فرمول محیط دایره چیست؟ + حل تمرین و مثال

فرمول محیط دایره برابر «عدد پی × قطر» یا «عدد پی × شعاع × 2» است. البته شکل ریاضی این فرمول به صورت C=2πr یا C=πd نوشته می‌شود. در این فرمول‌ها، π، عدد ثابت پی (3/14)، r، اندازه شعاع دایره d، اندازه قطر دایره را نمایش می‌دهد. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی فرمول محیط دایره با شعاع و قطر به همراه حل چندین مثال متنوع و کاربردی می‌پردازیم.

محیط دایره چیست ؟

محیط دایره، اندازه دور دایره است. یک جسم دایره‌ای شکل مانند بشقاب یا لیوان را بر روی کاغذ بگذارید (تصویر زیر). توسط قلم، در اطراف این جسم یک دایره بکشید. برای این کار، قلم را بر روی یک نقطه شروع تنظیم کرده و در یک جهت (ساعتگرد یا پادساعتگرد) حرکت دهید.

رسم محیط دایره توسط بشقاب و مداد

پس از بازگشت به نقطه شروع، حرکت قلم را متوقف کنید و جسم را از روی کاغذ بردارید. با برداشتن جسم، اثر حرکت قلم بر روی کاغذ دیده می‌شود. اندازه این اثر، محیط یک دایره است.

محیط دایره چگونه بدست می آید ؟

محیط دایره از ضرب عدد پی در قطر دایره به دست می‌آید. نسبت محیط هر دایره به قطر آن، تقریبا برابر 3/14 است. این عدد با عنوان عدد پی شناخته می‌شود. رابطه محیط دایره بر اساس قطر را می‌توان به صورت زیر نوشت:

محیط دایره = عدد پی × قطر دایره

قطر دایره (بزرگ‌ترین وتر دایره)، دو برابر شعاع آن است. از این‌رو، محیط دایره از رابطه زیر نیز به دست می‌آید:

محیط دایره = عدد پی × شعاع دایره × 2

مثال 1: محاسبه محیط دایره با قطر

اگر قطر دایره‌ای برابر 2 سانتی‌متر باشد، محیط آن چقدر می‌شود؟

مطابق با رابطه محیط دایره بر اساس قطر، داریم:

محیط دایره = عدد پی × قطر دایره

محیط دایره = 3/14 × 2

محیط دایره = 6/28

در نتیجه، محیط دایره برابر 6/28 سانتی‌متر است.

فرمول محیط دایره چیست ؟

فرمول محیط دایره بر حسب شعاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$C = 2 \pi r$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

از فرمول بالا می‌توان نتیجه گرفت که نسبت محیط به شعاع دایره برابر 2π است. در صورت داشتن قطر دایره، محیط آن از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$C = \pi d$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره

مثال 2: محاسبه محیط دایره با شعاع

اندازه عقربه دقیقه‌شمار یک ساعت، برابر 20 سانتی‌متر است. نوک عقربه در هر ساعت، چند سانتی‌متر جابجا می‌شود؟ پس از گذشت نیم ساعت، اندازه جابجایی نوک عقربه چقدر خواهد بود؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

عقربه دقیقه‌شمار ساعت، در هر ساعت، یک دور کامل می‌زند. به عنوان مثال، در ساعت بالا، پس از یک ساعت، عقربه به محل اولیه خود باز می‌گردد. به همین دلیل، اندازه جابجایی نوک عقربه دقیقه‌شمار، محیط دایره‌ای است که بر روی آن حرکت می‌کند.

به منظور تعیین محیط دایره نشان دهنده مسیر حرکت عقربه‌دقیقه‌شمار، فرمول محیط را می‌نویسیم:

محیط دایره = عدد پی × شعاع دایره × 2

$$C = 2 \pi r$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره برابر اندازه عقربه (20 سانتی‌متر)

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$C = 2 \pi \times 20$$

$$C = 2 \times 3 \times 20$$

$$C = 6 \times 20$$

$$C = 120$$

محیط دایره برابر 120 سانتی‌متر است. بنابراین، نوک عقربه دقیقه‌شمار، در هر ساعت، 120 سانتی‌متر جابجا می‌شود. در هر نیم ساعت، جابجایی نوک عقربه دقیقه‌شمار، به اندازه نصف جابجایی در هر یک ساعت خواهد بود. به عبارت دیگر، در هر نیم ساعت، نوک عقربه برابر نصف محیط دایره یا 60 سانتی‌متر جابجا می‌شود.

