حجم هرم و محاسبه آن – به زبان ساده

حجم هرم برابر حاصلضرب مساحت قاعده در ارتفاع تقسیم بر سه است. این رابطه برای تعیین حجم انواع مختلف هرم مورد استفاده قرار می‌گیرد. البته هرم می‌تواند از قاعده مثلث، مربع و دیگر چند ضلعی‌ها تشکیل شود. به علاوه، برخی از هرم‌ها ناقص هستند. در این مقاله از مجله فرادرس، نحوه محاسبه حجم هرم های مختلف را به همراه حل چندین مثال متنوع و کاربردی آموزش می‌دهیم. در انتها، ضمن بررسی شباهت فرمول حجم مخروط به حجم هرم، فرمول حجم هرم را اثبات می‌کنیم.

هرم چیست ؟

«هرم» ([Pyramid)، یکی از اشکال فضایی است که از چند وجه جانبی و یک وجه زیرین به نام قاعده تشکیل می‌شود. وجه‌های جانبی هرم، بر روی محیط قاعده قرار می‌گیرند و یکدیگر را در نقطه‌ای به نام راس قطع می‌کنند.

قاعده هرم، به شکل چند ضلعی بوده و وجه‌های جانبی آن، به شکل مثلث هستند. تصویر زیر، اجزای مختلف هرم را نمایش می‌دهد.

انواع هرم چه هستند ؟

هرم‌ها بر اساس معیارهای مختلف به انواع زیر تقسیم می‌شوند:

• انواع هرم بر اساس چند ضلعی قاعده
  • هرم با قاعده سه ضلعی (هرم مثلثی)
  • هرم با قاعده چهار ضلعی (هرم مربعی، مستطیلی و غیره)
  • هرم با قاعده پنج ضلعی
  • و غیره
• انواع هرم بر اساس زاویه بین ارتفاع و قاعده
  • هرم عمود یا هرم قائم
  • هرم مایل
• انواع هرم بر اساس اندازه ضلع‌های قاعده
  • هرم منتظم
  • هرم غیر منتظم

حجم چیست ؟

در مطالب پیشین از مجله فرادرس با تعریف حجم آشنا شدیم. حجم، مقدار فضایی است که توسط یک جسم سه بعدی اشغال می‌شود. تمام اجسام اطراف ما دارای حجم هستند. به عنوان مثال، کتاب، جعبه، ساختمان‌ها، آجر و تخته، مثال‌هایی از حجم‌های منشوری به شمار می‌روند. البته حجم‌ها به این موارد محدود نمی‌شوند. به طور، حجم‌های هندسی را می‌توان به سه دسته اصلی منشوری، کروی و هرمی تقسیم کرد. تصویر زیر، ساختار کلی این حجم‌ها را نمایش می‌دهد.

حجم هرم چگونه بدست می آید ؟

حجم هرم با استفاده از اندازه مساحت قاعده و ارتفاع آن به دست می‌آید. این حجم با ضرب مساحت قاعده در ارتفاع هرم تقسیم بر سه محاسبه می‌شود.

فرمول حجم هرم چیست ؟

فرمول حجم عبارت است از:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم
• h: ارتفاع هرم

فرمول بالا، به شکل قاعده ارتباطی ندارد و برای تمام هرم‌ها قابل استفاده است.

مثال 1: محاسبه حجم هرم با قاعده و ارتفاع

تصویر زیر، یک هرم با قاعده مثلث قائم الزاویه را نمایش می‌‌دهد. بر اساس اندازه‌های معلوم، حجم هرم را حساب کنید.

