چندجمله ای های متعامد – از صفر تا صد

چندجمله‌ای‌های متعامد (Orthogonal Polynomials) دنباله‌ای نامتناهی از چندجمله‌ای‌های عمود بر هم هستند. در این آموزش با چندجمله ای های متعامد آشنا می‌شویم.

چندجمله‌ ای‌ های متعامد

چندجمله‌‌ای‌‌های $$p(x)$$ و $$q(x)$$ که روی بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ تعریف شده‌‌اند، متعامد هستند، هرگاه

$$\large { \int \limits _ a ^ b { p \left ( x \right ) q \left ( x \right ) w \left ( x \right ) d x } } = { 0 , }$$

که در آن، $${w\left( x \right)}$$ تابع وزن غیرمنفی است.

دنباله چندجمله‌‌ای $${p_n}\left( x \right)$$ ($$n = 0,1,2, \ldots$$) که در آن $$n$$ مرتبه $${p_n}\left( x \right)$$ است را دنباله‌‌ای از چندجمله‌‌ای‌‌های متعامد می‌‌گویند، هرگاه:

$$\large { \int \limits _ a ^ b { { p _ m } \left ( x \right ){ p _ n } \left ( x \right ) w \left ( x \right ) d x } } = { { c _ n } { \delta _ { m n } } , }$$

که در آن، $$c_n$$ ثابت‌‌های تعیین شده و $${\delta _{mn}}$$ دلتای کرونکر است.

سری فوریه تعمیم‌ یافته

سری فوریه تعمیم‌ یافته، بسط سری یک تابع بر اساس دستگاهی از چندجمله‌‌ای‌‌های متعامد است. با استفاده از این تعامد، تابع تکه‌‌ای پیوسته $$f(x)$$ می‌‌تواند به صورت بسط سری فوریه تعمیم‌ یافته بیان شود:

$$\large { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } { p _ n } \left ( x \right ) } \text { = }} \kern0pt { \begin {cases} f \left ( x \right ) , \; \text {if}\, f \left ( x \right ) \,\text {is continuous} \\ \frac { { f \left ( { x – 0 } \right ) + f \left ( { x + 0 } \right ) } } { 2 } , \; \text {at a jump discontinuity} \end {cases}}$$

در ادامه به بررسی چهار نوع از چندجمله‌‌ای‌‌های متعامد شامل چندجمله‌‌های هرمیت، لاگر، لژاندر و چبیشف می‌‌پردازیم.

چند جمله‌‌ای‌‌های هرمیت

چندجمله‌‌ای‌‌های هرمیت $${H_n}\left( x \right) ={\left( { – 1} \right)^n}{e^{{x^2}}}{\large\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\normalsize} {e^{ – {x^2}}}$$ روی بازه $$\left( { – \infty ,\infty } \right)$$ نسبت به تابع وزن $${e^{ – {x^2}}}$$ متعامد هستند:

$$\large { \int \limits _ { – \infty } ^ \infty { { e ^ { – { x ^ 2 } } } { H _ m } \left ( x \right ) { H _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ { 2 ^ n } n ! \sqrt \pi , & m = n \end {cases} . }$$

چند جمله‌‌ای‌‌های لاگر

این نوع چندجمله‌‌ای‌‌ها که به صورت $${L_n}\left( x \right) ={\large\frac{{{e^x}}}{{n!}}\normalsize} {\large\frac{{{d^n}\left( {{x^n}{e^{ – x}}} \right)}}{{d{x^n}}}\normalsize}, n = 0,1,2,3, \ldots$$ تعریف می‌‌شوند، روی بازه $$\left( {0,\infty } \right)$$ با تابع وزن $${{e^{ – x}}}$$ متعامدند:

$$\large { \int \limits _ 0 ^ \infty { { e ^ { – x } } { L _ m } \left ( x \right ) { L _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ 1 , & m = n \end {cases}.}$$

چند جمله‌‌ای‌‌های لژاندر

چندجمله‌‌ای‌‌های لژاندر $${P_n}\left( x \right) ={\large\frac{1}{{{{2^n}n!}}\normalsize} {\large\frac{{{d^n}{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^n}}} {d{x^n}}}\normalsize},n = 0,1,2,3, \ldots$$ روی بازه $$\left[ {-1,1} \right]$$ متعامد هستند:

$$\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { { P _ m } \left ( x \right ){ P _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ \frac { 2 } { { 2 n + 1 } } , & m = n \end {cases} . }$$

چند جمله‌‌ای‌‌های چبیشف

چندجمله‌‌ای‌‌های چبیشف نوع اول $${T_n}\left( x \right)= \cos \left( {n\arccos x} \right)$$ روی بازه $$\left[ {-1,1} \right]$$ با تابع وزن $${\large\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\normalsize}$$ متعامد هستند:

$$\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { T _ m } \left ( x \right ) { T _ n } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ \pi , & m = n = 0 \\ \frac { \pi } { 2 } , & m = n \ne 0 \end {cases}.}\\$$

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌هایی را درباره چندجمله‌ای‌های متعامد ارائه می‌کنیم.

