ممان اینرسی چیست؟ + روش محاسبه و فرمول به زبان ساده

ممان اینرسی یا لختی دورانی، مقاومتی است که اجسام در هنگام شروع به حرکت دایره‌ای یا توقف از حرکت دایره‌ای از خود به نمایش می‌گذارند. اجسام، همواره تمایل دارند وضعیت فعلی خود را حفظ کنند و هنگام تغییر وضعیت (از حالت سکون به حرکت یا حرکت به سکون)، مقاومت مشخصی را از خود به نمایش می‌گذارند. این مقاومت که به جرم جسم بستگی دارد، با عنوان اینرسی شناخته می‌شود. اگر تغییر وضعیت، در حرکت دورانی و شتاب زاویه‌ای مد نظر باشد، به مقاومت مذکور، ممان اینرسی/لختی دورانی می‌گویند. ممان اینرسی، از مباحث مهم در علوم مهندسی به شمار می‌رود. در این مقاله، به معرفی تعاریف و فرمول ممان اینرسی به همراه حل چند مثال می‌پردازیم. علاوه بر این، فرمول ممان اینرسی اشکال معروف هندسی را نیز معرفی می‌کنیم.

گشتاور چیست ؟

گشتاور، لنگر یا اصطلاحا «ممان» (Moment)، یک کمیت فیزیکی است که تاثیر نیروی اعمال شده بر یک نقطه از جسم را بر روی پیچش دیگر نقاط آن نمایش می‌دهد. از این‌رو، این کمیت، با عنوان «گشتاور پیچشی» (Torque) نیز شناخته می‌شود. برای درک بهتر مفهوم گشتاور، تصویر زیر را در نظر بگیرید.

در تصویر بالا، یک پیچ توسط آچار در حال بسته شدن است. شخصی که آچار را در دست دارد، به دسته آن نیرو وارد می‌کند. این نیرو، در انتهای آچار به صورت گشتاور به پیچ اعمال می‌شود و آن را در جهت باز یا بسته شدن می‌چرخاند. گشتاور، برابر با حاصل‌ضرب نیرو در فاصله است. فرمول گشتاور معمولا به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
M = F d \sin { ( \alpha ) }
$$

• M: گشتاور
• F: نیروی اعمال شده
• d: فاصله از محل اعمال نیرو
• α: زاویه بین راستای اعمال نیرو با d (در صورت راست بودن زاویه، عبارت سینوسی برابر با ۱ و از رابطه حذف می‌شود.)

 

مثال ۱: محاسبه گشتاور وارد به پیچ

شخصی در هنگام باز کردن یک پیچ، نیرویی معادل ۱۲۰ نیوتون را به دسته آچار وارد می‌کند. اگر فاصله بین دست تا پیچ برابر با ۰/۳ متر و زاویه بین دست با راستای این فاصله، برابر با ۱۱۵ درجه باشد، گشتاور وارد بر پیچ چقدر خواهد بود؟

تصویر بالا، پارامترهای معلوم و مجهول در صورت سوال را نمایش می‌دهد. بر اساس فرمول گشتاور، داریم:

$$
M = F d \sin { ( \alpha ) }
$$

• M: گشتاور وارد بر پیچ
• F: نیروی اعمال شده بر آچار برابر با ۱۲۰ نیوتن
• d: فاصله از محل اعمال نیرو برابر با ۰/۳ متر
• α: زاویه بین راستای اعمال نیرو با d برابر با ۱۱۵ درجه

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$
M = ۱۲۰ \times ۰/۳ \times \sin { ( ۱۱۵ ^ { \circ } ) }
$$

$$
M = ۳۲/۶۳
$$

در نتیجه، گشتاور وارد بر پیچ، برابر با ۳۲/۶۳ نیوتن متر است.

