تحلیل تیرهای دارای تقارن مضاعف تحت بارگذاری مورب — به زبان ساده

در مباحث مربوط به تحلیل خمش نظیر «تحلیل تیرهای غیر منشوری در شرایط بارگذاری خمشی»، «طراحی تیر در شرایط بارگذاری خمشی»، «تمرکز تنش در بارگذاری خمشی» و دیگر مطالب این حوزه، رفتار تیرهای دارای تقارن در راستای طولی (صفحه xy در شکل زیر) را حین اعمال بارهای جانبی بر روی صفحه تقارنشان مورد بررسی قرار دادیم. در مطالب مذکور نشان دادیم که تنش‌های خمشی موجود در تیرهای متشکل از مواد همگن با رفتار الاستیک خطی به کمک رابطه خمش به دست می‌آید. در این مقاله، فرضیات قبلی را برای بارهای مورب اعمال شده بر تیرهای دارای تقارن مضاعف تعمیم خواهیم داد. در انتها نیز به منظور آشنایی بهتر با نحوه به کارگیری مفاهیم و روابط ارائه شده، به تشریح چند مثال کاربردی خواهیم پرداخت.

مقدمه

برای شروع تحلیل تیرهای دارای تقارن مضاعف، شکل زیر را در نظر بگیرید. در این تیر، هر دو صفحه xy و xz به عنوان صفحات تقارن به حساب می‌آیند. به منظور جلوگیری از ایجاد پیچش در حول محور طولی تیر، فرض می‌کنیم که محل اعمال بار مورب از مرکز هندسی سطح مقطع عبور می‌کند.

مقدار تنش‌های خمشی موجود در تیر بالا از تجزیه بار مورب به دو مؤلفه اعمال شده بر صفحات تقارن به دست می‌آید. پس از تعیین تنش‌های خمشی مربوط به هر یک از مؤلفه‌ها با استفاده از رابطه پیچش، مقدار تنش نهایی از برهم‌نهی این تنش‌ها محاسبه می‌شود.

قواعد علامت‌گذاری گشتاورهای خمشی

یکی از نکات اصلی در تحلیل گشتاورهای خمشی، تعیین قواعد علامت‌گذاری پیش از شروع تحلیل است. به این منظور، با ایجاد یک برش درون تیر، وضعیت بارهای اعمال شده بر سطح مقطع آن را مطابق شکل زیر مورد بررسی قرار می‌دهیم. در شکل زیر از بردارهای دو پیکانی برای نمایش گشتاور خمشی M_y حول محور y و گشتاور خمشی M_z حول محور z استفاده شده است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۱ و ۲ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

اگر نوک پیکان بردار گشتاور به سمت مثبت محور مربوطه اشاره کند، علامت آن مثبت خواهد بود. جهت چرخش گشتاور با استفاده از قانون دست راست بردارها به دست می‌آید (با قرار دادن انگشت شست در راستای اعمال بردار و تعیین ساعت‌گرد/پادساعت‌گرد بودن جهت چرخش با بررسی جهت چرخش باقی انگشت‌ها).

با توجه به شکل بالا، گشتاور خمشی مثبت M_y باعث ایجاد فشار در بخش سمت راست تیر (بخش منفی محور z) و کشش در بخش سمت چپ آن (بخش مثبت محور z) می‌شود. به همین ترتیب، گشتاور خمشی مثبت M_z، بخش بالایی تیر (بخش مثبت محور y) را تحت فشار و بخش پایینی آن (بخش منفی محور y) را تحت کشش قرار می‌دهد. علاوه بر این، توجه داشته باشید که گشتاورهای خمشی نمایش داده شده در شکل بالا، بر روی بخش مثبت محور x اعمال می‌شوند. در نتیجه، این گشتاورها بر وی صفحه‌ای قرار دارند که بردار نرمالش به جهت مثبت محور x اشاره می‌کند.

