حد توابع نمایی – از صفر تا صد

قواعد اصلی حد توابع نمایی

• قاعده توان:

$$\large \lim _ { x \, \to \, a } \, { { f { ( x ) } } ^ { g { ( x ) } } } = \lim _ { x \, \to \, a } \, { { f { ( x ) } } ^ { \, \lim _ { x \, \to \, a } \, { g { ( x ) } } } }$$

• قاعده پایه ثابت:

$$\large \lim _ { x \, \to \, a } { b ^ { f { ( x ) } } } = b ^ { \, \lim _ { x \, \to \, a } { f { ( x ) } } }$$

• قاعده توان ثابت:

$$\large \lim _ { x \, \to \, a } { { [ f { ( x ) } ] } ^ n } = { \Big [ \lim _ { x \, \to \, a } { f { ( x ) } } \Big ] } ^ n$$

• قاعده توان رادیکالی:

چند حد نمایی مهم

در این بخش، چند حد مهم را بیان می‌کنیم که با استفاده از قوانین بالا به دست آمده است.

حد $$\displaystyle \Large \lim _ { x \, \to \, a } { \dfrac { x^ n - a ^ n } { x - a } } = n \cdot a ^ { n - 1 }$$

اثبات: در این رابطه، $$x$$ متغیر و $$a$$ و $$n$$ ثابت هستند. در حسابان بسیار پیش می‌آید که با حد تابع $$\dfrac{x^n-a^n}{x-a}$$، وقتی که $$x$$ به $$a$$ میل می‌کند، سر و کار داشته باشیم.

ابتدا مقدار $$a$$ را مستقیماً در تابع جایگذاری می‌کنیم:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, a } { \normalsize \dfrac { x ^ n - a ^ n } { x - a } } \, = \, \dfrac { a ^ n - a ^ n } { a - a } \\ \implies \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, a } \normalsize \dfrac { x ^ n - a ^ n } { x - a } \, = \, \dfrac { 0 } { 0 }$$

$$\displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { { ( a + h ) } ^ n - a ^ n } { h } }$$

توان $$n$$ مربوط به پایه $$a$$ در صورت، بین جملات، مشترک است؛ بنابراین، از آن فاکتور می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$\displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ n \Bigg [ { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } {a } \Bigg ) } ^ n - 1 \Bigg ] } { h } }$$

$$\large \begin {align*} & { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n = 1 + \dfrac { n } { 1 ! } \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } { 2 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 3 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 3 + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = \dfrac { n } { 1 ! } \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } {2 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 3 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 3 + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = \dfrac { n } { 1 } \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } {2 } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 6} { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 3 + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = n \times \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } { 2 } \times \dfrac { h ^ 2 } { a ^ 2 } + \dfrac {n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 6 } \times \dfrac { h ^ 3 } { a ^ 3 } + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = \dfrac { n h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h ^ 2 } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 3 } { 6 a ^ 3 } + \ldots \end {align*}$$

اکنون، بسط تابع را در فرمول حد جایگذاری می‌کنیم:

$$\displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ n \Bigg [ { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 \Bigg ] } { h } } = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 }{ \normalsize \dfrac { a ^ n \Bigg [ \dfrac { n h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h ^ 2 } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 3 } { 6 a ^ 3 } + \ldots \Bigg ] } { h } }$$

در عبارت بالا از $$h$$ فاکتور می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$ \require {cancel} \begin {align*} &<br /> = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } \normalsize \dfrac { a ^ n \times h \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \cdots \Bigg ] } { h } \\<br /> & = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } \normalsize \dfrac { a ^ n \times \cancel { h } \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \cdots \Bigg ] } { \cancel { h } } \\<br /> & = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } \normalsize a ^ n \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \cdots \Bigg ]<br /> \end {align*} $$