به دلیل قائمه بودن زاویه راس C (زاویه $$\angle { ACB }$$)، قاعده هرم بالا (ABC)، یک مثلث قائم الزاویه است. به منظور شروع محاسبه حجم هرم، ابتدا اطلاعات معلوم مسئله را یادداشت می‌کنیم:

• AC: یکی از ساق‌های مثلث قائم الزاویه با طول 6 سانتی‌متر
• BC: ساق دیگر مثلث قائم الزاویه با طول 10 سانتی‌متر
• OH: ارتفاع هرم برابر 5 سانتی‌متر

در مرحله بعد، فرمول حجم هرم را می‌نویسیم و اطلاعات مورد نیاز را بررسی می‌کنیم. فرمول حجم هرم عبارت است از:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم (مساحت مثلث قائم الزاویه ABC)
• h: ارتفاع هرم (پاره خط OH با طول 5 سانتی‌متر)

از بین موارد بالا، اندازه ارتفاع هرم معلوم است. با این وجود، باید مساحت قاعده را محاسبه کنیم. در مثلث‌های قائم و زاویه، ساق‌ها، ارتفاع و قاعده نظیر یکدیگر هستند. بنابراین، مساحت مثلث قائم الزاویه ABC به صورت زیر محاسبه می‌شود:

۲ ÷ (ساق دوم × ساق اول) = مساحت مثلث قائم الزاویه

$$S_{ABC} = \frac {AC \times BC} {2}$$

$$S_{ABC} = \frac {6 \times 10} {2}$$

$$S_{ABC} = \frac {60} {2}$$

$$S_{ABC} = 30$$

مساحت قاعده برابر 30 سانتی‌متر مربع است. اکنون این عدد و ارتفاع هرم (5) را درون فرمول حجم قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

$$V = \frac {1}{3} \times 30 \times 5$$

$$V = \frac {1}{3} \times 150$$

$$V = 50$$

حجم هرم برابر 50 سانتی‌متر مکعب است.

حجم هرم با قاعده مربع

هرم مربعی، یکی از انواع هرم با قاعده چهار ضلعی است. البته به دلیل برابر بودن اندازه تمام ضلع‌ها و اندازه تمام زاویه‌های این مربع، این هرم به عنوان یک هرم منتظم در نظر گرفته می‌شود. در هرم‌های منتظم، طول ضلع‌های تمام وجه‌های جانبی با هم برابر هستند. به عبارت دیگر، تمام مثلث‌های روی محیط قاعده از نوع مثلث متساوی الساقین خواهند بود.

فرمول حجم هرم مربعی

حجم هرم با قاعده مربع توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم
• h: ارتفاع هرم

بنابراین، هیچ تفاوتی بین فرمول کلی حجم در هرم مربعی با هرم مثلثی وجود ندارد. البته، باید توجه داشت که ارتفاع هرم مربعی و دیگر هرم‌های منتظم، همیشه در مرکز قاعده قرار می‌گیرد. این ویژگی به کمک قضیه فیثاغورس می‌تواند تعیین اندازه‌های دیگر هرم را ساده‌تر کند.

مثال 2: تعیین اندازه های هرم با قاعده مربع

تصویر زیر، یک هرم منتظم با قاعده مربع را نمایش می‌دهد. وجه‌های جانبی این هرم، مثلث‌هایی با طول ساق 10 سانتی‌متر هستند. با فرض قرار گیری نقطه M در وسط پاره خط BC، به سوالات الف تا ز پاسخ دهید.

• الف) پاره خط OM در مثلث OBC چیست و چه خواصی دارد؟
• ب) مثلث OBM چه نوع مثلثی است؟
• ج) اگر طول ضلع قاعده هرم برابر 12 سانتی‌متر باشد، طول پاره خط OM در مثلث OBM چقدر است؟
• د) مثلث OMH چه نوع مثلثی است؟
• د) طول پاره خط MH چقدر است؟
• ه) طول پاره خط OH چقدر است؟
• ز) حجم هرم چقدر است؟

سوال الف

مطابق با صورت سوال می‌دانیم که OBC، یک مثلث متساوی الساقین است. در مثلث‌های متساوی الساقین، ارتفاع، قاعده را به دو پاره خط مساوی تقسیم می‌کند. نقطه M از پاره خط OM بر روی وسط پاره خط BC (قاعده مثلث) قرار گرفته است. در نتیجه، پاره خط OM، ارتفاع مثلث متساوی الساقین OBC خواهد بود. ارتفاع، پاره خطی است که به قاعده نظیر خود عمود می‌شود. از این‌رو، OM بر BC عمود است.

سوال ب

به دلیل عمود بودن OM بر BC، مثلث OMB از نوع قائم الزاویه است.