تنش‌های نرمال (تنش‌های خمشی)

تنش‌های نرمال حاصل از اعمال گشتاورهای خمشی M_y و M_z توسط رابطه پیچش مورد ارزیابی قرار می‌گیرند. پس از تعیین این تنش‌ها، تنش‌های ناشی از اعمال هم‌زمان گشتاورها با استفاده از برهم‌نهی تنش‌های نرمال محاسبه می‌شوند. به عنوان مثال، تنش‌های موجود در یکی از نقاط موجود بر روی مقطع عرضی زیر (نقطه A) را در نظر بگیرید. این نقطه در بخش مثبت محورهای y و z قرار دارد.

اعمال گشتاور مثبت M_y باعث ایجاد کشش در نقطه A و اعمال گشتاور مثبت M_z منجر به ایجاد کشش در نقطه مذکور می‌شود. به این ترتیب، تنش نرمال در نقطه A برابر است با:

I_y و I_z به ترتیب ممان اینرسی سطح مقطع تیر نسبت به محورهای y و z را نمایش می‌دهند. با استفاده از رابطه بالا می‌توان تنش‌های نرمال موجود در هر نقطه دلخواه بر روی سطح مقطع را محاسبه کرد. به این منظور، تنها باید مقادیر جبری گشتاورها و مختصات آن‌ها را درون این رابطه قرار داد.

محور خنثی

اگر تنش نرمال σ_x را برابر با صفر قرار دهیم، معادله مورد نیاز برای تعیین مختصات محور خنثی به دست می‌آید:

این معادله نشان می‌دهد که محور خنثی nn به صورت یک خط راست گذرنده از مرکز هندسی C است.

زاویه بین محور خنثی و محور z از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شود:

زاویه β بین مقادیر °90- تا °90+ تغییر می‌کند. مقدار و علامت به دست آمده برای این زاویه به مقدار و جهت‌گیری گشتاورهای خمشی بستگی دارد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

اطلاع از نحوه جهت‌گیری محور خنثی برای تعیین محل رخ دادن تنش نرمال ماکسیمم بر روی مقطع عرضی به کار می‌آید. به دلیل رابطه خطی بین مقدار تنش و فاصله آن‌ها تا محور خنثی، تنش ماکسیمم در دورترین نقطه (بیشترین فاصله) از محور خنثی رخ می‌دهد.

رابطه بین محور خنثی و زاویه اعمال بار

همان‌طور که در بخش قبلی نیز اشاره شد، جهت‌گیری محور خنثی نسبت به محور z با استفاده از گشتاورهای خمشی و ممان‌های اینرسی مشخص می‌شود. مرحله بعدی، تعیین جهت‌گیری محور خنثی نسبت به زاویه اعمال بار بر روی تیر است. به این منظور، تیر یکسر گیردار زیر را در نظر بگیرید. این تیر در معرض نیروی P قرار دارد که بر روی آخرین مقطع عرضی تیر اعمال می‌شود. زاویه بین نیروی مذکور با جهت مثبت محور y برابر با θ است. در این جهت‌گیری بخصوص، گشتاورهای خمشی M_y و M_z در محدوده θ=0 تا °θ=90 دارای علامت مثبت هستند.

به منظور تسهیل فرآیند تحلیل می‌توانیم بار P را به دو مؤلفه Pcosθ در جهت مثبت محور y و Psinθ در جهت منفی محور z تجزیه کنیم. به این ترتیب، گشتاورهای خمشی اعمال شده بر سطح مقطع (M_y و M_z) در فاصله x از تکیه‌گاه ثابت تیر از روابط زیر به دست می‌آیند:

L: طول تیر

نسبت این دو گشتاور برابر است با:

نسبت بالا نشان می‌دهد که بردار برآیند گشتاور M در زاویه θ نسبت به محور z قرار دارد. در نتیجه، بردار برآیند گشتاور به صفحه طولی دربرگیرنده نیروی P عمود است. مقدار زاویه β در فاصله بین محور خنثی nn و محور z نیز به صورت زیر تعیین می‌شود:

