دامنه و برد توابع جبری و گویا — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با تعریف دامنه و برد تابع آشنا شدیم. در این آموزش، روش محاسبه دامنه و برد توابع جبری و گویا را بیان می‌کنیم.

تعریف دامنه تابع

دامنه تابعی مانند $$f$$ که به صورت عبارتی برحسب متغیر $$x$$ تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر $$x$$ که به ازای آن‌ها مقدار تابع حقیقی است.

تعریف برد تابع

برد تابع $$f$$ برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر $$x$$ برای تابع حاصل می‌شود.

تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا

برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و... دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا مثال‌هایی را ارائه خواهیم کرد.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

دامنه و برد تعدادی از توابع جبری و گویا به شرح زیر است:

مثال های تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا

در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه تابع $$f ( x ) = \sqrt { ( 1 - x ) / ( x + 3 ) }$$ را بدست آورید.

حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید بازه‌ای را پیدا کنیم که در آن، عبارت زیر رادیکال مثبت باشد. بنابراین، صورت و مخرج هردو باید یا مثبت یا منفی باشند. در این صورت، دو شرط خواهیم داشت (در هر دو مورد $$x+3$$ در مخرج باید مخالف صفر باشد، یعنی $$x≠-3$$):

• $$1-x\ge0$$ و $$x+3>0$$. یعنی:

$$x\le 1 , x>-3\Rightarrow x\in ( - 3, 1]$$

• $$1-x\le0$$ و $$x+3<0$$. یعنی:

$$x\ge1 , x<-3$$

که در مورد دوم اشتراکی وجود ندارد.

از این رو، دامنه تابع $$( - 3, 1]$$ خواهد بود.

مثال دوم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه تابع $$f ( x ) = \frac {1}{ ( x ^ 3 + x ^ 2 - 2 x ) }$$ را تعیین کنید.
حل: همانطور که می دانید، اگر مخرج یک تابع کسری صفر شود، مقدار تابع بینهایت (تعریف نشده) خواهد بود. بنابراین، باید $$x ^ 3 + x ^ 2 - 2 x \neq 0$$ باشد. برای تعیین دامنه، ابتدا باید $$x$$هایی که مخرج را صفر می‌کنند، به دست آوریم:

$$\large x ^ 3 + x ^ 2 - 2 x = 0 , \\ \large x ( x ^ 2 + x - 2 ) = 0 , \\ \large x ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0 .$$

در نتیجه

$$\large x=0, \; x=1,\; x = - 2$$

بنابراین، دامنه تابع برابر است با

$$\large ( - ∞ , - 2 ) \cup ( - 2 , 0 ) \cup ( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + ∞ )$$

مثال سوم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$f ( x ) = \sqrt { x ^ 2 + 4 x + 4 } - 6$$ را بیابید.

حل: عبارت زیر رادیکال، یک اتحاد مربع به صورت $$x ^ 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) ^ 2$$ است. بنابراین، داریم:

$$\large \sqrt {x ^ 2 + 4 x + 4 } - 6 = \sqrt { ( x + 2 ) ^ 2 } - 6 = | x + 2 | - 6$$

از آنجا که برد تابع $$|x+2|$$، بازه $$(-\infty,+\infty)$$ است، برد تابع $$f(x)$$ نیز برابر با $$(-\infty,+\infty)$$ یا همان مجموعه اعداد حقیقی ($$\mathbb {R}$$) خواهد بود.

مثال چهارم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$f ( x ) = \frac {1} { x ^ 2 + 4 }$$ را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌دانید $$x ^ 2 \ge 0$$ است. اگر عدد $$4$$ را به طرفین نامعادله اضافه کنیم، داریم:

$$\large x ^ 2 + 4 \ge 4$$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large \frac { 1 } { x ^ 2 + 4 } \le \frac 1 4 \\ \large f ( x ) \le \frac 1 4$$

توجه داشته باشید که $$\frac {1} { x ^ 2 + 4 }$$ همواره یک عبارت مثبت است و هیچ‌گاه صفر نمی‌شود، اما هنگامی که $$x$$ افزایش می‌یابد، ممکن است خیلی به صفر نزدیک باشد. بنابراین، برد این تابع برابر با $$(0, \frac 14 ]$$ خواهد بود.

مثال پنجم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$f ( x ) = \frac {x-1} {x+2}$$ را تعیین کنید.

حل: روش جبری به دست آوردن برد این تابع گویا با مثال‌های قبلی متفاوت است. برای یافتن برد این تابع ابتدا باید معکوس آن را به دست آوریم و سپس، دامنه تابع معکوس را تعیین کنیم. زیرا همان‌طور که در مبحث تابع معکوس بیان شد، دامنه تابع معکوس برابر با برد تابع اصلی است.

از آنجا که $$f(x)$$ تابعی یک به یک است، معکوس‌پذیر نیز هست.

$$\large y = \frac {x-1} {x+2}$$

تساوی بالا را برحسب $$y$$ به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\large x = \frac {y-1} {y+2}$$

با توجه به رابطه فوق، تابع معکوس را می‌توان به شکل زیر نوشت:

$$\large f ^ { - 1 } ( x ) = y = \frac { 2 x + 1 }{ 1 - x }$$

بنابراین، دامنه $$f^{-1}$$ و در نتیجه برد تابع $$f$$ برابر با $$( - ∞ , 1 ) \cup ( 1 , + ∞ )$$ است.

