قضیه کیلی همیلتون — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

گاهی در محاسبات لازم است توابعی از ماتریس‌ها را محاسبه کنیم. اما انجام این کار به صورت مستقیم، دشوار و مستلزم محاسبات فراوانی است. در این موارد، قضیه «کیلی همیلتون» (Cayley-Hamilton Theorem) محاسبات را ساده‌تر خواهد کرد. به بیان ساده، قضیه کیلی همیلتون بیان می‌کند که هر ماتریس مربعی در معادله مشخصه خود صدق می‌کند. از این ویژگی می‌توان استفاده‌های فراوانی کرد. در این آموزش، قضیه کیلی-همیلتون را بیان کرده و چند مثال مربوط به آن را بررسی می‌کنیم.

قضیه کیلی همیلتون

اگر چندجمله‌ای $$p ( \lambda)$$، چندجمله‌ای مشخصه ماتریس $$A$$ با ابعاد $$n \times n$$ باشد، آن‌گاه ماتریس $$p ( A )$$ یک ماتریس صفر $$n \times n$$ خواهد بود. به عبارت دیگر، ماتریس $$A$$ در معادله مشخصه‌اش صدق می‌کند.

فیلم آموزش ماتریس ها و جبر خطی – حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

اثبات قضیه کیلی همیلتون

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$n \times n$$ باشد. همچنین فرض کنید $$A_{i,j}$$ دترمینان ماتریسی باشد که از حذف سطر $$i$$اُم و ستون $$j$$اُم $$A$$ به دست آمده است. ماتریس الحاقی در رابطه زیر صدق می‌کند:

$$ \large A A _ { \mbox {adj} } = A _ { \mbox {adj} } A = \mbox {det} ( A ) I , $$

فیلم آموزش جبر خطی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، دترمینان ماتریس $$A$$ و $$I$$ ماتریس همانی است.

رابطه زیر نیز برقرار است:

$$ \large ( A - \lambda I ) ( A - \lambda I ) _ { \mbox{adj} } = ( A - \lambda I ) _ { \mbox {adj} } ( A - \lambda I ) =<br /> \mbox {det} ( A - \lambda I ) I $$

ماتریس از عامل $$A-\lambda I$$ تشکیل شده و همان‌طور که می‌دانیم، هر یک از درایه‌های ماتریس $$A-\lambda I$$، یک چندجمله‌ای از $$\lambda$$ با درجاتی از $$0$$ تا $$n-1$$ است. می‌توان نوشت:

$$ \large ( A - \lambda I ) _ { \mbox {adj} } = Q _ { 0 } + \lambda Q _ { 1 } + \cdots + \lambda ^ { n - 1 } Q _ { n - 1 } , $$

که در آن، $$Q_{j}$$ ماتریس‌های $$n \times n$$ هستند. بنابراین، داریم:

$$\large ( Q _ { 0 } + Q _ { 1 } \lambda + \cdots + Q _ { n - 1 } \lambda ^ { n - 1 } ) ( A - \lambda I ) = p ( \lambda ) I ,$$

که در آن، چندجمله‌ای مشخصه $$A$$ است:

$$\large p ( \lambda ) =  \alpha _ 0 + \alpha _ 1 \lambda + \cdots + \alpha _ { n - 1 } \lambda ^ { n - 1 } + \lambda ^ n$$

با برابر قرار دادن ضرایب $$\lambda$$ و ضرب معادلات در $$I$$، $$A$$، $$\cdots$$ و $$A^n$$ داریم:

$$\large \begin{matrix} - A Q _ 0 = \alpha _ 0 I & \rightarrow I \times \rightarrow & - AQ_0=\alpha _0 I \\ Q _0  -AQ _ 1 = \alpha _ 1 I & \rightarrow A \times \rightarrow & A Q _ 0 - A ^ 2 Q _ 1 = \alpha _ 1 A \\ Q _1  -AQ _ 2 = \alpha _ 2 I & \rightarrow A ^ 2 \times \rightarrow & A^ 2 Q _ 1 - A ^ 3 Q _ 2 = \alpha _ 2 A \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ Q _ { n -2 }  - A Q _ {n -1 } = \alpha _ {n-1 } I & \rightarrow A ^ {n-1} \times \rightarrow & A ^ { n -1 } Q _ { n-2} - A ^ n Q _ {n-1} = \alpha _ { n-1} A ^ {n-1} \\ Q _ { n -1 } = I & \rightarrow A ^ {n} \times \rightarrow & A ^ { n } Q _ { n-1} = A ^ {n} \end {matrix}$$