سوال ج

به دلیل قائم الزاویه بودن مثلث OMB، با معلوم بودن اندازه دو ضلع، ضلع سوم به کمک قضیه فیثاغورس قابل محاسبه خواهد بود. طول ضلع مربع برابر 12 سانتی‌متر است. نقطه M در مرکز BC قرار دارد. در نتیجه، اندازه پاره خط BM برابر 6 سانتی‌متر است. قضیه فیثاغورس برای مثلث OMB به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$OB^2 = BM^2+OM^2$$

• OB: وتر مثلث OMB و ساق وجه‌های هرم برابر 10 سانتی‌متر
• BM: ساق مثلث OMB و نصف ضلع قاعده هرم برابر 6 سانتی‌متر
• OM: ساق مثلث OMB و ارتفاع وجه‌های هرم

اندازه‌های معلوم را در رابطه فیثاغورس قرار می‌دهیم:

$$10^2 = 6^2+OM^2$$

$$100 = 36 +OM^2$$

$$OM^2 = 100- 36$$

$$OM^2 = 64$$

$$OM = \sqrt {64}$$

$$OM = 8$$

اندازه پاره خط OM برابر 8 سانتی‌متر است.

سوال د

پاره خط OH بر قاعده هرم عمود است. در نتیجه، مثلث OMH از نوع قائم الزاویه خواهد بود.

سوال ه

ارتفاع در هرم‌های منتظم، بر روی مرکز قاعده قرار می‌گیرد. بنابراین، اندازه MH برابر نصف ضلع مربع (2÷12)، یعنی 6 خواهد بود.

سوال و

به منظور محاسبه طول پاره خط OH، قضیه فیثاغورس را برای مثلث OMH می‌نویسیم:

$$OM^2 = HM^2+OH^2$$

• OM: وتر مثلث OMH و ارتفاع وجه‌های هرم برابر 8 سانتی‌متر
• HM: ساق مثلث OMH و نصف ضلع قاعده هرم برابر 6 سانتی‌متر
• OH: ساق مثلث OMH و ارتفاع هرم

اندازه‌های معلوم را در رابطه فیثاغورس قرار می‌دهیم:

$$64 = 36+OH^2$$

$$64 - 36 = OH^2$$

$$OH^2 = 28$$

$$OH = \sqrt {28}$$

به این ترتیب، ارتفاع هرم برابر $$\sqrt {28}$$ s سانتی‌متر است.

سوال ز

برای به دست آوردن حجم هرم، به مساحت قاعده و طول ارتفاع آن نیاز داریم. در بخش‌های قبلی مثال، اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه این موارد را به دست آوردیم. اکنون، فرمول حجم هرم را می‌نویسیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم (مساحت مربع ABCD)
• h: ارتفاع هرم (پاره خط OH با طول $$\sqrt {28}$$ s سانتی‌متر)

قاعده هرم، مربعی به ضلع 12 سانتی‌متر است. مساحت این مربع توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$S_{ABCD} = 12 \times 12$$

$$S_{ABCD} = 144$$

مساحت قاعده هرم برابر 144 سانتی‌‌متر مربع است. این مقدار را به همراه طول ارتفاع ($$\sqrt {28}$$ s) در فرمول حجم هرم قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$V = \frac {1}{3} S_{ABCD}h$$

$$V = \frac {1}{3} \times {144} \times {\sqrt {28}}$$

$$V = 48 \times {\sqrt {28}}$$

$$V \approx 254$$

حجم هرم تقریبا برابر 254 سانتی‌متر مکعب است. در صورتی که اندازه یکی از ضلع‌های قاعده و یکی از ساق‌های وجه جانبی هرم منتظم (تمام هرم‌های منتظم) مشخص باشد، روند محاسبه حجم مطابق با روش نمایش داده شده در این مثال خواهد بود.

حجم هرم ناقص چگونه بدست می آید ؟

در هرم ناقص، بخش بالایی هرم توسط یک صفحه موازی با قاعده جدا شده است. این حجم فضایی از دو قاعده چند ضلعی و چند وجه جانبی ذوزنقه‌ای شکل تشکیل می‌شود.