فرمول محیط نیم دایره

نیم دایره، شکلی است که نصف یک دایره کامل را تشکیل می‌دهد. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک نیم‌دایره است. نیم‌دایره، از یک منحنی (کمان) و یک پاره‌خط (قطر) تشکیل می‌شود. در نتیجه، محیط این شکل، از مجموع اندازه کمان و قطر آن به دست می‌آید.

اندازه کمان نیم‌دایره برابر نصف محیط دایره‌ای با قطر مشابه است. به این ترتیب، می‌توانیم فرمول محیط نیم‌دایره را به صورت زیر بنویسیم:

محیط نیم دایره = نصف محیط دایره + قطر دایره

$$C_s = (\frac {1}{2} C) + d$$

$$C_s = (\frac {1}{2} \pi d) + d$$

• C_s: محیط نیم دایره
• C: محیط دایره
• d: قطر

این فرمول بر اساس شعاع نیم‌دایره به شکل زیر در می‌آید:

محیط نیم دایره = نصف محیط دایره + (شعاع دایره × 2)

$$C_s = (\frac {1}{2} C) + 2r$$

$$C_s = \pi r + 2r$$

مثال 3: محاسبه محیط نیم دایره

محیط نیم دایره زیر را بر حسب قطر حساب کنید.

بر اساس اندازه شعاع در نیم‌دایره بالا، قطر برابر 20 است. با داشتن اندازه قطر، فرمول محیط نیم دایره را می‌نویسیم:

محیط نیم دایره = نصف محیط دایره + قطر دایره

$$C_s = (\frac {1}{2} C) + d$$

• C_s: محیط نیم دایره
• C: محیط دایره
• d: قطر برابر 20

به منظور محاسبه محیط نیم‌دایره توسط فرمول‌های بالا، علاوه بر اندازه قطر، به اندازه محیط دایره نیز نیاز داریم. فرمول محیط دایره برابر است با:

محیط دایره = عدد پی × قطر دایره

$$C = \pi d$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره برابر 20

$$C = 3.14 \times 20$$

$$C = 62.8$$

محیط دایره‌ای با قطر 20 برابر 62/8 است. این مقدار را به همراه قطر، در فرمول محیط نیم‌‌دایره قرار می‌دهیم:

محیط نیم دایره = نصف محیط دایره + قطر دایره

$$C_s = (\frac {1}{2} \times 62.8) + 20$$

$$C_s = (31.4) + 20$$

$$C_s = 51.4$$

در نتیجه، محیط نیم‌دایره برابر 51/4 است.

فرمول محیط قطاع دایره

قطاع دایره، بخشی از دایره است که از یک کمان و دو شعاع تشکیل می‌شود. تصویر زیر، نقاط مشترک و تفاوت‌های بین کمان، قطعه و قطاع را نمایش می‌دهد.

بر اساس تصویر بالا، فرمول محیط قطاع دایره را می‌توان به صورت زیر نوشت:

شعاع + شعاع + کمان = محیط قطاع

محاسبه طول کمان قطاع به زاویه مقابل آن بستگی دارد. فرمول طول کمان، عبارت است از:

زاویه مقابل کمان × شعاع = طول کمان

زاویه مقابل کمان بر حسب رادیان بیان می‌شود. نیم‌دایره و ربع‌دایره، شناخته شده‌ترین قطاع‌های دایره هستند. در بخش قبلی نحوه محاسبه محیط نیم‌دایره را به همراه مثال توضیح دادیم. در صورت علاقه به یادگیری نحوه محاسبه محیط ربع‌دایره می‌توانید مطلب «محیط ربع‌دایره چیست؟» را مطالعه کنید.