طبق رابطه بالا، زاویه β معمولاً با زاویه θ برابر نیست. بنابراین، محور خنثی در اغلب موارد بر صفحه طولی دربرگیرنده بار اعمال شده عمود نخواهد بود؛ مگر اینکه یکی از حالت‌های خاص زیر در مسئله وجود داشته باشد:

1. زمانی که بار بر روی صفحه xy (زاویه θ=0 یا θ=180) قرار داشته باشد. در این حالت، محور z همان محور خنثی است.
2. زمانی که بار بر روی صفحه xz (زاویه θ=±90) قرار داشته باشد. در این حالت، محور y همان محور خنثی است.
3. زمانی که ممان‌های اینرسی با هم برابر باشند (I_y=I_z).

در حالت سوم از موارد بالا، تمام محورهای گذرنده از مرکز هندسی سطح مقطع به عنوان محورهای اصلی در نظر گرفته می‌شوند؛ چراکه مقدار ممان اینرسی تمامی آن‌ها با یکدیگر برابر است.صفحه اعمال بار نیز همیشه به عنوان یکی از صفحات اصلی بوده و بر محور خنثی عمود است. این حالت در تیرهایی با سطح مقطع دایره‌ای و مربعی رخ می‌دهد.

به این ترتیب در حالت کلی، هیچ الزامی به عمود بودن محور خنثی بر صفحه اعمال بار وجود ندارد. این نکته، تأثیر زیادی بر روی تنش‌های موجود در تیر می‌گذارد؛ مخصوصاً اگر نسبت ممان‌های اینرسی اصلی عدد بزرگی باشد. در این شرایط، حساسیت تنش‌های موجود در تیر به تغییر جهت اعمال بار و همچنین تغییر راستای تیر افزایش می‌یابد. در مثال‌های انتهای مقاله می‌توان این ویژگی را به خوبی مشاهده کرد.

مثال‌های کاربردی

در این بخش به منظور آشنایی بهتر و بیشتر با نحوه تحلیل رفتار تیرهای دارای تقارن مضاعف در حین اعمال بارهای مورب، به تشریح دو مثال کاربردی می‌پردازیم.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال 1

شکل زیر، یک تیر یکسر گیردار با طول 12 فوت را نمایش می‌دهد که مقطع آن از نوع S24*80 است. بار P=10kips در راستای عمودی بر انتهای آزاد تیر اعمال می‌شود. به دلیل ضخامت کم تیر نسبت به ارتفاع آن، ممان اینرسی حول محور z بسیار بیشتر از ممان اینرسی حول محور y خواهد بود. با در نظر گرفتن اطلاعات مسئله، موارد زیر را تعیین کنید:

• الف) تنش خمشی ماکسیمم با فرض عمودی بودن محور y (هم‌راستا بودن جهت اعمال بار P و محور y)
• ب) تنش خمشی ماکسیمم با فرض وجود زاویه α=1° بین راستای اعمال بار و محور y (توجه داشته باشید که در واقعیت، این زاویه کوچک می‌تواند بر اثر اشکالات به وجود آمده در حین ساخت تیر، عدم تراز بودن تیر در حین نصب یا جابجایی سازه نگهدارنده ایجاد شده باشد.)

الف) تنش خمشی ماکسیمم در صورت هم‌راستا بودن بار P و محور y

اگر راستای عمودی تیر و جهت اعمال بار به طور کامل با یکدیگر مطابقت داشته باشند، محور z همان محور خنثی خواهد بود. در این حالت، مقدار تنش ماکسیمم با استفاده از رابطه پیچش به دست می‌آید:

h: ارتفاع تیر؛ I_z: ممان اینرسی حول محور z

به علاوه، M_z=-M=-PL و M_y=0 است. از این‌رو، M=PL تنش خمشی موجود در محل تکیه‌گاه خواهد بود. با جایگذاری مقادیر عددی در رابطه بالا، داریم:

این تنش در بالای تیر از نوع کششی و در پایین آن از نوع فشاری است.