حجم هرم ناقص، از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$V=\frac{h}{3}\left(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1} S_{2}}\right)$$

• V: حجم هرم ناقص
• h: ارتفاع هرم ناقص (فاصله عمودی بین دو قاعده)
• S₁: مساحت قاعده اول
• S₂: مساحت قاعده دوم

مثال های حجم هرم

در این بخش، به حل چندین مثال متنوع در برای محاسبه حجم انواع هرم می‌پردازیم. در انتها، یک مثال از محاسبه حجم مخروط را نیز حل می‌کنیم.

مثال 3: محاسبه حجم هرم با قاعده مستطیل

حجم هرم زیر را حساب کنید.

به منظور محاسبه حجم هرم بالا، ابتدا فرمول مربوط به آن را می‌نویسیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم (مستطیل)
• h: ارتفاع هرم برابر 10 سانتی‌متر

مساحت مستطیل با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

عرض $$\times$$ طول = مساحت مستطیل

$$S = l \times w$$

• S: مساحت مستطیل
• l: طول مستطیل برابر 6 سانتی‌متر
• w: عرض مستطیل برابر 5 سانتی‌متر

$$S = 6 \times 5$$

$$S = 30$$

مساحت مستطیل یا قاعده هرم برابر 30 سانتی‌متر مربع است. این عدد را به همراه ارتفاع (10)، درون فرمول حجم قرار می‌دهیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

$$V = \frac {1}{3} \times 30 \times 10$$

$$V = \frac 10 \times 10$$

$$V = 100$$

حجم هرم مستطیلی برابر 100 سانتی‌متر مکعب است.

مثال 4: محاسبه حجم دو هرم داخل یک مکعب مستطیل

تصویر زیر، دو هرم MABCD و NABCD را نمایش می‌دهد. این دو هرم درون یک مکعب مستطیل به طول 5، عرض 3 و ارتفاع 4 قرار دارند. اگر نقاط M و N بر روی وجه 'A'B'C'D قرار داشته باشند، حجم هر هرم چقدر خواهد بود؟ از این مثال چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟

حجم هرم MABCD

در هرم MABCD، وجه ABCD، قاعده هرم است. به دلیل قرارگیری نقطه M بر روی وجه 'A'B'C'D، ارتفاع این هرم با ارتفاع مستطیل (4) برابر است. برای محاسبه حجم هرم MABCD، فرمول حجم را می‌نویسیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم (مستطیل ABCD)
• h: ارتفاع هرم برابر 4

مساحت مستطیل ABCD برابر است با:

$$S_{ABCD} = l \times w$$

• S_ABCD: مساحت مستطیل ABCD
• l: طول مستطیل ABCD برابر 5
• w: عرض مستطیل ABCD برابر 3

$$S_{ABCD} = 5 \times 3$$

$$S_{ABCD} = 15$$

اندازه‌های مساحت (15) و ارتفاع (4) را درون رابطه حجم قرار می‌دهیم:

$$V_{MABCD} = \frac {1}{3} S_{ABCD}h$$

$$V_{MABCD} = \frac {1}{3} \times 15 \times 4$$

$$V_{MABCD} = 5 \times 4$$

$$V_{MABCD} = 20$$

حجم هرم NABCD

در هرم NABCD نیز وجه ABCD، قاعده هرم است. علاوه بر این، به دلیل قرارگیری نقطه N بر روی وجه 'A'B'C'D، ارتفاع این هرم با ارتفاع مستطیل (4) برابر است. حجم هرم NABCD از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم (مستطیل ABCD)
• h: ارتفاع هرم برابر 4

طبق محاسبات مرحله قبل، مساحت مستطیل ABCD برابر 15 است. این مقدار را به همراه ارتفاع هرم (4)، درون رابطه حجم قرار می‌دهیم:

$$V_{NABCD} = \frac {1}{3} S_{ABCD}h$$

$$V_{NABCD} = \frac {1}{3} \times 15 \times 4$$

$$V_{NABCD} = 5 \times 4$$

$$V_{NABCD} = 20$$

همان طور که مشاهده می‌کنید، حجم NABCD نیز برابر 20 شد. از این مثال می‌توانیم نتیجه بگیریم که حجم هرم، فقط به اندازه مساحت قاعده و ارتفاع بستگی دارد. به عبارت دیگر، اگر مقادیر مساحت قاعده و ارتفاع دو هرم با شکل‌های متفاوت برابر باشند، حجم این دو هرم مساوی خواهد بود.

