مجموع زوایای داخلی مثلث چند درجه است؟ + اثبات و مثال به زبان ساده

مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است. از مجموع زاویه های داخلی مثلث می‌توان برای محاسبه مجموع زاویه های داخلی تمام چند ضلعی‌ها استفاده کرد. در واقع، فرمول مخصوص مجموع زوایای داخلی، برگرفته از رابطه هندسی بین مثلث با چند ضلعی‌های دیگر است. در این مقاله از مجله فرادرس، نحوه محاسبه مجموع زوایای داخلی مثلث و استفاده از آن برای محاسبه مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌های دیگر را به همراه حل چند مثال متنوع آموزش می‌دهیم.

مثلث چیست ؟

در مطلب «مثلث چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» از مجله فرادرس با تعریف مثلث آشنا شدیم. مثلث، یکی از چند ضلعی‌ها و از اشکال هندسی پایه است که از سه ضلع تشکیل می‌شود.

از اجزای اصلی و مهم مثلث می‌توان به قاعده (ضلع)، ارتفاع، راس (محل اتصال ضلع‌ها)، زاویه داخلی و زاویه خارجی اشاره کرد.

زاویه داخلی مثلث چیست ؟

به زاویه‌هایی که درون ضلع‌های مثلث قرار دارند، زاویه‌های داخلی مثلث می‌گویند. مثلث دارای سه زاویه داخلی است. به زاویه‌های مکمل زاویه‌های داخلی مثلث، زاویه‌های خارجی مثلث گفته می‌شود.

مجموع زوایای داخلی مثلث چگونه بدست می آید ؟

شاید تصور کنید که مجموع زوایای داخلی هر مثلث با اندازه‌گیری هر یک از زاویه‌ها توسط روش‌های مستقیم (مانند نقاله) به دست می‌آید.

باید بگوییم که برای تعیین مجموع زاویه های داخلی مثلث، نیازی به این کار نیست؛ چراکه این مجموع، برای تمام مثلث‌ها برابر است.

مجموع زوایای داخلی مثلث، همواره برابر 180 درجه است. به عبارت دیگر:

180° = زاویه (پ) + زاویه (ب) + زاویه (الف)

فرمول مجموع زوایای داخلی مثلث چیست ؟

به طور کلی، مجموع زوایای داخلی تمام چند ضلعی‌ها با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$S = (n-2) \times 180°$$

• S: مجموع زوایای داخلی چند ضلعی
• n: تعداد ضلع‌ها

مثال 1: محاسبه مجموع زوایای داخلی مثلث

مجموع زاویه های داخلی مثلث را با استفاده فرمول به دست بیاورید.

برای حل این مثال، فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها را برای مثلث می‌نویسیم:

$$S = (n-2) \times 180°$$

• S: مجموع زوایای داخلی مثلث
• n: تعداد ضلع‌های مثلث برابر 3

تعداد ضلع‌ها را درون فرمول قرار می‌دیم و آن را حل می‌کنیم:

$$S = (3-2) \times 180°$$

$$S = (1) \times 180°$$

$$S = 180°$$

در نتیجه، مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر با 180 درجه است.

روش های مختلف اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث

در این بخش، اثبات مجموع زاویه های داخلی مثلث را با استفاده از روش‌های ابتدایی و استدلال‌های هندسی آموزش می‌دهیم.

روش اول: اثبات مجموع زاویه های داخلی مثلث با استفاده از کاغذ یا مقوا

برای شروع اثبات مجموع زوایای داخلی یک مثلث، ابتدا شکل یک مثلث را بر روی کاغذ یا مقوا رسم کنید.

در مرحله بعدی، گوشه‌های مثلث را مانند شکل زیر، رنگ یا علامت بزنید. گوشه‌های مثلث، زوایای داخلی آن هستند.

گوشه‌های مثلث را از روی کاغذ یا مقوا جدا کنید.

گوشه‌های مثلث را مانند تصویر زیر در کنار یکدیگر قرار دهید. توجه داشته باشید که ضلع هر گوشه باید بر روی ضلع گوشه مجاور منطبق شود.

با توجه به تصویر بالا، سه گوشه مثلث در کنار یکدیگر، یک زاویه نیم صفحه می‌سازند. زاویه نیم صفحه برابر 180 درجه است. در نتیجه، مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه خواهد بود.

روش دوم: اثبات مجموع زاویه های داخلی مثلث با قضیه خطوط موازی و مورب

روش دوم برای تعیین و اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث، استفاده از قضیه خطوط موازی و مورب است. بر اساس این قضیه، اگر خط d، دو خط موازی a و b را مطابق با تصویر زیر قطع کند، زاویه‌های ۱ و ۷ با هم، زاویه‌های ۲ و ۸ با هم، زاویه‌های ۳ و ۵ با هم و زاویه‌های ۴ و ۶ با هم برابر خواهند بود.

