گاز کامل – از صفر تا صد

مقدمه

در سطح ماکروسکوپی، برای توضیح فیزیکی نمونه‌ای از یک گاز، به چهار کمیت زیر نیاز داریم:

• دما
• حجم
• مقدار گاز
• فشار

متغیرهای بالا، هیچکدام متغیر مستقلی نیستند و اگر از این چهار متغیر، سه متغیر را داشته باشیم، می‌توانیم متغیر چهارم را محاسبه کنیم و به این ترتیب، توصیفی فیزیکی از یک گاز داشته باشیم. حجم محفظه و تعداد ذرات گاز، مفاهیم مشخصی هستند اما برای درک گاز کامل باید توضیح مختصری از دما و فشار ارائه کنیم.

فشار

هر جسمی که با سطحی در تماس باشد، بر این سطح نیرویی وارد می‌کند. اگر سطح نیز به همان میزان، بر جسم نیرو وارد کند، جسم و سطح در تعادل مکانیکی قرار می‌گیرند. به طور مثال، هوای موجود در یک بالن، بر سطح داخلی بالن نیرو وارد می‌کند و این نیرو با مجموع نیروی هوای خارج و تنس کششی دیواره بالن برابر است.

فیلم آموزش قانون بویل‌–ماریوت و کاربرد گازها در فرادرس

کلیک کنید

سطح/نیرو = فشار (P)

با توجه به رابطه بالا، فشار به نیروی اعمال شده و اندازه سطح بستگی دارد. با این تعریف در می‌یابیم که اعمال مقدار مشخصی نیرو بر سطحی کوچکتر، فشار بیش‌تری را نتیجه می‌دهد. واحد فشار، بر اساس واحدهای نیرو و سطح تعریف می‌شود. به طور مثال، واحد SI فشار از واحدهای SI نیرو و سطح بوجود می‌آید و برابر با نیوتون بر متر مربع ($$N / m ^ 2$$)، موسوم به پاسکال (Pa) است. تبدیل واحد فشار بین پاسکال و نیوتون بر متر مربع را در زیر مشاهده می‌کنید.

$$\rm 1\; P a = 1 \; N /m^2$$

فشار بارومتری

$$P =\dfrac {F} {A}= \dfrac {m g} {A} =\dfrac {\rho V\cdot g} {A} =\dfrac { \rho \cdot Ah\cdot g} {A} = \rho gh\; kPa$$

• $$g$$: شتاب گرانش
• $$m$$: جرم
• $$\rho$$: چگالی
• $$V$$: حجم
• $$A$$: سطح
• $$H$$: ارتفاع ستون جیوه

$$\rm 1\; a t m = 760 \; m m H g = 760 \; t o r r = 1.01325 \times 10^5 \; P a = 101.325 \; k Pa$$

فشار گاز

در بررسی یک گاز کامل باید به بیان مفهوم فشار اعمال شده توسط گاز هم پرداخت. یک بارومتر، فشار ستون مایع یا فشار بارومتری را اندازه‌گیری می‌کند اما برای سنجش فشار گاز محبوس، از مانومتر بهره می‌گیرند. ویژگی اصلی یک مانومتر، داشتن لوله‌ای Uشکل حاوی جیوه است. این لوله Uشکل می‌تواند به صورت یک‌سر باز یا بسته باشد که این نوع از مانومترها در تصویر زیر نشان داده شده‌اند.

زمانیکه محفظه حبابی شامل هیچ گازی نباشد، ارتفاع دو ستون در لوله، یکسان است زیرا فضای بالای ستون جیوه در سمت چپ، برابر با خلا و تنها شامل مقادیر کمی از بخار جیوه است. اگر گاز موجود در محفظه حبابی آزاد شود، بر ستون جیوه سمت راست فشار اعمال می‌کند و در این حالت، دو طرف ستون با یکدیگر برابر نخواهند بود. فشار گاز، برابر با اختلاف ارتفاع ستون جیوه در دو طرف است.

