مربع چیست؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادس، با برخی از اشکال ساده هندسی، مانند دایره و مثلث آشنا شدیم. در این آموزش به این پرسش پاسخ می‌دهیم که مربع چیست و چه ویژگی‌هایی دارد.

مربع چیست ؟

در هندسه، «مربع»‌ (Square) یک چندضلعی منتظم در صفحه دو بعدی با چهار ضلع مساوی است و هر چهار زاویه آن برابر با 90 درجه است.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

خصوصیات مستطیل تا حدودی شبیه یک مربع است، اما تفاوت این دو در این است که در یک مستطیل فقط اضلاع مقابل با هم برابرند و اندازه اضلاع مجاور آن با هم برابر نیست. بنابراین، مستطیل تنها در صورتی مربع خوانده می‌شود که طول هر چهار ضلع آن برابر باشد.

شکل بالا یک مربع را نشان می‌دهد که تمام اضلاع آن برابر و هر زاویه برابر با 90 درجه است. درست مثل مستطیل، می‌توان لوزی (یک چهار ضلعی محدب که هر چهار ضلع آن برابر است) را نیز در صورت داشتن یک زاویه قائمه، به عنوان یک مربع در نظر گرفت. به همین ترتیب، یک متوازی‌الاضلاع با دو ضلع مجاور مساوی و یک زاویه زاویه قائمه مربع است.

مربع شکلی ساده برای ساختن، برش زدن یا تشکیل مواد مختلف است. همچنین با چینش چندین مربع در کنار یکدیگر، می‌توانیم یک صفحه را بپوشانیم. تعداد کمی از چندضلعی‌های منتظم می‌توانند سطح را کامل بپوشانند و مربع یکی از آنهاست. به همین دلیل است که از مربع در ساخت، تزئین و تولید آثار هنری استفاده می‌شود. بسیاری از کاشی‌های کف و پنل‌های سقف مربع هستند و شکل کاشی و سرامیک حمام اغلب مربع است. هنرمندان و معماران از مربع‌ها بسیار استفاده می‌کنند. علاوه بر این، پایه هرم و وجه مکعب‌ها نیز مربع است.

می‌توانید مربع‌ها را در تصاویر، قاب عکس‌ها، جدول کلمات متقاطع، بلوک‌های ساختمانی اسباب‌بازی کودکان، کاشی‌ها و حتی کلیدهای روی صفحه‌کلید رایانه مشاهده کنید. در ژاپن از کاغذ مربع در هنر اوریگامی استفاده می‌شود.

ویژگی های مربع

مهم‌ترین خصوصیات یک مربع در زیر ذکر شده است:

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

• اندازه هر چهار زاویه داخلی برابر 90 درجه است.
• چهار ضلع مربع با هم سازگار یا برابر هستند.
• اضلاع مقابل مربع موازی یکدیگرند.
• قطرهای مربع با زاویه 90 درجه یکدیگر را نصف می‌کنند.
• دو قطر مربع با یکدیگر برابر هستند.
• مربع دارای 4 رأس و 4 ضلع است.
• قطر مربع آن را به دو مثلث متساوی‌الساقین مشابه تقسیم می‌کند.
• طول قطرهای مربع از اضلاع آن بزرگ‌تر است.

قطر مربع چیست ؟

«قطر» (Diagonal) مربع یک پاره‌خط است که دو رأس مقابل مربع را به هم متصل می‌کند (رأس محل برخورد دو ضلع مجاور است).

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

از آنجا که مربع چهار رأس دارد، بنابراین در یک مربع دو قطر وجود دارد. اندازه قطرهای مربع همیشه از اضلاع آن بزرگ‌تر است.

فرمول قطر مربع چیست ؟

مربع زیر را با طول ضلع $$a$$ در نظر بگیرید. اندازه قطر را نیز برابر با $$ d $$ در نظر می‌گیریم.