انواع گشتاور کدام هستند ؟

در حالت کلی، گشتاور، به صورت حاصل‌ضرب نیرو در فاصله تعریف می‌شود. این کمیت، انواع مختلفی دارد. از انواع پرکاربرد گشتاور می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• گشتاور اول سطح
• گشتاور اول جرم
• گشتاور دوم سطح
• گشتاور دوم جرم

«گشتاور اول سطح» (First Moment of Area)، از ضرب اندازه سطح (مساحت) در فاصله تا مرکز جرم سطح به دست می‌آید. این فاصله می‌تواند نسبت به محور X یا محور Y باشد. گشتاور اول سطح، معمولا به منظور تعیین موقعیت مرکز جرم مورد استفاده قرار می‌گیرد. این کمیت، با حرف Q نمایش داده می‌شود. تعریف گشتاور اول جرم نیز به همین شکل است؛ با این تفاوت که این گشتاور از ضرب اندازه جرم در فاصله تا مرکز جرم به دست می‌آید. در مجموع، مرکز جرم، پارامتر بسیار مهمی در محاسبه گشتاور اول است.

گشتاور دوم سطح چیست ؟

«گشتاور دوم سطح» (Second Moment of Area)، یکی از مشخصات هندسی جسم است که نحوه توزیع سطوح آن نسبت به یک محور دلخواه را نمایش می‌دهد. این مشخصه معمولا با حرف I یا J نمایش داده می‌شود. گشتاور دوم سطح، از رابطه انتگرالی زیر به دست می‌آید:

$$
I = \int y ^ ۲ d A
$$

مفهوم گشتاور دوم سطح، چندین شباهت و تفاوت با مفهوم گشتاور دوم جرم دارد. در بخش‌های بعدی، به معرفی این شباهت‌ها و تفاوت‌ها خواهیم پرداخت. پیش از این، باید مفهوم اینرسی را تعریف کنیم.

اینرسی چیست ؟

لختی یا «اینرسی» (Inertia)، کمیتی برای نمایش توانایی جسم برای مقابله در برابر تغییر وضعیت سکون یا حرکت است. اینرسی، از جرم مواد نشات می‌گیرد. هرچه جرم یک جسم بیشتر باشد، اینرسی آن بیشتر خواهد بود. به عبارت دیگر، به حرکت درآوردن آن از حالت سکون یا متوقف کردن آن در حین حرکت سخت‌تر می‌شود.

به عنوان مثال، یک سنگ کوچک و یک سنگ بزرگ را در نظر بگیرید. پرتاب سنگ کوچک، ساده‌تر از پرتاب سنگ بزرگ است. در واقع، سنگ کوچک، مقاومت کمتر در برابر تغییر وضعیت از خود نشان می‌دهد. این تفاوت، به دلیل تفاوت در جرم سنگ‌ها و اینرسی آن‌ها است. سنگ‌های کوچک، به دلیل وزن کمترشان، اینرسی کمتری دارند. به همین دلیل، راحت‌تر می‌توان آن‌ها را پرتاب کرد (از حالت سکون به حالت حرکت درآورد).

لختی دورانی یا ممان اینرسی چیست ؟

در بخش‌های قبلی، با مفهوم ممان یا گشتاور و انواع آن آشنا شدیم و فهمیدیم که اینرسی، اساسا همان جرم اجسام است. با این پیش‌زمینه، به سراغ تعریف ممان اینرسی می‌رویم. در حرکت دورانی یا حرکت دایره‌ای، جسم حول یک محور ثابت می‌چرخد. به این ترتیب، تمام ذرات جسم، بر روی یک مسیر دایره‌ای شکل و با سرعت ثابت، دوران می‌کنند. در این شرایط، حرکت ذرات، با یک شتاب زاویه‌ای همراه است.

لختی دورانی یا «ممان اینرسی» (Moment of Inertia)، توانایی جسم برای مقاومت در برابر شتاب زاویه‌ای است. این کمیت، از جمع حاصل‌ضرب‌های جرم هر ذره در مربع فاصله آن ذره تا محور دوران به دست می‌آید. ممان اینرسی، با عنوان گشتاور دوم جرم نیز شناخته می‌شود.

