شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در مطلب پتانسیل مغناطیسی، با پتانسیل برداری A آشنا شدیم. گفتیم که سلونوئیدی بودن چگالی شار مغناطیسی B یعنی ∇.B=0، منجر به ایجاد پتانسیل برداری A میشود.
از آنجا که جمع دو کمیت برداری داخل پرانتز در معادله (۴) فاقد کرل است، میتوان آن را به صورت گرادیان یک کمیت اسکالر نوشت. برای آنکه به تعریف پتانسیل الکتریکی وفادار بمانیم، میتوان نوشت:
E+∂t∂A=−∇V
پس داریم:
E=−∇V−∂t∂A معادله (۵)
در حالتی که فقط بار ساکن داریم و ناحیه بدون جریان است، داریم:
∂t∂A=0
و معادله (۵) به رابطه زیر تبدیل میشود:
E=−∇V
و در نتیجه میتوان میدان الکتریکی E را از روی پتانسیل الکتریکی V محاسبه کرد. برای میدانهای متغیر با زمان، میدان الکتریکی E به هر دو پتانسیل V و A وابسته است. یعنی تجمع بار (−∇V) و میدان مغناطیسی متغیر با زمان (−∂t∂A)، هر دو میتوانند میدان الکتریکی تولید کنند. چگالی شار مغناطیسی B نیز به پتانسیل برداری A وابسته است، بنابراین E و B به یکدیگر تزویج شدهاند.
میدان الکتریکی در معادله (۵) را میتوان ترکیب دو قسمت در نظر گرفت. قسمت اول (−∇V) به دلیلی توزیع بار ρ ایجاد میشود. قسمت دوم نیز به دلیل جریان متغیر با زمان J ایجاد میشود. میدانیم که رابطه پتانسیل و چگالی بار به صورت زیر است:
V=4πε01∫V′R′ρdv′ معادله (۶)
رابطه پتانسیل برداری و چگالی جریان نیز به صورت زیر است:
A=4πμ0∫V′RJdv′ معادله (7)
هرچند دو معادله قبلی، در شرایط بار و جریان ساکن به دست آمدهاند و V و A هر دو نتیجه معادله پواسون هستند. پیشتر در مطالب حل مسائل الکتریسته ساکن و پتانسیل مغناطیسی، معادله پواسون بررسی شده است. اگر ρ و J توابعی از زمان باشند، پتانسیلهای الکتریکی و مغناطیسی نیز توابعی از زمان خواهند بود. اما این دو پتانسیل، اثرات تاخیر زمانی مربوط به سرعت محدود انتشار امواج الکترومغناطیسی متغیر با زمان را در نظر نمیگیرند.
در فرکانسهای پایین که ρ و J به صورت آهسته با زمان تغییر میکنند و R نیز در مقایسه با طول موج کوچک است، میتوان از دو معادله (۶) و (۷) برای یافتن «میدانهای شبه ساکن» (Quasi-static fields) استفاده کرد. البته میدانهای شبه ساکن تقریبی هستند. به این صورت از تئوری میدان به تئوری مدار میرسیم. اما هنگامی که فرکانس منبع بالاست و محدوده بررسی پتانسیل نسبت به طول موج کوچک نیست، حل شبه ساکن کافی نخواهد بود. مانند تحلیل انتشار امواج الکترومغناطیسی در آنتنها، «اثرات تاخیر زمانی» (Time-retardation Effects) نیز باید در نظر گرفته شود.
معادله موج بر حسب پتانسیل
میتوان شدت میدان مغناطیسی را بر حسب چگالی شار مغناطیسی نوشت. همچنین میتوان جابجایی الکتریکی (چگالی شار الکتریکی) را بر حسب میدان الکتریکی نوشت. روابط مربوطه به صورت زیر هستند:
B=μH,D=εE
از طرفی معادله دوم ماکسول به صورت زیر است:
∇×H=J+∂t∂D
پس میتوان نوشت:
∇×∇×A=μJ+με∂t∂(−∇V−∂t∂A) معادله (8)
در معادله (۸) فرض میشود که محیط همگن است. از طرفی کرلِ کرلِ یک بردار عبارت است از:
∇×∇×A=∇(∇.A)−∇2A
یا:
∇2A=∇(∇.A)−∇×∇×A.
با جایگزینی این روابط در معادله (۸)، خواهیم داشت:
∇(∇.A)−∇2A=μJ−∇(με∂t∂V)−με∂2∂2A
یا:
∇2A−με∂t2∂2A=−μJ+∇(∇.A+με∂t∂V) معادله (9)
طبق قضیه هلمهولتز، میدانیم که برای آنکه یک بردار به طور کامل مشخص شود، باید دیورژانس و کرل آن مشخص باشد. از آنجا که کرل A، برابر B است، همچنان میتوان آزادانه درباره دیورژانس پتانسیل مغناطیسی تصمیمگیری کرد. داریم:
∇.A+με∂t∂V=0 معادله (10)
پس عبارت دوم سمت راست معادله (۹) برابر صفر میشود. بنابراین میتوان نوشت:
∇۲A−με∂t2∂2A=−μJ معادله (۱۱)
معادله (۱۱)، «معادله موج برداری ناهمگن» (Nonhomogenous Vector Wave Equation) برای پتانسیل برداری A نام دارد. این رابطه معادله موج نامیده میشود زیرا حل آن به حرکت موج با سرعتی معادل με1 اشاره میکند. به رابطه بین پتانسیل الکتریکی (V) و پتانسیل مغناطیسی (A) در معادله (10)، «شرط یا معیار لورنتز» (Lorentz Condition) گفته میشود. برای میدانهای ساکن، این شرط به ∇.A=0 تبدیل میشود. معادله موج برای پتانسیل اسکالر V به صورت زیر نوشته میشود:
−∇.ε(∇V+∂t∂A)=ρ
اگر گذردهی الکتریکی ε عددی ثابت باشد، خواهیم داشت:
∇2V+∂t∂(∇.A)=−ερ معادله (۱۲)
با استفاده از معادله (10) خواهیم داشت:
∇2V−με∇t2∇2V=−ερ معادله (۱۳)
به رابطه (۱۳)، معادله موج ناهمگن برای پتانسیل اسکالر V گفته میشود. بنابراین شرط لورنتز در معادله (10) معادلات موج پتانسیل مغناطیسی و پتانسیل الکتریکی را از یکدیگر جدا میکند. در حالت استاتیک، معادلات موج در روابط (۱۱) و (۱۳) به معادلات پواسون تبدیل میشوند. در حالتی که میدان الکترومغناطیسی متغیر با زمان داریم، معادلههای (6) و (7) که حل معادله پواسون هستند، نمیتوانند جواب معادله موج ناهمگن باشند.