با توجه به قضیه خطوط موازی و مورب، یک مثلث دلخواه (مانند مثلث ABC در تصویر زیر) را در نظر بگیرید.

برای اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث ABC، خط d را موازی با ضلع BC از روی راس A رسم می‌کنیم.

خط d با ضلع‌های AB و AC، سه زاویه می‌سازد. این زاویه‌ها را با اعداد 1، 2 و 3 نامگذاری می‌کنیم.

با توجه به قضیه خطوط موازی و مورب، می‌توان ضلع‌های AB و AC را به عنوان خط‌های مورب AB و d در نظر گرفت.

اگر AB مورب خطوط موازی d و BC باشد، زاویه راس B برابر با زاویه شماره 1 خواهد بود.

اگر AC، مورب خطوط موازی d و BC باشد، زاویه راس C برابر با زاویه شماره 3 خواهد بود.

زاویه راس A نیز برابر زاویه شماره 3 است. مجموع زوایای 1، 2 و 3، یک زاویه نیم صفحه را تشکیل می‌دهند. بنابراین، مجموع این زوایا برابر 180 درجه است:

180° = زاویه 3 + زاویه 2 + زاویه 1

اکنون به جای هر یک از زاویه‌های رابطه بالا، زاویه برابر با آن‌ها را قرار می‌دهیم:

• زاویه 1 = B
• زاویه 2 = A
• زاویه 3 = C

$$B + A + C = 180°$$

در نتیجه، مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است. مجموع زاویه های داخلی مثلث، برای تعیین مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها نیز کاربرد دارد. در بخش‌های بعدی، این کاربرد را با حل چند مثال توضیح می‌دهیم.

مثال های مجموع زوایای داخلی مثلث

در این بخش، چند مثال از مجموع زوایای داخلی انواع مثلث و کاربرد مثلث در تعیین مجموع زوایای داخلی اشکال چند ضلعی‌ را توضیح می‌دهیم.

مثال 2: مجموع زوایای داخلی مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین، مثلثی است که دو ضلع آن (ساق‌ها) با هم و دو زاویه آن با هم مساوی هستند. اگر زاویه‌های مساوی یک مثلث متساوی الساقین، برابر 50 درجه باشند، زاویه سوم آن را حساب کنید.

مجموع زاویه های داخلی یک مثلث برابر 180 درجه است. بنابراین، می‌توانیم رابطه زیر را برای مثلث متساوی الساقین بنویسیم:

180° = زاویه C + زاویه B + زاویه A

• B = 50°
• C = 50°

زاویه‌های معلوم را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

180° = 50° + 50° + زاویه A

180° = 100° + زاویه A

100° - 180° = زاویه A

80° = زاویه A

در نتیجه، زاویه داخلی سوم برابر 80 درجه است.

مثال 3: مجموع زوایای داخلی مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه، مثلثی با یک زاویه راست یا قائمه است. تصویر زیر، یک مثلث متساوی الساقین با زاویه راست را نمایش می‌دهد. اندازه زاویه های داخلی این مثلث را حساب کنید.

از آنجایی که مثلث بالا از نوع قائم الزاویه است، یکی از زاویه‌های آن (با توجه به تصویر، زاویه راس B) برابر با 90 درجه خواهد بود. علاوه بر این، به دلیل متساوی الساقین بودن مثلث، زاویه دو راس دیگر با یکدیگر برابر هستند. به عبارت دیگر:

$$\angle A = \angle C$$

می‌دانیم که مجموع زاویه های داخلی تمام مثلث‌ها برابر 180 درجه است. این قضیه را برای مثلث ABC می‌نویسیم:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{ \circ}$$

• $$\angle A$$: زاویه راس A
• $$\angle B$$: زاویه راس B برابر 90 درجه
• $$\angle C$$: زاویه راس C

زاویه 90 را درون فرمول قرار می‌دهیم و به جای زاویه راس C، زاویه راس A را دوباره می‌نویسیم (به دلیل برابر بودن این دو زاویه):

$$\angle A + 90^{ \circ} + \angle A = 180^{ \circ}$$

$$2 (\angle A) + 90^{ \circ} = 180^{ \circ}$$

$$2 (\angle A) = 180^{ \circ} - 90^{ \circ}$$

$$2 (\angle A) = 90^{ \circ}$$

$$\angle A = \frac{90^{ \circ}} {2}$$

$$\angle A = 45^{ \circ}$$

در نتیجه، زاویه راس A و زاویه راس C برابر 45 درجه هستند.

مثال 4: مجموع زوایای داخلی مثلث متساوی الاضلاع

مثلث نمایش داده شده در تصویر زیر، دارای سه ضلع هم اندازه است. اندازه هر یک از زاویه‌های داخلی آن را حساب کنید.