اگر یک طرف مانومتر باز باشد، در اینصورت، تنها زمانی دو طرف ستون جیوه یک ارتفاع خواهند داشت که فشار محفظه حبابی، برابر با فشار بارومتری (فشار اتمسفر) باشد. اگر گاز داخل محفظه، فشار بیش‌تری داشته باشد، ستون سمت چپ، توسط این فشار اضافی بالا می‌رود. بنابراین، فشار گاز در محفظه، برابر با مجموع فشار بارومتری بعلاوه اختلاف ارتفاع دو ستون جیوه خواهد بود. اگر محفظه، فشاری کمتر از اتمسفر داشته باشد، این‌بار، ارتفاع ستون جیوه در سمت راست بالاتر می‌رود و فشار گاز برابر با فشار بارومتر منهای اختلاف ارتفاع دو ستون است.

دما

معادله حالت برای گاز کامل

طبق تعریف، گاز کامل به گازی می‌گویند که بین ذرات آن هیچ برهم‌کنشی وجود نداشته باشد. نمونه‌ای از یک گاز که در آن، تمامی برهم‌کنش‌ها یکسان باشند را با نام گاز ایده‌آل می‌شناسند. بنابراین، یک گاز کامل را می‌توان نوعی گاز ایده‌آل دانست اما همه گازهای ایده‌آل، گاز کامل نیستند.

اثبات قانون گاز کامل

رابطه بین کمیتی همچون حجم با سایر متغیرها (فشار، دما و تعداد ذرات) را به کمک ترکیب سه رابطه زیر و تبدیل آن‌ها به یک رابطه بدست می‌آوریم. این معادله به طور همزمان، سه رابطه زیر را توصیف می‌کند.

$$V \propto \dfrac{1}{P} \;\; \text{@ constant n and T}$$

$$V \propto T \;\; \text{@ constant n and P}$$

اصل آووگادرو: تناسب حجم با تعداد ذرات در دما و فشار ثابت

$$V \propto n \;\; \text{@ constant T and P}$$

با ترکیب سه رابطه بالا، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$V \propto \dfrac {n T} {P}$$

$$V = {\rm Cons.} \left ( \dfrac {n T } { P } \right)$$

$$V = \dfrac {n R T } {P}$$

برای حذف کسر، دو طرف معادله را در $$P$$ ضرب می‌کنیم.

$$P V = n R T$$

مقدار R را به کمک ضرب ثابت بولتزمن $$(N _ A)$$ در ثابت آووگادرو (k) بدست می‌آوریم.

$$R = N _ A k$$

استفاده از قانون گاز کامل

درصورتیکه سه متغیر از چهار متغیر مورد نیاز برای توصیف یک گاز کامل را داشته باشیم، محاسبه متغیر چهارم به کمک قانون گاز کامل بدست می‌آید. همچنین، به کمک این قانون، پیش‌بینی حالت نهایی یک نمونه گاز (دما، فشار، حجم و مقدار نهایی) به دنبال تغییر شرایط اولیه، امکان‌پذیر خواهد بود. برخی از کاربردهای قانون گاز کامل را در مثال زیر بررسی می‌کنیم. روش حل این‌گونه سوالات همواره به این‌صورت است که با نوشتن معادله گاز کامل شروع و مقادیر معلوم و مجهول را مشخص می‌کنیم. در مثال‌های زیر، سه متغیر معلوم و یک متغیر مجهول داریم.

مثال بکارگیری قانون گاز کامل

برای حل این سوال، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

• رابطه گاز کامل را برای متغیر مجهول، حل کنید.
• به واحد هر کمیت توجه داشته باشید و تبدیل واحد مناسب را برای جایگذاری در فرمول، بکار بگیرید.

مقادیر فشار، دما و حجم داده شده است و باید مقدار $$n$$ را محاسبه کنیم. با حل قانون گاز کامل برای $$n$$ خواهیم داشت:

$$n = \dfrac { P V } { R T }$$

واحدهای فشار و دما در این سوال باید به واحد مناسب در رابطه تبدیل شوند تا با واحد ثابت جهانی گازها مطابقت داشته باشند. در نتیجه، باید دما را به کلوین و فشار را به اتمسفر تبدیل کنیم.

$$T = 273+30 = 303 {\rm K}$$

$$\rm745\; m m H g \times \dfrac {1\;atm} {760\; m mH g }= 0.980\; a t m$$

با جایگذاری این دو رابطه در رابطه قبل برای $$n$$، تعداد مول هیدروژن مورد نیاز را بدست می‌آوریم:

$$n = \dfrac {P V } {R T } = \rm \dfrac {0.980\; atm \times 31150\; L } {0.08206 \dfrac {atm \cdot L} {\rm mol \cdot K}\times 303\; K } = 1.23$$