فرمول ممان اینرسی چیست ؟

ممان اینرسی، با حرف I نمایش داده می‌شود. فرمول این کمیت عبارت است از:

$$
I = \Sigma { m _ i r _ i ^ ۲ }
$$

• I: ممان اینرسی
• m_i: جرم ذره i ام
• r_i: فاصله ذره i ام از محور دوران

فرم انتگرالی فرمول ممان اینرسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
I = \int d I = \int _ ۰ ^ m r ^ ۲ d m
$$

اهمیت و کاربرد ممان اینرسی چیست ؟

ممان اینرسی، از مشخصات جرمی اشیا است که پایداری و نیروی مورد نیاز برای به حرکت درآوردن آن‌ها را توصیف می‌کند. به همین دلیل، این مشخصه به عنوان یکی از پارامترهای بسیار مهم در طراحی قطعات و سازه‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. مهندسی مکانیک، هوافضا، عمران و خودروسازی، از حوزه‌های شناخته شده در زمینه کاربرد لختی دورانی هستند.

ممان اینرسی، به ما نشان می‌دهد که برای رسیدن به یک شتاب زاویه‌ای مشخص، به چه مقدار گشتاور یا نیروی دورانی نیاز داریم. با ضرب این کمیت در شتاب زاویه‌ای، گشتاور یا نیروی مورد نیاز به دست می‌آید. هر چه ممان اینرسی بیشتر باشد، گشتاور مورد نیاز نیز بیشتر خواهد بود. طراحان با محاسبه دقیق این پارامتر می‌توانند بین ابعاد، وزن و کارایی سازه، تعادل خوبی را برقرار کنند.

مثال ۲: محاسبه ممان اینرسی

تصویر زیر، سیستمی متشکل از چندین ذره نقطه‌ای را نمایش می‌دهد. هر ذره، ۰/۳ کیلوگرم جرم داشته و تمام ذرات بر روی یک صفحه مشترک قرار دارند. با توجه به موقعیت قرارگیری محور دوران، ممان اینرسی سیستم را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن ممان اینرسی یا لختی دورانی سیستم بالا، ابتدا هر یک از نقاط ذره‌ای را شماره‌گذاری می‌کنیم.

فرمول لختی دورانی برای این سیستم، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
I = \Sigma { m _ i r _ i ^ ۲ }
$$

• I: ممان اینرسی
• m_i: جرم ذره i ام
• r_i: فاصله ذره i ام از محور دوران

به دلیل وجود سه نقطه در سیستم، فرمول بالا را به فرم زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$
I = ( m _ ۱ r _ ۱ ^ ۲ ) + ( m _ ۲ r _ ۲ ^ ۲ ) + ( m _ ۳ r _ ۳ ^ ۲ )
$$

از آنجایی که جرم تمام ذرات برابر است، نیازی به نوشتن آن‌ها با اندیس جداگانه نیست:

$$
I = ( m r _ ۱ ^ ۲ ) + ( m r _ ۲ ^ ۲ ) + ( m r _ ۳ ^ ۲ )
$$

از جرم m فاکتور می‌گیریم:

$$
I = m ( r _ ۱ ^ ۲ + r _ ۲ ^ ۲ + r _ ۳ ^ ۲ )
$$

پارامترهای رابطه بالا عبارت هستند از:

• I: ممان اینرسی سیستم
• m: جرم ذرات برابر با ۰/۳ کیلوگرم
• r_۱: فاصله ذره اول تا محور برابر با ۶۰ سانتی‌متر
• r_۲: فاصله ذره اول تا محور برابر با ۲۰ سانتی‌متر
• r_۳: فاصله ذره اول تا محور برابر با ۴۰ سانتی‌متر

در صورت سوال، فاصله‌ها بر حسب سانتی‌متر داده شده‌اند. برای حل مسئله، باید واحد آن‌ها را به متر تبدیل کنیم. بنابراین داریم:

• I: ممان اینرسی سیستم
• m: جرم ذرات برابر با ۰/۳ کیلوگرم
• r_۱: فاصله ذره اول تا محور برابر با ۰/۶ متر
• r_۲: فاصله ذره اول تا محور برابر با ۰/۲ متر
• r_۳: فاصله ذره اول تا محور برابر با ۰/۴ متر

اکنون، مقادیر بالا را در رابطه ممان اینرسی قرار می‌دهیم:

$$
I = ۰/۳ ( ۰/۶ ^ ۲ + ۰/۲ ^ ۲ + ۰/۴ ^ ۲ )
$$

$$
I = ۰/۳ ( ۰/۳۶ + ۰/۰۴ + ۰/۱۶ )
$$

$$
I = ۰/۳ \times ۰/۵۶
$$

$$
I = ۰/۱۶۸
$$

در نتیجه، ممان اینرسی سیستم مورد سوال برابر با ۰/۱۶۸ کیلوگرم در متر مربع است.

