تابع تحلیلی — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشن از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، با توابع مختلط و حد و مشتق آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش، مفاهیم مربوط به «تابع تحلیلی» (Analytic Function) را ارائه کرده و با نقاط تکین توابع مختلط آشنا می‌شویم.

تعاریف و قضایای تابع تحلیلی

در این بخش، چند تعریف و قضیه مربوط به تابع تحلیل را بیان می‌کنیم.

تعریف ۱: تابع $$f ( z )$$ را در ناحیه $$\mathcal { R}$$ از صفحه مختلط تحلیلی می‌گوییم، اگر $$f ( z )$$ در هر نقطه از $$\mathcal { R}$$ دارای مشتق بوده و همچنین، تک‌مقداره باشد.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

تعریف ۲: تابع $$f ( z )$$ را در نقطه $$z$$ تحلیلی می‌گوییم، اگر $$z$$ یک نقطه درون ناحیه‌ای باشد که $$f ( z )$$ در آن تحلیلی است.

بنابراین، مفهوم تابع تحلیلی در یک نقطه بیان می‌کند که آن تابع در دایره‌ای به مرکز آن نقطه تحلیلی است.

نتیجه: اگر $$f ( z )$$ در نقطه $$z$$ تحلیلی باشد، آنگاه $$f ( z )$$ دارای همه مشتقات (همه مراتب) در نقطه $$z$$ است.

تابع مختلطی که بر تمام صفحه مختلط، تحلیلی باشد، «تابع تام» (Entire Function) نام داد.

شرایط تحلیلی بودن تابع مختلط

در ادامه، شرایط لازم و کافی تحلیلی بودن تابع را معرفی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

شرط لازم تحلیلی بودن

تابع مختلط زیر را در نظر بگیرید:

$$\large f ( x , y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )$$

از آنجا که $$x = ( z + z ^ * ) / 2$$ و $$y = ( z - z ^ * ) / 2$$، با جایگذاری $$x$$ و $$y$$، خواهیم داشت ($$z ^ *$$ مزدوج مختلط $$z$$ است):

$$\large f ( z , z ^ * ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )$$

یک شرط لازم برای تحلیلی بودن $$f ( z , z ^ * )$$ به صورت زیر است:

$$\frac { \partial f } { \partial z ^ * } = 0 . \;\;\;\;\; ( 1 )$$

بنابراین، یک شرط لازم برای تحلیلی بودن $$f = u + i v$$ این است که $$f$$ فقط به $$z$$ وابسته باشد. شرط (۱) را می‌توان برحسب بخش‌های حقیقی و موهومی $$u$$ و $$v$$ تابع $$f$$ به شکل معادل زیر بیان کرد:

$$\large \begin {align*} \frac { \partial u} { \partial x } & = \frac { \partial v} { \partial y } \;\;\;\;\; \;\;\; ( 2 ) \\ \frac { \partial u} { \partial y } & = - \frac { \partial v} { \partial x } \;\;\;\;\; ( 3 ) \end {align*}$$

معادلات (۲) و (۳)‌ به عنوان معادلات کوشی-ریمان شناخته می‌شوند. این معادلات شرایط لازم برای تحلیلی بودن $$f = u + i v$$ هستند.

شرایط لازم و کافی تحلیلی بودن تابع

شرایط لازم و کافی برای آنکه تابع $$f = u + i v$$ تحلیلی باشد، به شرح زیر است:

1. چهار مشتق $$\frac { \partial u } { \partial x }$$، $$\frac { \partial v } { \partial y }$$، $$\frac { \partial u } { \partial y }$$ و $$\frac { \partial v } { \partial x }$$ مربوط بخش‌های حقیقی و موهومی در معادلات کوشی-ریمان (۲) و (۳) صدق کنند.
2. چهار مشتق $$\frac { \partial u } { \partial x }$$، $$\frac { \partial v } { \partial y }$$، $$\frac { \partial u } { \partial y }$$ و $$\frac { \partial v } { \partial x }$$ مربوط بخش‌های حقیقی و موهومی، پیوسته باشند.

قضیه

اگر $$f ( z )$$ تحلیلی باشد، آنگاه داریم:

$$\large \begin {align*} & \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } = 0 \;\;\;\;\; ( 4 ) \\ & \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } = 0 \;\;\;\;\; ( 5 ) \end {align*}$$

بخش‌های حقیقی و موهومی یک تابع تحلیلی، توابع مزدوج هارمونیک هستند، یعنی جواب‌های معادله لاپلاس بوده و در معادلات کوشی-ریمان (۲) و (۳) صدق می‌کنند.

تکینگی توابع تحلیلی

نقاطی که در آن‌ها تابع $$f ( z )$$ تحلیلی نیست، نقاط تکین یا تکینگی‌های $$f ( z )$$ نامیده می‌شوند. دو نوع مختلف نقطه تکین وجود دارد: «نقاط تکین منفرد» (Isolated Singular Points) و «نقاط انشعاب» (Branch Points).

نقاط تکین منفرد

اگر $$f ( z )$$ در هر جایی از همسایگی نقطه $$z = a$$ (یعنی دایره $$\mathcal { C } : | z - a | = R$$) به جز خود نقطه $$z = a$$ تحلیلی باشد، آنگاه $$z = a$$ یک نقطه تکین منفرد $$f ( z )$$ نامیده می‌شود. تابع $$f ( z )$$ نمی‌تواند در نزدیکی یک نقطه تکین منفرد کران‌دار باشد.

قطب‌ها

اگر $$f ( z )$$ دارای یک نقطه تکین منفرد در $$z = a$$ باشد، یعنی $$f ( z )$$ در $$z = a$$ محدود نباشد، و علاوه بر این، عدد صحیح $$n$$ به گونه‌ای وجود داشته باشد که $$( z - a ) ^ n f ( z )$$ در $$z = a$$ تحلیلی باشد، آنگاه $$f ( z )$$ یک قطب مرتبه $$n$$ در $$z = a$$ دارد ($$n$$ کوچک‌ترین عدد صحیح است). توجه کنید از آنجا که $$( z - a ) ^ n f ( z )$$ در $$z = a$$ تحلیلی است، این تکینگی، یک تکینگی برداشتنی (Removable Singularity) نامیده می‌شود. برای مثال، $$f ( z ) = 1 / z ^ 2$$ یک قطب مرتبه ۲ در $$z = 0$$ دارد.

تکینگی‌های اساسی

یک نقطه تکین منفرد که یک قطب (تکینگی برداشتنی) نیست، نقطه تکین اساسی نامیده می‌شود. برای مثال، $$f ( z ) = \sin ( 1 / z )$$ یک تکینگی اساسی در $$z = 0$$ دارد.

نقاط انشعاب

وقتی $$f ( z )$$ یک تابع چندمتغیره باشد، هر نقطه‌ای که نتواند نقطه درونی ناحیه تعریف یک انشعاب تک‌مقداره از $$f ( z )$$ باشد، یک نقطه انشعاب تکین است. برای مثال، $$f ( z ) = \sqrt { z - a }$$ یک نقطه انشعاب در $$z = a$$ دارد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات مهندسی
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضیات مهندسی (مرور – تست کنکور ارشد)
• فراکتال چیست؟ — به زبان ساده
• توان و ریشه اعداد مختلط — از صفر تا صد
• فرم نمایی و قطبی اعداد مختلط — به زبان ساده

^^