مثال ۱

نشان دهید که مجموعه توابع زیر روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ متعامدند.

$$\large { { I _ 1 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \sin n x d x } , \; \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { { I _ 2 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \cos m x \cos n x d x } , \; \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { { I _ 3 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \cos n x d x } . }$$

حل: ابتدا باید انتگرال‌‌های زیر را تعیین کنیم:

$$\large { { I _ 1 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \sin n x d x } } = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \Big [ { \cos \left ( { m x – n x } \right ) } } } } - { { { { \cos \left ( { m x + n x } \right ) } \Big] d x } } } \\ \large = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \Big[ { \cos \left ( { m – n } \right ) x } } } } - { { { { \cos \left ( { m + n } \right ) x } \Big] d x } } } = { \frac { 1 } { 2 } \Big[ { \left . { \Big ( { \frac { { \sin \left ( { m – n } \right ) x } } { { m – n } } } } \right . } - { \left . { { \frac { { \sin \left ( { m + n } \right ) x } } { { m + n } } } \Big ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } \Big ] }$$

انتگرال اول برابر است با:

$$\large { { I _ 1 } \text { = }} \kern0pt { \frac { { \sin \left ( { m – n } \right ) \pi } } { { m – n } } – \frac { { \sin \left ( { m + n } \right ) \pi } } { { m + n } } } = { 0 . }$$

برای حالت $$m \ne n$$:

$$\large { { I _ 1 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } x d x } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \left ( { 1 – \cos 2 n x } \right ) d x } } = { \frac { 1 }{ 2 } \left [ { \left . { \left ( { x – \frac { { \sin 2 n x } } { { 2 n } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } \right ] }\\ \large = { { \frac { 1 } { 2 } \left [ { \pi – \frac { { \sin 2 n \pi } } { { 2 n } } – \left ( { – \pi } \right ) } \right . } } - { { \left . { \frac { { \sin \left ( { – 2 n \pi } \right ) } } { { 2 n } } } \right ] } } = { \pi . }$$

و برای حالت $$m=n$$، داریم:

$$\large { { I _ 1 } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin mx\sin n x d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \ \pi, & m = n \end {cases} . }$$

بنابراین:

$$\large { { I _ 2 } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \cos mx \cos n x d x } } = { \begin {cases} 0, & m \ne n \\ \pi, & m = n \end {cases},}$$

به طور مشابه، می‌‌توان انتگرال‌‌های دوم و سوم را به دست آورد:

$$\large { { I _3 } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \cos n x d x } } = { \begin {cases} 0, & m \ne n \\ \pi , & m = n \end {cases} . }$$

این بدین معنی است که مجموعه توابع زیر روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ دستگاه متعامد تشکیل می‌‌دهند:

$$\large { 1 , \cos x , \sin x , \cos 2 x , \sin 2 x , \ldots , \; } \kern-0.3pt { \cos m x , \sin m x , \ldots }$$

مثال ۲

بسط سری فوریه-هرمیت تابع درجه دوم $$f\left( x \right) =A{x^2} + Bx + C$$ را به دست آورید.

حل: در اینجا از جملات صریح چندجمله‌‌ای‌‌های هرمیت استفاده می‌‌کنیم:

$$\large { { H _ 0 } \left ( x \right ) = 1 , \; \; \; } \kern-0.3pt { { H _ 1 } \left ( x \right ) = 2 x , \; \; \; } \kern-0.3pt {{ H _2 } \left ( x \right ) = 4 { x ^ 2 } – 2 . }$$

سپس، روش ضرایب نامعین را به کار می‌‌بریم:

$$\large { A { x ^ 2 } + B x + C } = { { c _ 0 } { H _ 0 } \left ( x \right ) } + { { c _ 1 } { H _ 1 } \left ( x \right ) } + { { c _ 2 } { H _ 2 } \left ( x \right ) . }$$

با جایگذاری چندجمله‌‌ای‌‌های هرمیت و برابر قرار دادن ضرایب، داریم:

$$ \large { { A { x ^ 2 } + B x + C } = { { c _ 0 } \cdot 1 } + { { c _ 1 } \cdot 2 x } + { { c _ 2 } \cdot \left ( { 4 { x ^ 2 } – 2 } \right ) , \; \; } } \\ \large \Rightarrow { { A { x ^ 2 } + B x + C } = { { c _ 0 } + 2 { c _ 1 } x } } + { { 4 { c _ 2 } { x ^ 2 } – 2 { c _ 2 } , \; \; } } \\ \large \Rightarrow { \left\{ { \begin {array}{* { 2 0 } { l } } { 4 { c ^ 2 } = A } \\ { 2 { c _ 1 } = B } \\ {{ c _ 0 } – 2 { c _ 2 } = C } \end {array} } \right.,\;\; } \Rightarrow { { c _ 0 } = C + \frac { A } { 2 } , \; \; } \kern-0.3pt{ { c _ 1 } = \frac { B } { 2 } , \; \; } \kern-0.3pt { { c _ 2 } = \frac { A } { 4 } .} $$