مثال 5: محاسبه حجم هرم مربعی

حجم هرمی با قاعده مربع، ضلع قاعده 4 سانتی‌متر و ساق وجه جانبی 8 سانتی‌متر را به دست بیاورید.

این مثال، مشابه مثال 2 است. از این رو، برای حل آن، روند زیر را طی می‌کنیم.

• مرحله اول: تعیین طول مایل (ارتفاع وجه جانبی) توسط قضیه فیثاغورس
• مرحله دوم: تعیین ارتفاع هرم توسط قضیه فیثاغورس
• مرحله سوم: محاسبه مساحت قاعده
• مرحله چهارم: محاسبه حجم

مرحله اول: تعیین طول مایل

برای تعیین طول مایل وجه‌های جانبی هرم، رابطه فیثاغورس را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$c^2=a^2+b^2$$

• c: ساق وجه جانبی برابر 8 سانتی‌متر
• a: نصف ضلع قاعده برابر 2 سانتی‌متر
• b: طول مایل

$$8^2=2^2+b^2$$

$$64=4+b^2$$

$$64-4=b^2$$

$$b^2 = 60$$

$$b = \sqrt {60}$$

مرحله دوم: تعیین ارتفاع هرم

ارتفاع هرم نیز با نوشتن قضیه فیثاغورس تعیین می‌شود:

$$c^2=a^2+b^2$$

• c: طول مایل وجه جانبی برابر $$\sqrt {60}$$
• a: نصف ضلع قاعده برابر 2 سانتی‌متر
• b: ارتفاع هرم

$$(\sqrt {60})^{2}=2^2+b^2$$

$$60=4+b^2$$

$$b^2 = 60-4$$

$$b^2 = 56$$

$$b = \sqrt {56}$$

مرحل سوم: تعیین مساحت قاعده

اندازه ضلع مربع برابر 4 سانتی‌متر است. بنابراین، مساحت آن برابر است با:

$$S = a \times a$$

• S: مساحت قاعده هرم (مربع)
• a: اندازه ضلع مربع برابر 4 سانتی‌متر

$$S = 4 \times 4$$

$$S = 16$$

مرحله چهارم: محاسبه حجم

با مشخص شدن ارتفاع و مساحت قاعده هرم، فرمول حجم را می‌نویسیم و مقادیر معلوم را درون آن قرار می‌دهیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم برابر 16 سانتی‌متر مربع
• h: ارتفاع هرم برابر $$\sqrt {56}$$

$$\sqrt {56}$$ را برابر 7.5 در نظر می‌گیریم:

$$V = \frac {1}{3} \times 16 \times 7.5$$

$$V = 40$$

حجم هرم برابر 40 سانتی‌متر مربع است.

مثال 6: محاسبه ارتفاع هرم بزرگ جیزه

هرم بزرگ جیزه، یکی قدیمی‌ترین و بزرگ‌ترین آثار تاریخی در جهان به شمار می‌رود. قاعده این هرم، به شکل مربعی با ضلع 230 متر است. اگر حجم این هرم برابر 2600000 متر مکعب باشد، ارتفاع آن چقدر خواهد بود؟

ارتفاع، یکی از اندازه‌های مورد نیاز برای تعیین حجم هرم‌ها است. از این‌رو، به منظور تعیین ارتفاع هرم بزرگ جیزه، فرمول محاسبه حجم هرم را می‌نویسیم:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم بزرگ جیزه برابر 2600000 متر
• S: مساحت قاعده هرم بزرگ جیزه (مربعی به ضلع 230 متر)
• h: ارتفاع هرم بزرگ جیزه

مساحت قاعده هرم بزرگ جیزه برابر است با:

$$S = 230 \times 230$$

$$S = 52900$$

مساحت قاعده را به همراه حجم درون فرمول قرار می‌دهیم و آن بر اساس ارتفاع حل می‌کنیم:

$$2600000 = \frac {1}{3} \times 52900 \times h$$

$$h = \frac {2600000 \times 3} {52900}$$

$$h \approx 147$$

ارتفاع هرم بزرگ جیزه حدودا 147 متر است.