حال معادلات سمت راست را با یکدیگر جمع می‌کنیم و در نهایت، داریم:

$$\large O = \alpha _ 0 I + \alpha _ 1 A + \cdots + \alpha _ { n -1 } A ^ { n-1} + A ^n$$

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را از کاربرد قضیه کیلی-همیلتون بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش محاسبات عددی با متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

ماتریس $$A$$ را به صورت زیر در نظر بگیرید:

$$\large A = \begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end {bmatrix}$$

چندجمله‌ای مشخصه $$p ( t)$$ ماتریس $$A$$ به صورت زیر به دست می‌آید:‌

$$\large \begin {align*} p ( t ) & = \det ( A - t I ) = \begin {bmatrix} 1 - t & 1 \\ 1 & 3 - t \end {bmatrix} \\ & = t ^ 2 - 4 t + 2 . \end {align*}$$

طبق قضیه کیلی-همیلتون، ماتریس $$p ( A ) = A ^ 2 - 4 A + 2 I$$ یک ماتریس صفر $$2 \times 2$$ است:

$$\large \begin {align*} p ( A ) & = A ^ 2 - 4 A + 2 I = \begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end {bmatrix} - 4 \begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1& 3 \end {bmatrix} + 2 \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \\[6pt] & = \begin {bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} - 4 & - 4 \\ - 4 & - 1 2 \end {bmatrix} +\begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {bmatrix}. \end {align*}$$

مثال ۲

ماتریس زیر را در نظر بگیرید.

$$\large T = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end {bmatrix}$$

عبارت $$-T^3+4T^2+5T-2I$$ را محاسبه و ساده کنید ($$I$$ ماتریس همانی $$3 \times 3$$ است).

حل: از قضیه کیلی-همیلتون استفاده می‌کنیم. برای به دست آوردن چندجمله‌ای مشخصه $$T$$، از خاصیت بالامثلثی آن استفاده می‌کنیم. ماتریس $$T - t I$$ نیز یک ماتریس بالامثلثی است. همان‌طور که می‌دانیم، دترمینان یک ماتریس بالامثلثی برابر با حاصل‌ضرب درایه‌های قطری آن است. بنابراین، چندجمله‌ای مشخصه $$p_T(t)$$ ماتریس $$T$$ برابر است با:

$$\large p _ T ( t ) = \det ( T - t I ) = ( 1 - t ) ( 1 - t ) ( 2 - t ) = - t ^ 3 + 4 t ^ 2 - 5 t + 2 .$$

با توجه به قضیه کیلی-همیلتون، داریم:

$$\large p _ T ( T ) = - T ^ 3 + 4 T ^ 2 -5 T + 2 I = O .$$

که در آن، $$O$$ ماتریس صفر $$3 \times 3$$ است.

حاصل عبارت فوق، برابر است با:

$$\large \begin {align*} - T ^ 3 + 4 T ^ 2 + 5 T - 2 I & = ( - T ^ 3 + 4 T ^ 2 - 5 T + 2 I ) + ( 1 0 T - 4 I ) \\ & = p _ T ( T ) + 1 0 T - 4 I = 1 0 T - 4 I \\[6pt] & = \begin {bmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 0 &10 &10 \\ 0 & 0 & 20 \end {bmatrix} – \begin {bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end {bmatrix} \\[6pt] & = \begin {bmatrix} 6 & 0 & 20 \\ 0 & 6 &10 \\ 0 & 0 & 16 \end {bmatrix} . \end {align*}$$

بنابراین، پاسخ این مثال برابر است با:

$$\large - T ^ 3 + 4 T ^ 2 + 5 T - 2 I = \begin {bmatrix} 6 & 0 & 20 \\ 0 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 16 \end {bmatrix} .$$

مثال ۳

با استفاده از قضیه کیلی-همیلتون معمکوس ماتریس زیر را محاسبه کنید.

$$\large A = \begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 9 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 3 \end {bmatrix}$$