معادله موج بر حسب میدان
همانطور که میدانیم میدانهای الکترومغناطیسی در مسائل مقدار مرزی، به وسیله حل معادلات ماکسول به دست میآید. اما معادلات ماکسول، معادلات دیفرانسیل جزئی درجه اول و مزدوج شده با هم هستند. یعنی هر معادله، بیشتر از یک میدان مجهول دارد و مجهولها در چهار معادله ماکسول با هم ارتباط دارند. این معادلات را میتوان از یکدیگر جدا کرد. البته در این حالت، درجه معادلات زیاد میشود و همه روابط به معادلات دیفرانسیل جزئی درجه دو تبدیل میشوند. در حالت کلی به این روابط، معادله موج گفته میشود. بنابراین میتوان میدانهای الکتریکی و مغناطیسی را برای یک مسئله مقدار مرزی از طریق حل معادلات ماکسول یا معادله موج پیدا کرد. انتخاب معادلات به مسئله و شرایط آن وابسته است.
میدانهای الکترومغناطیسی متغیر با زمان
همانطور که میدانیم که دو معادله اول ماکسول به صورت زیر هستند:
این دو رابطه، معادلات دیفرانسیل درجه اول و مزدوج شده با یکدیگر هستند. یعنی دو میدان مجهول E و H در هر دو معادله ظاهر میشود. معمولا، جدا کردن این دو معادله از یکدیگر بسیار مطلوب است. در این حالت، این روابط به معادلات دیفرانسیل درجه دو تبدیل میشوند. با بازنویسی روابط (۱۴) و (۱۵) خواهیم داشت:
که معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم برای میدان مغناطیسی H است. معادلههای (۲۱) و (۲۴) یک جفت معادله دیفرانسیل درجه دو غیر مزدوج ایجاد میکنند و نتیجه معادلات ماکسول هستند.
معادلههای (۲۱) و (۲۴) به نام «معادلات موج برداری همگن» (Homogeneous Vector Wave Equations) برای میدانهای E و H مشهور هستند. برای حل مسائل الکترومغناطیسی مقدار مرزی، باید معادلات ماکسول یا معادلات موج ارضاء شوند. معمولا، معادله موج به معادلات ماکسول ترجیح داده میشوند.
برای یک ناحیه بدون منبع داریم:
Ji=qev=0,Mi=qmv=0
بنابراین معادلات (۲۱) و (۲۴) به روابط زیر تبدیل میشوند:
∇2E=μσ∂t2∂E+με∂t2∂2E معادله (25)
∇2H=μσ∂t2∂H+με∂t2∂2H معادله (26)
برای یک محیط بدون منبع و بدون تلف (σ=0) معادلات (۲۱) و (۲۴) یا (۲۵) و (26) به روابط سادهتر زیر تبدیل میشوند:
∇2E=με∂t2∂2E معادله (27)
∇2H=με∂t2∂2H معادله (28)
این دو معادله سادهترین انواع معادلات موج برداری هستند.
میدانهای الکترومغناطیسی هارمونیک زمانی
برای میدانهای هارمونیک زمانی که تغییرات زمانی تابعی از ejωt است، معادلات موج را میتوان برای میدانهای متغیر با زمان نوشت. از آنجا که با میدانهای متغیر با زمان روبرو هستیم، میتوان در معادلات به دست آمده تغییرات زیر را اعمال کرد:
∂t∂=jω,∂t2∂2=(jω)2=−ω2
بنابراین میتوان معادله موج را برای معادلات (۲۱) و (۲۴) یا (۲۵) و (۲۶) به صورت زیر نوشت:
که γ، «ثابت انتشار» (Propagation Constant) و α «ثابت تضعیف» (Attenuation Constant) و β «ثابت فاز» (Phase Constant) موج است. به طور مشابه برای محیط بدون منبع و بدون تلف خواهیم داشت:
∇2E=−ω2μεE=−β2E∇2H=−ω2μεH=−β2H معادله (30)
که در آن:
β2=ω2με
که البته در برخی متون تخصصی، β را با k نیز نمایش میدهند و به آن «عدد موج» (Wavenumber) گویند. به این روابط، «معادلات هلمهولتز برداری همگن» (Homogeneous Vector Helmholtz's Equations) گفته میشود.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام ببخشید چطور میشه اثبات کنیم معادله موج تخت یا صفحه ای در معادله موج ماکسول صدق میکند