مثال 7: محاسبه حجم هرم ناقص مثلثی

حجم مخروط ناقص زیر را به دست بیاورید.

حجم هرم ناقص با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$V=\frac{h}{3}\left(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1} S_{2}}\right)$$

• V: حجم هرم ناقص
• h: ارتفاع هرم ناقص برابر 9 سانتی‌متر
• S₁: مساحت قاعده اول برابر 6 سانتی‌متر مربع
• S₂: مساحت قاعده دوم برابر 13/5 سانتی‌متر مربع

$$V=\frac{9}{3}\left(6+13.5+\sqrt{6 \times 13.5}\right)$$

$$V=3 \times\left(19.5+\sqrt{81}\right)$$

$$V=3 \times\left(19.5+9\right)$$

$$V=3 \times\left(28.5\right)$$

$$V=85.5$$

حجم هرم ناقص برابر 85/5 سانتی‌متر مکعب است.

مثال 8: محاسبه حجم مخروط

تصویر زیر، مخروطی با قاعده دایره‌ای شکل، مساحت قاعده 75 سانتی‌متر مربع و ارتفاع 13 سانتی‌متر را نمایش می‌دهد. به نظر شما، حجم این مخروط چقدر است؟

مخروط، یکی از حجم‌های فضایی مشابه با هرم است. اگر تعداد ضلع‌های قاعده یک هرم منتظم را تا بی‌نهایت افزایش دهیم، قاعده به یک دایره و هرم به یک مخروط تبدیل می‌شود. از این‌رو، فرمول حجم مخروط، مشابه فرمول حجم هرم است:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم مخروط
• S: مساحت قاعده مخروط (مساحت دایره)
• h: ارتفاع مخروط

$$V = \frac {1}{3} \times 75 \times 13$$

$$V = 325$$

حجم مخروط برابر 325 سانتی‌متر مربع است. قاعده مخروط، معمولا به شکل دایره است. به همین دلیل، در صورت مشخص بودن شعاع دایره، مساحت قاعده برابر مساحت دایره خواهد بود.

مثال 9: محاسبه هرم شش ضلعی

هرم زیر دارای قاعده شش ضلعی منتظم است. اگر ارتفاع هرم برابر 17 و اندازه ضلع‌های قاعده برابر 8 باشد، حجم هرم چقدر خواهد بود؟

همان‌طور که در تمام مثال‌های قبلی مشاهده کردید، شکل قاعده، هیچ تاثیری بر روی فرمول کلی حجم هرم ندارد. از این‌رو، حجم هرم بالا نیز مانند تمام هرم‌های دیگر توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$V = \frac {1}{3} Sh$$

• V: حجم هرم
• S: مساحت قاعده هرم (مساحت شش ضلعی)
• h: ارتفاع هرم برابر 17

مساحت شش ضلعی منتظم از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$S=\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}$$

• S: مساحت شش ضلعی منتظم
• a: اندازه ضلع شش ضلعی منتظم برابر 8

$$S=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 8^{2}$$

$$S=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 64$$

$$S=3 \sqrt{3} \times 32$$

$$S=96 \sqrt{3}$$

$$S \approx 166.27$$

حجم هرم شش ضلعی بالا تقریبا برابر 166/27 است.

محاسبه آنلاین حجم هرم

سایت‌های اینترنتی متعددی برای محاسبه آنلاین حجم هرم وجود دارند. از کاربردی‌ترین این سایت‌ها می‌توان به سایت Omnicalculator (+)، سایت Calculatorsoup (+)، سایت Blocklayer (+) و موتور جستجوی گوگل اشاره کرد.

هر یک از این ابزارهای اینترنتی، قابلیت‌های مختلفی نظیر امکان انتخاب اندازه‌های معلوم، تعیین شکل قاعده، رسم گسترده مخروط و غیره را در اختیار کاربران قرار می‌دهند. از بین موارد، در دسترس‌ترین و ساده‌ترین ابزار، متعلق به گوگل است.