حل چند مثال با فرمول محیط دایره

در این بخش، دو مثال دیگر در رابطه با نحوه محاسبه محیط دایره، نیم‌دایره و شکل‌های ترکیب شده با آن‌ها را حل می‌کنیم.

مثال 4: محاسبه مسافت پیاده‌روی در اطراف زمین

فردی هر روز در اطراف یک فضای سبز دایره‌ای شکل به پیاده‌وری می‌پردازد. اگر شعاع این فضا برابر 50 متر باشد، مسافت طی شده در هر دور چقدر خواهد بود؟ اگر این شخص قصد طی کردن مسافت 785 متر را داشته باشد، باید چند دور اطراف زمین بزند؟

شعاع زمین برابر 50 متر است. فرمول محیط دایره بر اساس شعاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

عدد پی × شعاع × ۲ = محیط دایره

به جای عدد پی، 3/14 و به جای شعاع، 50 را قرار می‌دهیم:

3/14 × 50 × 2 = محیط دایره

3/14 × 100 = محیط دایره

314 = محیط دایره

شخص با هر دور پیاده‌روی در اطراف زمین، مسافت 314 متر را طی می‌کند. به منظور تعیین تعداد دورهای مورد نیاز برای طی مسافت 785 دور زمین، باید این مسافت را در محیط زمین (314) تقسیم کرد.

314 ÷ 785 = تعداد دور

2.5 = تعداد دور

شخص پس از 2/5 دور پیاده‌روی در اطراف زمین، مسافت 785 را طی خواهد کرد.

مثال 5: نوشتن فرمول و محاسبه محیط شکل ترکیبی

چند شکل ترکیبی از دایره، نیم‌دایره و دیگر شکل‌های هندسی را رسم کرده‌ایم. فرمول محیط هر یک از این شکل‌ها را بنویسید.

شکل بالا، ترکیبی از دو نیم‌دایره را نمایش می‌دهد. اندازه شعاع نیم‌دایره بزرگ و اندازه قطر نیم‌دایره کوچک برابر 5 است.

فرمول محیط این شکل را می‌توان به صورت زیر نوشت:

شعاع دایره بزرگ + نصف محیط دایره کوچک + نصف محیط دایره بزرگ

محیط دایره بزرگ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

محیط دایره بزرگ = 3/14 × 5 × 2

محیط دایره بزرگ = 3/14 × 10

محیط دایره بزرگ = 31/4

به این ترتیب، نصف محیط دایره بزرگ برابر 15/7 است. محیط دایره کوچک از رابطه زیر به دست می‌آید:

محیط دایره کوچک = عدد پی × قطر دایره

محیط دایره کوچک = 3/14 × 5

محیط دایره کوچک = 15/7

بنابراین، نصف محیط دایره کوچک برابر 7/85 است. این دو مقدار محاسبه شده را به همراه شعاع دایره بزرگ در فرمول محیط شکل قرار می‌دهیم:

5 + 7/85 + 15/7 = محیط شکل

28/55 = محیط شکل

در نتیجه محیط شکل برابر 28/55 است.

سوالات متداول در رابطه با فرمول محیط دایره

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با فرمول محیط دایره، به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

فرمول محیط دایره با قطر چیست ؟

فرمول محیط دایره با قطر برابر «عدد پی × قطر» یا C=πd است. در فرمول ریاضی،  C، محیط دایره، π، عدد ثابت 3/14 و d، قطر دایره را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط دایره با شعاع چیست ؟

فرمول محیط دایره با شعاع برابر «عدد پی × شعاع × 2» یا C=2πr است. در فرمول ریاضی،  C، محیط دایره، π، عدد ثابت 3/14 و r، شعاع دایره را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط نیم دایره چیست ؟

فرمول محیط نیم دایره، «قطر + نصف محیط دایره» است. البته به جای قطر می‌توان از «شعاع × 2» نیز استفاده کرد.

فرمول محیط قطاع دایره چیست ؟

فرمول محیط قطاع دایره، «شعاع + شعاع + کمان» است. اندازه کمان از ضرب شعاع در زاویه مقابل کمان (بر حسب رادیان) به دست می‌آید.