قضیه محورهای موازی در محاسبه ممان اینرسی

برای اغلب اجسام، ممان اینرسی، حول محور گذرنده از مرکز جرم محاسبه می‌شود. «قضیه محورهای موازی» (Parallel Axis Theorem)، به منظور محاسبه این کمیت، حول محورهای دیگر مورد استفاده قرار می‌گیرد. بر اساس این قضیه، ممان اینرسی یک جسم، حول محوری موازی با محور گذرنده از مرکز جرم آن، از جمع ممان اینرسی جسم حول محور گذرنده از مرکز جرم با حاصل‌ضرب جرم جسم در مربع فاصله دو محور به دست می‌آید.

برای درک بهتر این قضیه، تصویر بالا را در نظر بگیرید. ممان اینرسی جسم، حول محور موازی برابر است با:

$$
I = I _ c + M h ^ ۲
$$

• I: ممان اینرسی جسم حول محور موازی
• I_c: ممان اینرسی جسم حول محور گذرنده از مرکز جرم
• M: جرم جسم
• h: فاصله بین محور گذرنده از مرکز جرم و محور موازی با آن

مثال ۳: تعیین فرمول ممان اینرسی میله استوانه ای

یک میله استوانه‌ای به طول L و جرم M را در نظر بگیرید. لختی دورانی این میله را حول محور مرکزی به دست بیاورید. با استفاده از قضیه محورهای موازی، لختی دورانی حول محور موازی با محور مرکزی و گذرنده از انتهای میله را تعیین کنید.

تصویر بالا، محور گذرنده از مرکز جرم میله استوانه‌ای (O) و دیگر اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه گشتاور دوم جرم را نمایش می‌دهد. بر خلاف مثال ۲ (سیستم نقاط ذره‌ای)، اجزای یک میله، پیوسته هستند. به همین دلیل، برای به دست آوردن ممان اینرسی، باید فرم انتگرالی استفاده کنیم:

$$
I = \int d I = \int _ ۰ ^ m x ^ ۲ d m
$$

به دلیل توزیع یکنواخت جرم در میله، جرم بر واحد طول (λ) برابر است با:

$$ \lambda = \frac { M } { l } $$

اگر جرم جزئی میله (dm) را در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$ \lambda = \frac { d m } { d x } $$

$$ d m = \lambda d x $$

جرم بر واحد طول را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$ dm = \frac { M } { l } d x $$

dx، از $$ - \frac { L } { ۲ } $$ تا $$ frac { L } { ۲ } $$ تغییر می‌کند. با در نظر داشتن این موضوع و رابطه بالا، فرمول انتگرالی ممان اینرسی را بازنویسی می‌کنیم:

$$
I = \int _ { - \frac { L } { ۲ } } ^ { \frac { L } { ۲ } } x ^ ۲ ( \frac { M } { L } d x )
$$

$$ \frac { M } { L } $$، معلوم است. بنابراین، این کسر از انتگرال خارج و به پشت آن منتقل می‌شود:

$$
I = \frac { M } { L } \int _ { - \frac { L } { ۲ } } ^ { \frac { L } { ۲ } } x ^ ۲ d x
$$