به منظور دسترسی به ماشین حساب گوگل برای محاسبه حجم هرم، باید عبارتی مانند «pyramid volume» را در گوگل جستجو کنید. به این ترتیب، کادری مشابه تصویر بالا در ابتدای صفحه نتایج به نمایش در می‌آید. با وارد کردن اندازه‌های طول قاعده (l)، عرض قاعده (w) و ارتفاع هرم (h)، حجم محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، تصویر زیر، خروجی ماشین حساب گوگل هنگام محاسبه حجم هرمی با طول قاعده 15، عرض قاعده 7 و ارتفاع 11 است.

اثبات حجم هرم

به منظور اثبات فرمول حجم هرم، منشور مثلثی زیر را در نظر بگیرید.

حجم منشور، برابر حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع است. فرمول حجم منشور به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$V = Sh$$

• V: حجم منشور
• S: مساحت قاعده منشور (مانند مساحت وجه‌های ABC و DEF در منشور بالا)
• h: ارتفاع منشور (مانند ضلع‌های BE ،AD و CF در منشور بالا)

در منشور بالا، نقطه C را به نقطه‌های E و D و نقطه B را به نقطه D وصل می‌کنیم. چهار ضلعی ABED، یک مستطیل است. از این‌رو، پاره خط BD، قطر این مستطیل خواهد بود. قطر، مستطیل را به دو شکل مثلث با مساحت برابر تبدیل می‌کند. بنابراین، مثلث‌های ABD و BDE با یکدیگر برابر هستند.

در مرحله بعد، منشور را به سه هرم تبدیل می‌کنیم. مثلث ABD را به عنوان قاعده هرم CBED و مثلث BDE را به عنوان قاعده هرم CBAD در نظر می‌گیریم. ضلع BC در این هرم با هم برابر است. در نتیجه، اندازه ارتفاع‌های این هرم‌ها با هم برابر خواهد بود. اگر مساحت قاعده دو هرم با هم و قاعده آن‌ها نیز با هم مساوی باشد، حجم دو هرم برابر است (مثال 5 این مقاله). بنابراین، هرم‌های CBED و CBAD هم مساحت‌اند.

مثلث‌های ABC (قاعده DABC) و DEF (قاعده CDEF)، قاعده‌های منشور هستند. مساحت قاعده‌های منشور با هم برابر است. ضلع AD، ارتفاع هرم DABC و ضلع CF، ارتفاع هرم CDEF محسوب می‌شود. این دو ضلع، ارتفاع منشور هستند. از این‌‌رو، اندازه آن‌ها نیز با هم برابر است. هرم‌های DABC و CDEF، قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های هم‌اندازه دارند. بنابراین، حجم این دو هرم نیز با هم برابر است.

از آنجایی که حجم هرم‌ها، دو به دو با هم مساوی است، حجم تمام هرم‌ها با هم برابر خواهد بود. در نتیجه، حجم هر یک از هرم‌ها، یک سوم حجم منشور است. به عبارت دیگر:

$$V_{CBED} = \frac {1}{3} Sh$$

$$V_{CBAD} = \frac {1}{3} Sh$$

$$V_{CDEF} = \frac {1}{3} Sh$$

فرمول بالا، همان فرمول حجم هرم است.

سوالات متداول در رابطه حجم هرم‌ها

در این مطلب از مجله فرادرس با هرم و محاسبه حجم آن آشنا شدیم. در این بخش، به برخی سوالات پرتکرار در رابطه با حجم هرم‌های مختلف پاسخ می‌دهیم.

برای محاسبه حجم هرم به چه مقادیری نیاز است؟

به منظور محاسبه حجم هرم، فقط به مساحت قاعده و ارتفاع هرم نیاز است.

فرمول محاسبه حجم هرم چیست ؟

فرمول حجم هرم برابر V=(S×h)÷3 است. در این فرمول، S، مساحت قاعده هرم و h، ارتفاع هرم را نمایش می‌دهد.

اگر دو هرم دارای قاعده‌های با مساحت مساوی و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم آن‌ها چگونه است؟

اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم آن‌ها با هم برابر است.

حجم هرم چند قاعده دارد ؟

حجم هرم دارای یک قاعده است.