 5} = \sqrt[3 \times 4\; ]{5^{ 3 + 4}} =\sqrt[12\;]{ 5^ 7}$$

از این کار برای ساده‌سازی عبارت‌های جبری نیز می‌توان استفاده کرد.

$$\large \sqrt[ 3]{ x} \times \sqrt[4]{x} = \sqrt[12\; ]{x^{3+4}} =\sqrt[12\;]{ x^7}$$

واضح است که به علت یکسان بودن جملات زیر رادیکال، این عمل امکان‌پذیر خواهد بود.

تقسیم رادیکال

برای مثال فرض کنید که قرار است $$\sqrt{x}$$ را به $$\sqrt{y}$$ تقسیم کنیم. در این حالت به علت اینکه فرجه هر دو رادیکال یکسان است (فرجه‌ها ۲ هستند)، از قاعده تبدیل تقسیم دو عبارت رادیکالی به رادیکال تقسیم استفاده کرده و رابطه تقسیم را به صورت زیر می‌نویسیم.

$$\large \dfrac{\sqrt{ x}}{ \sqrt{ y}} = \sqrt{ \dfrac{x }{ y}}$$

برای مثال، رابطه زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \dfrac{\sqrt{ 15}}{ \sqrt{ 3}} = \sqrt{ \dfrac{15 }{ 3}} =\sqrt{ 5}$$

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

این بار فرجه‌ها را نامساوی در نظر می‌گیریم.

$$\large \dfrac{ \sqrt[ n]{ x}}{ \sqrt[ m]{ x}} = \dfrac{ x^{ 1/n}}{ x^{ 1/m}} = x^{ 1/n-1/m}$$

به عنوان یک مثال به رابطه زیر توجه کنید.

$$\large \dfrac{\sqrt[3\;]{ 15}}{ \sqrt[4\;]{ 15}} = \sqrt[12\;]{ 15}$$

در مثال بعد، از آنجا که توان ۱۵ در زیر رادیکال یک واحد بیشتر از فرجه رادیکال است، $$15^3$$ از داخل رادیکال با فرجه ۳، خارج شده و به شکل ۱۵ درآمده است تا عبارت مربوطه، خواناتر و ساده‌تر باشد.

$$\large \sqrt[3\;]{15^4} = \sqrt[3\;]{15^3 \times 15} = 15 \sqrt[3\;]{15}$$

خلاصه و جمع‌بندی