انتگرال x۲ برابر است با:

$$
\int x ^ ۲ d x = \frac { x ^ ۳ } { ۳ }
$$

جواب این انتگرال را در بازه $$ - \frac { L } { ۲ } $$ تا $$ \frac { L } { ۲ } $$ در رابطه I قرار می‌دهیم:

$$
I = \frac { M } { L } [ \frac { x ^ ۳ } { ۳ } ] _ { - \frac { L } { ۲ } } ^ { + \frac { L } { ۲ } }
$$

$$
I = \frac { M } { L } [ \frac { L ^ ۳ } { ۲۴ } - ( - \frac { L ^ ۳ } { ۲۴ } ) ]
$$

$$
I = \frac { M } { L } [ \frac { L ^ ۳ } { ۲۴ } + \frac { L ^ ۳ } { ۲۴ } ]
$$

$$
I = \frac { M } { L } [ \frac { ۲ L ^ ۳ } { ۲۴ } ]
$$

$$
I = \frac { M } { L } [ \frac { L ^ ۳ } { ۱۲ } ]
$$

$$
I = M [ \frac { L ^ ۲ } { ۱۲ } ]
$$

$$
I = \frac { ۱ } { ۱۲ } m L ^ ۲
$$

رابطه بالا، فرمول ممان اینرسی میله استوانه‌ای شکل، حول محور گذرنده از مرکز جرم آن است. برای به دست آوردن ممان اینرسی، حول محور موازی و گذرنده از انتهای میله، دو راه حل داریم.

راه حل اول، استفاده از رابطه انتگرال (بخش اول مثال) است. راه حل دوم، استفاده از قضیه محورهای موازی است. بر اساس این قضیه، داریم:

$$
I = I _ c + M h ^ ۲
$$

• I: ممان اینرسی جسم حول محور موازی
• I_c: ممان اینرسی جسم حول محور گذرنده از مرکز جرم
• M: جرم جسم
• h: فاصله بین محور گذرنده از مرکز جرم و محور موازی با آن

با توجه به نتایج بخش اول سوال، ممان اینرسی جسم حول محور گذرنده از مرکز جرم برابر است با:

$$
I _ c = \frac { ۱ } { ۱۲ } m L ^ ۲
$$

فاصله بین محور گذرنده از مرکز جرم و محور موازی با آن، برابر است با:

$$
h = \frac { L } { ۲ }
$$

این روابط را درون قضیه محورهای موازی قرار می‌دهیم:

$$
I = \frac { ۱ } { ۱۲ } m L ^ ۲ + m ( \frac { L }{ ۲ } ) ^ ۲
$$

$$
I = \frac { ۱ } { ۱۲ } m L ^ ۲ + \frac { ۱ }{ ۴ } m L ^ ۲
$$

$$
I = \frac { ۱ } { ۱۲ } m L ^ ۲ + \frac { ۳ }{ ۱۲ } m L ^ ۲
$$

$$
I = \frac { ۱ + ۳ } { ۱۲ } m L ^ ۲
$$

$$
I = \frac { ۴ } { ۱۲ } m L ^ ۲
$$

$$
I = \frac { ۱ } { ۳ } m L ^ ۲
$$

به این ترتیب، فرمول ممان اینرسی میله استوانه‌ای به طول L و جرم M برای محورهای موازی به دست آمد. برای اطمینان از صحت این فرمول، می‌توان بار دیگر از روش انتگرالی نیز به آن رسید.

ممان اینرسی اجسام و اشکال مختلف

در این بخش، به معرفی فرمول ممان اینرسی برخی از اجسام و اشکال معروف و پرکاربرد می‌پردازیم.

فرمول ممان اینرسی نقطه چیست ؟

برای جرم‌های نقطه‌ای، هیچ ممان اینرسی حول محور گذرنده از مرکز جرم تعریف نمی‌شود. از این‌رو، لختی دورانی آن‌ها با استفاده از قضیه محورهای موازی به دست می‌آید. تصویر زیر را در نظر بگیرید. این تصویر، جرم نقطه‌ای M در فاصله r از یک محور موازی را نمایش می‌دهد.

با توجه به قضیه محورهای موازی، لختی دورانی نقطه برابر است با:

$$ I = M r ^ ۲ $$

فرمول ممان اینرسی دو نقطه چیست ؟

سیستمی با دو جرم نقطه‌ای m_۱ و m_۲ با جرم کاهش‌یافته μ را در نظر بگیرید.