برای مثلث قائم‌الزاویه‌ای که با اضلاع $$a$$، $$a$$ و $$ d $$ تشکیل شده است، می‌توان رابطه فیثاغورس را به صورت زیر نوشت:

$$ \large a ^ 2 + a ^ 2 = d ^ 2 $$

بنبراین، قطر $$ d $$ به شکل زیر به دست می‌آید:

$$ \large d^ 2 = 2 a ^ 2 \Rightarrow d = \sqrt {2} a $$

محور تقارن مربع چیست ؟

محور تقارن خطی است که شکل را به دو نیمه کاملاً مشابه تقسیم می‌کند، به گونه‌ای که اگر شکل را روی خط تقارن تا کنیم، دو نیمه دقیقاً بر هم منطبق می‌شوند.  مربع چهار محور تقارن دارد. دو تا از محورهای تقارن مربع، قطرهای آن هستند. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد.

دو محور تقارن دیگر مربع خطوطی هستند که اضلاع آن را نصف می‌کنند. این دو محور تقارن در شکل زیر نشان داده شده است.

فرمول مساحت مربع چیست ؟

مساحت مربع با ضرب کردن اندازه یک ضلع در اندازه ضلع دیگر به دست می‌آید. چون در مربع همه اضلاع با هم برابر هستند، می‌توان گفت مساحت برابر با اندازه یک ضلع به توان 2 است. مثلاً اگر اندازه یک ضلع 5 باشد، مساحت برابر با 25 خواهد بود.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱ در فرادرس

کلیک کنید

مساحت مربع با ضلع

اگر اندازه ضلع مربع برابر با $$a$$ باشد، مساحت آن برابر است با:

$$ \large A = a ^ 2 = (\frac {d}{\sqrt 2})^2 = \frac {d ^ 2 }{2}$$

مساحت مربع با قطر

البته به روش دیگری هم می‌توان مساحت را حساب کرد. در این روش مساحت برابر با اندازه قطر مربع به توان 2 تقسیم بر 2 خواهد بود.

پیش‌تر گفتیم که رابطه $$d = \sqrt {2} a$$ و در نتیجه $$ a = \frac {d}{\sqrt {2}} $$ بین قطر و ضلع مربع برقرار است. بنابراین، مساحت مربع بر اساس قطر، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large A = a ^ 2 = (\frac {d}{\sqrt 2})^2 = \frac {d ^ 2 }{2}$$

در صورت علاقه به یادگیری فرمول‌های محاسبه مساحت مربع، مطالعه آموزش‌های رایگان زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• فرمول مساحت مربع چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• مساحت مربع به صورت جبری — فرمول‌های ریاضی + حل تمرین و مثال

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با چندضلعی‌ها و محاسبه مساحت و محیط آن‌ها، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، در چهار درس تهیه شده است.

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

• برای مشاهده فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) + اینجا کلیک کنید.

فرمول محیط مربع چیست ؟

برای به دست آوردن محیط مربع کافی است اندازه همه ضلع‌ها را با هم جمع کنیم. از آنجا که همه ضلع‌های مربع با هم برابر هستند، می‌توانیم یک ضلع را در چهار ضرب کنیم. در ادامه، فرمول محاسبه محیط مربع را با داشتن پارامترهای مختلف، بیان می‌کنیم.

مربعی با طول ضلع $$s$$، قطر $$d$$ و مساحت $$A$$ را در نظر بگیرید. محیط $$P$$ مربع را با استفاده از هریک از این موارد محاسبه می‌کنیم.

محیط مربع با ضلع

محیط مربعی به ضلع $$s$$ به صورت زیر است:

$$ \large {P = 4 s} $$

با توجه به رابطه بالا می‌توان اثبات کرد که طول ضلع مربع به محیط آن، همواره برابر یک‌چهارم است.

محیط مربع با قطر

اگر قطر مربع $$ d $$ باشد، محیط آن برابر خواهد بود با:

$$ \large {P = 2 \sqrt { 2 } d} $$

محیط مربع با مساحت

اگر مساحت مربع برابر با $$A$$ باشد، محیط آن با فرمول زیر به دست می‌آید:‌

$$ \large {P = 4 \sqrt { A} } $$

برای آشنایی بیشتر با فرمول‌های محاسبه محیط مربع، مطالعه آموزش‌های رایگان زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• فرمول محیط مربع چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• محیط مربع به صورت جبری — فرمول‌های ریاضی + حل تمرین و مثال