معادله عمومی گاز

زمانیکه یک نمونه گاز را در دو حالت مختلف بررسی می‌کنیم، باید در هر حالت به طور جداگانه، قانون گاز ایده‌آل را در نظر بگیریم. در نتیجه، ۲ حالت اولیه (i) و نهایی (f) باید بررسی شوند. در هر حالت، ثابت جهانی گازها عدد مشخصی خواهد بود و در نتیجه، با حل رابطه گاز ایده‌آل برای R و تساوی حالت اول و نهایی در رابطه بدست آمده، به معادله زیر می‌رسیم:

$$\dfrac {P _ i V _ i} {n_ i T _ i} = \dfrac { P _ f V_ f} {n_f T _ f }$$

رابطه بالا به معادله عمومی گاز یا «قانون ترکیبی گاز» (Combined Gas Law) معروف است. این رابطه زمانی کاربرد دارد که در دوحالت مختلف، یک یا دو خاصیت گاز، ثابت نگه‌داشته شوند، در چنین شرایطی، رابطه را با حذف مقادیر ثابت از دو طرف، ساده می‌کنیم.

مخلوط گاز کامل و قانون فشارهای جزئی دالتون

قانون گاز کامل فرض می‌کند که تمامی گازها، رفتاری مشابه دارند و این رفتار، مستقل از نیروهای جاذبه و دافعه است. اگر دما و حجم، ثابت نگه داشته شوند، معادله گاز کامل را می‌توان به گونه‌ای بازآرایی کرد که نشان دهد، فشار نمونه‌ای از گاز به طور مستقیم با تعداد مول‌های گاز موجود، مرتبط است:

$$P = n \left (\dfrac {R T } {V } \right ) = n \times \rm const.$$

$$P _{tot} = P_1+ P_2+ P_3+ P_4 \; ... = \sum_ {i=1} ^ n {P_ i}$$

در رابطه بالا، $$P _{tot}$$ برابر با فشار کل و سایر عبارات،‌ نشان‌گر فشارهای جزئی هستند.

در مخلوط دو گاز کامل A و B، می‌توان رابطه‌ای را برای فشار کل مخلوط گاز کامل به صورت زیر نوشت:

$$P _ {tot} =P _A + P_B = n _ A \bigg (\dfrac {R T} { V } \bigg) + n _B \bigg (\dfrac {R T } {V} \bigg) = (n _A+ n_B) \bigg (\dfrac {R T } { V } \bigg )$$

در حالت کلی، برای مخلوطی با n جزء، فشار کل برابر است با:

$$P _ {tot} = ( P_1+ P_2+ P_3+ \; \cdots +P _n ) \bigg(\dfrac{ R T }{V }\bigg)$$

$$P _ {tot} = \sum _ {i=1} ^n {n _ i}\bigg(\dfrac{RT}{V}\bigg)$$

رابطه بالا، قانون فشارهای جزئی دالتون را به شکل عمومی‌تری نشان می‌دهد و به طور صریح بیان می‌کند که در دما و حجم ثابت، فشار حاصل از یک گاز، تنها به تعداد مول گاز موجود بستگی دارد، خواه این گاز، خالص یا مخلوطی از هزاران ذره مختلف باشد. در حقیقت، برای درستی رابطه بالا، ماهیت ذرات موجود نباید تاثیری داشته باشند.

مثال محاسبه فشار جزئی

برای حل این سوال، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

از قانون گاز کامل برای محاسبه فشار جزئی هر گاز بهره می‌گیریم. سپس این فشارهای جزئی را با یکدیگر جمع می‌کنیم تا فشار کل مخلوط گازی بدست بیاید.

تعداد مول هلیوم: $$n _ {\rm H e } = \rm \dfrac {326.4\;g} {4.003\;g /mol}= 81.54\; mol$$

تعداد مول گاز اکسیژن: $$n_ {\rm O_2}= \rm \dfrac {51.2\;g} {32.00\; g/ mol } =1.60\;mol$$

حال از قانون گاز کامل کمک می‌گیریم تا فشار جزئی هر گاز را محاسبه کنیم:

$$P _ {\rm He}=\dfrac {n _ {\rm He}​ R T }{V } = \rm \dfrac {81.54\;mol \times0.08206\;\dfrac {atm \cdot L } {mol \cdot K} \times293.15\;K } {10.0\;L} =196.2\;atm$$