ب) تنش خمشی ماکسیمم در صورت وجود زاویه بین بار P و محور y

در بخش دوم مسئله فرض می‌کنیم که یک انحراف کوچک در راستای تیر وجود دارد. این انحراف باعث ایجاد زاویه α=1° بین محور y و بار P می‌شود. مؤلفه بار P در راستای منفی y برابر Pcosα و در راستای مثبت z برابر Psinα است. به این ترتیب، برای محاسبه گشتاورهای خمشی موجود در تکیه‌گاه تیر داریم:

زاویه β (جهت‌گیری محور خنثی) از رابطه زیر به دست می‌آید:

مقدار بالا نشان می‌دهد که با وجود اختلاف زاویه 1 درجه‌ای بین راستای اعمال بار و محور y، محور خنثی 41 درجه نسبت به محور z اختلاف دارد. حساسیت محل قرارگیری محور خنثی به تغییر زاویه اعمال بار با نسبت I_z/I_y مشخص می شود.

با توجه به موقعیت محور خنثی در شکل بالا، دقت کنید که تنش‌های ماکسیمم اعمال شده بر تیر در نقاط A و B رخ می‌دهند. فاصله این نقاط تا محور خنثی بیشتر از فاصله نقاط دیگر تا این محور است. برای مختصات نقطه A داریم:

به این ترتیب، برای محاسبه تنش کششی موجود در این نقطه خواهیم داشت:

تنش اعمال شده بر نقطه B نیز دارای همین مقدار اما از نوع فشاری است:

مقدار بالا، 25 درصد از تنش ماکسیمم در بخش اول سؤال (σ_max=8230psi) بیشتر است. علاوه بر این، اعمال بار مورب باعث ایجاد اعوجاج جانبی تیر در راستای محور z می‌شود؛ در حالی که هنگام اعمال بار هم‌راستا با محور y چنین اتفاقی رخ نمی‌دهد. این مثال نشان می‌دهد که اگر اختلاف I_z با I_y زیاد باشد، امکان گسترش تنش‌های بزرگ در تیرهای تحت بارگذاری مورب حتی با زوایای کوچک نیز وجود دارد. در نتیجه، این تیرها باید با احتیاط کامل مورد استفاده قرار گیرند؛ چراکه در این موارد، احتمال اعمال تنش‌های اضافی به بخش جان و کمانش تیر افزایش می‌یابد. راه حل مقابله با این مسائل، به کارگیری نگهداری مناسب برای کناره‌های تیر است. به عنوان مثال، سطوح جانبی تیرچه کف‌های چوبی مورد استفاده در ساختمان‌سازی معمولاً با نصب بلوک در میان تیرچه‌ها نگهداری می‌شوند.

مثال 2

در شکل زیر، تیر چوبی AB با سطح مقطع مستطیلی به عنوان یک تیرک برای اتصال اجزای سقف مورد استفاده قرار گرفته است. این تیر توسط یال‌های بالاییِ دو خرپای مجاور نگهداری می‌شود. به علاوه، تیر AB در مقابل وزن پوشش و مواد به کار رفته در سقف، وزن خود و بارهای اضافی اعمال شده بر سقف (باد، برف و بارهای لرزه‌ای) مقاومت می‌کند.

در این مثال قصد داریم تنها تأثیر اعمال یک بار یکنواخت با شدت q=3.0kN/m در جهت عمودی و در محل مرکز هندسی سطح مقطع را در نظر بگیریم. بار مذکور در امتداد طول تیر اعمال شده و وزن آن را نیز شامل می‌شود.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۲ در فرادرس

کلیک کنید

یال‌های بالایی خرپاها دارای شیب 1 به 2 (زاویه α=26.57°) هستند. تیر مورد تحلیل دارای عرض b=100mm، ارتفاع h=150mm و طول L=1.6m است.