مثلث متساوی الاضلاع، مثلثی با سه ضلع و زاویه مساوی است. این مثلث، یک چند ضلعی منتظم به شمار می‌رود. به دلیل برابر بودن تمام زاویه‌ها، اندازه هر زاویه مثلث متساوی الاضلاع را می‌توان با استفاده از نسبت زیر به دست آورد:

$$\frac {(n-2) \times 180^{ \circ } } { n }$$

• n: تعداد ضلع‌های مثلث

در واقع نسب بالا، حاصل جمع زاویه های داخلی مثلث متساوی الاضلاع تقسیم بر تعداد ضلع‌ها را نمایش می‌دهد. با قرار دادن عدد 3 (تعداد ضلع‌های مثلث) در این فرمول، خواهیم داشت:

$$\frac {(3-2) \times 180^{ \circ } } { 3 }$$

$$\frac {(1) \times 180^{ \circ } } { 3 }$$

$$60^{ \circ }$$

در نتیجه، اندازه هر یک از زاویه های مثلث متساوی الاضلاع برابر 60 درجه است.

مثال 5: مجموع زوایای داخلی مربع توسط مثلث

مجموع زوایای داخلی مربع زیر را با در نظر گرفتن مجموع زاویه های داخلی مثلث و بدون استفاده از فرمول تعیین کنید.

یکی از روش‌های تعیین مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی‌ها، تقسیم‌بندی آن‌ها به چند مثلث است. بر اساس این روش، ابتدا باید یکی از راس‌های چند ضلعی (در اینجا مربع)، را انتخاب کرده و آن را توسط پاره خط به تمام راس‌های غیر مجاور، وصل کرد.

به این ترتیب، مربع به دو مثلث تبدیل می‌شود. همان طور که مشاهده می‌کنید، جمع زوایای داخلی این دو مثلث، جمع زوایای داخلی مربع است. در نتیجه:

180° + 180° = جمع زوایای داخلی مربع

360° = جمع زوایای داخلی مربع

در نتیجه، جمع زاویه های داخلی مربع برابر 360 درجه است. توجه داشته باشید که این روش برای تمام چهار ضلعی‌ها و چند ضلعی‌های دیگر نیز قابل استفاده است. در واقع، فرمول مجموع زاویه های داخلی N ضلعی، با استفاده از رابطه بین مثلث و چند ضلعی‌ها به دست می‌آید.

مثال 6: مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی توسط مثلث

مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی زیر را با استفاده از تقسیم‌بندی آن به مثلث و فرمول تعیین کنید.

با توجه به تعداد ضلع‌ها، شکل بالا یک هشت ضلعی است. به منظور تقسیم‌بندی این هشت ضلعی به چند مثلث، یکی از راس‌های آن را انتخاب کرده و آن را توسط چند پاره خط به راس‌های غیر مجاور وصل می‌کنیم.

تعداد مثلث‌های ایجاد شده برابر شش است. مجموع زاویه های داخلی هر مثلث نیز برابر 180 درجه است. بنابراین، جمع زوایای داخلی این شش مثلث برابر مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی خواهد بود:

$$180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ } + 180^{ \circ }$$

$$=1080^{ \circ }$$

در نتیجه، مجموع زاویه های داخلی هشت ضلعی برابر 1080 درجه است. اکنون، فرمول مجموع زاویه های داخلی n ضلعی را برای هشت ضلعی می‌نویسیم:

$$S = (n-2) \times 180°$$

• S: مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی
• n: تعداد ضلع‌های هشت ضلعی برابر 8

تعداد ضلع‌ها را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$S = (8-2) \times 180°$$

$$S = (6) \times 180°$$

$$S = 1080°$$

سوالات متداول مجموع زاویه های داخلی مثلث

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه مجموع زاویه های داخلی مثلث پاسخ می‌دهیم.

مجموع زاویه های داخلی مثلث چند درجه است ؟

مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر 180 درجه است.

مجموع زاویه های خارجی مثلث چند درجه است ؟

مجموع زاویه های خارجی مثلث برابر 360 درجه است.

فرمول مجموع زاویه های داخلی مثلث چیست ؟

فرمول مجموع زوایای داخلی مثلث برابر °180×(n-2) است که در آن، n، تعداد ضلع‌های مثلث را نمایش می‌دهد.

مجموع زاویه های داخلی انواع مثلث با هم تفاوت دارند؟

خیر. مجموع زوایای داخلی مثلث‌های مختلف الاضلاع، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، حاده، قائم الزاویه و منفرجه برابر 180 درجه است و نوع مثلث، تاثیری بر روی این عدد ندارد.

اندازه هر یک از زاویه های داخلی مثلث متساوی الاضلاع چقدر است؟

اندازه هر زاویه داخلی مثلث متساوی الاضلاع برابر 60 درجه است.