مثال ششم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$f ( x ) = \frac { 2 x ^ 2 - 1 } { x + 1 }$$ را به دست آورید.

حل: مانند مثال قبل، ابتدا تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large y = \frac { 2 x ^ 2 - 1 } { x + 1 } \Rightarrow 2 x ^ 2 - y x - y - 1 = 0$$

جواب این معادله به صورت زیر است:

$$\large x _ { 1 , 2 } = \frac { y ± \sqrt {y^2+8y+8} } {2}$$

جواب‌های فوق در صورتی حقیقی هستند که عبارت زیر رادیکال منفی نباشد. بنابراین، باید نامعادله زیر را حل کنیم:

$$\large y ^ 2 + 8 y + 8≥ 0 , \\ \large ( y + 4 ) ^ 2 ≥ 8 \\ \large y ≥ 2 \sqrt 2-4, \; y≤-4-2\sqrt 2$$

در نتیجه، برد تابع برابر است با $$(-∞, -4-2\sqrt 2] \cup [2\sqrt2-4, +∞)$$.

مثال هفتم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$f ( x ) = - \frac 14 | - 4x + 5 | + \frac 1 2$$ را بیابید.

حل: همان‌طور که می‌دانید، خروجی تابع قدر مطلق همواره مقداری مثبت است. بنابراین، واضح است که $$| - 4 x + 5 | \ge 0$$. با ضرب $$-\frac 14$$ در طرفین نامعادله داریم:

$$\large -\frac 14 |-4x+5|≤0$$

حال $$\frac 12$$ را به طرفین این نامعادله اضافه می‌کنیم:

$$\large -\frac 14 | - 4 x + 5 | + \frac 1 2 ≤ \frac 1 2$$

واضح است که برد تابع در محدوده $$( - ∞ ,\frac 12 ]$$ قرار می‌گیرد.

مثال هشتم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع $$f ( x ) = \sqrt {x^2-4x+8}$$ را به دست آورید.

حل: دامنه این تابع، برابر با مجموعه‌ای از مقادیر $$x$$ است که در رابطه زیر صدق کنند:

$$\large x ^ 2 - 4 x + 8 ≥ 0$$

مقدار دلتای این عبارت برابر با $$( - 4) ^ 2 + 4 ( 1 ) ( 8 ) = - 16$$ است. از آنجا که مقدار دلتا منفی است، عبارت زیر رادیکال به ازای تمام مقادیر $$x$$ یا مثبت است یا منفی. در اینجا عبارت زیر رادیکال همواره مثبت است، زیرا اگر به عنوان مثال $$x=0$$ را در $$x ^ 2 - 4 x + 8$$ جایگذاری کنیم، حاصل آن مقداری مثبت خواهد بود. بنابراین، دامنه این تابع، مجموعه‌ای از تمام اعداد حقیقی است.

برای تعیین برد تابع، می‌توانیم $$x ^ 2 - 4 x + 8$$ را به صورت $$( x - 2 ) ^ 2 + 4$$ بازنویسی کنیم. نمودار $$( x - 2 ) ^ 2 + 4$$ یک سهمی با یک مینیمم در نقطه $$( 2 , 4 )$$ است. از این رو، برد $$x ^ 2 - 4 x + 8$$ برابر با $$[ 4, + ∞ )$$ و برد تابع $$f(x)$$ برابر با $$[\sqrt 4,\sqrt {+∞})=[2,+∞)$$ خواهد بود.

مثال نهم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع $$f ( x ) = \sqrt { 1 6 - x ^ 2 }$$ را تعیین کنید.

حل: عبارت زیر یک رادیکال با فرجه زوج باید صفر یا مثبت باشد:

$$\large 16-x^2≥0$$

در نتیجه، داریم:

$$\large x ^ 2 ≤ 1 6 , \\ \large x ≥ - 4, \; x ≤ 4$$

بنابراین، دامنه تابع بازه بسته $$[-4,4]$$ است. همان‌طور که در نمودار زیر مشاهده می‌کنید، تابع $$1 6 - x ^ 2$$ یک سهمی با یک ماکزیمم در نقطه $$(0,16)$$ است. بنابراین، برد آن $$[0,16]$$ و در نتیجه برد تابع $$f(x)$$ بازه $$[ \sqrt 0 , \sqrt { 1 6 } ] = [ 0 , 4 ]$$ خواهد بود.

مثال دهم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع $$f ( x ) = \sqrt { x ^ 2 - 2 5 }$$ را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که تابع یک تابع رادیکالی با فرجه زوج است، داریم:

$$\large x ^ 2- 2 5 ≥ 0 , \\ \large x ^ 2 ≥ 2 5 \\ \large x ≥ 5, \; x ≤ - 5$$

به ازای مجموعه مقادیر $$x$$ در بازه $$(-∞ , -5] \cup [5, +∞)$$، برد تابع $$x^2-25$$ و $$f(x)$$، بازه $$[0, +∞)$$ است.