با توجه به اطلاعات مسئله، تنش کششی ماکسیمم، تنش فشاری ماکسیمم و محل قرارگیری محور خنثی را تعیین کنید.

بارها و گشتاورهای خمشی

بار یکنواخت اعمال شده در راستای عمودی را می‌توان مطابق شکل زیر به مؤلفه‌های بار در راستای y و z تجزیه کرد:

گشتاورهای خمشی ماکسیمم در میانه تیر رخ می‌دهند. مقدار این گشتاورها از رابطه کلی M=qL²/8 به دست می‌آید. به این ترتیب:

هر دو گشتاور بالا دارای علامت مثبت هستند؛ چراکه جهت‌گیری بردار آن‌ها به سمت راستای مثبت محورهای y و z است.

ممان اینرسی

ممان‌های اینرسی سطح مقطع عرضی نسبت به محورهای y و z عبارت‌اند از:

تنش‌های خمشی

تنش‌های موجود در مرکز سطح مقطع تیر از رابطه معرفی شده در ابتدای مقاله (رابطه σ_x) به دست می‌آیند. به منظور محاسبه مقدار گشتاور خمشی و ممان اینرسی موجود در این رابطه، از روابط بالا استفاده می‌کنیم:

با کمک رابطه بالا می‌توانیم مقدار تنش موجود در هر نقطه دلخواه بر روی سطح مقطع تیر را به دست بیاوریم. به این منظور، تنها باید مختصات نقطه مورد نظر را در این رابطه قرار دهیم.

با مشخص بودن جهت‌گیری سطح مقطع، راستای اعمال بار و امتداد گشتاورهای خمشی (شکل بالا) می‌توان مشاهده کرد که تنش فشاری ماکسیمم در نقطه D (با مختصات y=h/2 و z=-b/2) و تنش کششی ماکسیمم در نقطه E (با مختصات y=-h/2 و z=b/2) رخ می‌دهد. اگر مختصات این نقاط را درون رابطه قبلی وارد کرده و عبارت‌های آن را ساده کنیم، روابط مورد نیاز برای تعیین تنش‌های ماکسیمم و مینیمم موجود در تیر به دست می‌آیند:

جایگذاری مقادیر عددی

در ادامه با جایگذاری مقادیر عددی در روابط بالا، مقدار هر یک از پارامترهای مورد نظر را به دست می‌آوریم.

تنش‌های ماکسیمم

تنش‌های کششی و فشاری ماکسیمم با جایگذاری اطلاعات زیر در رابطه قبلی محاسبه می‌شود:

به این ترتیب داریم:

موقعیت محور خنثی

در اغلب موارد، علاوه بر تعیین مقدار تنش‌های موجود در تیر، محل قرارگیری محور خنثی نیز مورد بررسی قرار می‌گیرد. اگر رابطه به دست آمده برای تعیین تنش‌های ماکسیمم در بخش‌های قبل را برابر با صفر قرار دهیم، رابطه تعیین موقعیت محور خنثی به دست می‌آید:

محور خنثی نمایش داده شده در شکل زیر، خط nn است.

زاویه بین محور z و محور خنثی (زاویه β) نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

با جایگذاری مقادیر عددی در رابطه بالا، خواهیم داشت:

به دلیل برابر نبودن زاویه β با زاویه α، محور خنثی نسبت به صفحه اعمال بار دارای انحراف است. با توجه به جهت‌گیری محور خنثی می‌توان مشاهده کرد که نقاط D و E (نقاط دارای تنش ماکسیمم) در دورترین فاصله نسبت به محور مذکور قرار دارند. این نکته، فرض رخ دادن تنش تنش‌های ماکسیمم در این نقاط را تأیید می‌کند. تنش‌های موجود در قسمت بالا-راست محور خنثی، از نوع فشاری و تنش‌های موجود در بخش پایین-چپ محور خنثی از نوع کششی هستند.

^^