فرمول لایب نیتس برای مشتق – به زبان ساده

فرمول لایب نیتس

$$\large {\left( {uv} \right)^\prime } = u’v + uv’.$$

اگر یک بار دیگر از رابطه اخیر مشتق بگیریم، داریم:

$$\large {{\left( {uv} \right) ^{\prime\prime}} = {\left[ {{{\left( {uv} \right)}^\prime }} \right] ^\prime } } = {{\left( {u ’v + uv ’} \right) ^\prime } } = {{\left( {u’v} \right) ^\prime } + {\left( {uv’} \right)^\prime } } \\ \large = {u^{\prime\prime}v + u’v’ + u’v’ + uv^{\prime\prime} }={ u^{\prime\prime}v + 2u’v’ + uv^{\prime\prime}.}$$

به همین ترتیب، مشتق مرتبه سوم ضرب $$uv$$ برابر است با:

$$\large {{\left( {uv} \right) ^ { \prime\prime\prime } } = {\left[ {{ \left( {uv} \right) ^ { \prime\prime}}} \right] ^ \prime } } = {{\left( { u ^ {\prime\prime} v + 2 u ’ v ’ + u v ^ { \prime\prime } } \right) ^ \prime } } = {{\left( { u ^ {\prime\prime} v } \right) ^ \prime } + {\left( { 2 u ’ v ’ } \right) ^ \prime } + {\left( { u v ^ { \prime\prime}} \right) ^ \prime } } \\ \large = { u ^ {\prime\prime\prime} v + { u ^ {\prime\prime} v ’ } + { 2 u ^ { \prime\prime} v ’ } }+{ { 2 u ’ v ^ {\prime\prime}} + { u ’ v ^ {\prime\prime}} + u v ^ {\prime\prime\prime} } = { u ^ {\prime\prime\prime} v + { 3 u ^ {\prime\prime} v ’ } }+{ { 3 u ’ v ^ { \prime\prime}} + u v ^ { \prime\prime\prime } . }$$