ممان اینرسی این سیستم حول محور گذرنده از مرکز جرم آن (مرکز جرم کل سیستم)، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
I = \frac { m _ ۱ m _ ۲ } { m _ ۱ + m _ ۲ } x ^ ۲ = \mu x ^ ۲
$$

x، فاصله عمودی بین دو نقطه است.

ممان اینرسی میله چیست ؟

در مثال ۳، فرمول ممان اینرسی میله را تعیین کردیم. برای میله‌ای به طول L، جرم m و محور گذرا از مرکز جرم، این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
I _ c = \frac { ۱ } { ۱۲ } m L ^ ۲
$$

فرمول ممان اینرسی میله حول محورهای موازی انتهایی نیز عبارت است از:

$$
I _ e = \frac { ۱ } { ۳ } m L ^ ۲
$$

در فرمول‌های ارائه شده، فرض می‌شود که میله، طول بی‌نهایت نازک اما ساختاری صلب دارد.

ممان اینرسی حلقه دایره ای چیست ؟

تصویر زیر، یک حلقه دایره‌ای به شعاع r و جرم m را نمایش می‌دهد.

ممان اینرسی حلقه، حول محورهای افقی x و y و محور عمودی z برابر است با:

$$
I _ z = m r ^ ۲
$$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ } { ۲ } m r ^ ۲
$$

ممان اینرسی حلقه دارای ضخامت چیست ؟

اگر حلقه، دارای ضخامت (شعاع داخلی r_۱ و شعاع خارجی r_۲) باشد، فرمول محاسبه لختی دورانی آن به فرم زیر درمی‌آید:

$$
I _ z = \frac { ۱ }{ ۲ } m ( r _ ۱ ^ ۲ + r _ ۲ ^ ۲ )
$$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ }{ ۴ } m ( r _ ۱ ^ ۲ + r _ ۲ ^ ۲ )
$$

اگر چگالی سطح (جرم در واحد سطح) برای حلقه بالا، یک عدد ثابت باشد، لختی دورانی آن توسط روابط زیر محاسبه می‌شود:

$$
I _ z = \frac { ۱ }{ ۲ } \pi \rho _ A ( r _ ۲ ^ ۴ - r _ ۱ ^ ۴ )
$$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ }{ ۴ } \pi \rho _ A ( r _ ۲ ^ ۴ - r _ ۱ ^ ۴ )
$$

π، عدد ثابت ۳/۱۴ و $$ \rho _ A $$، چگالی سطح را نمایش می‌دهد.

ممان اینرسی دیسک توپر چیست ؟

دیسک توپر به شعاع r و جرم m را در نظر بگیرید.

فرمول ممان اینرسی دیسک بالا، حول محورهای دستگاه مختصات سه‌بعدی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
I _ z = \frac { ۱ }{ ۲ } m r ^ ۲
$$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ }{ ۴ } m r ^ ۲
$$

دیسک توپر، یک حالت خاص از استوانه توپر با ارتفاع صفر (h = ۰) است. ممان‌های اینرسی حول سه محور، به صورت زیر با یکدیگر رابطه دارند:

$$
I _ x = I _ y = \frac { I _ z }{ ۲ }
$$

به عبارت دیگر، ممان اینرسی حول محور Z، دو برابر همین ممان حول محورهای X و Y است. این ویژگی، از قضیه محورهای عمود نشات می‌گیرد.

ممان اینرسی استوانه توخالی چیست ؟

تصویر زیر، یک پوسته استوانه‌ای نازک با دو انتهای باز را نمایش می‌دهد. شعاع این استوانه برابر با r و جرم آن برابر با m است.

ممان اینرسی استوانه بالا، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ I \approx m r ^ ۲ $$

جواب فرمول بالا، به صورت تقریبی است؛ چراکه در آن از ضخامت استوانه صرفنظر می‌شود. این استوانه، حالت خاصی از لوله با شعاع داخلی و خارجی برابر (r_۱=r_۲) است. ممان اینرسی جرم نقطه‌ای m در انتهای میله‌ای به طول r نیز توسط رابطه بالا تعیین می‌شود. در این حالت، به r، شعاع ژیراسیون می‌گویند.

ممان اینرسی استوانه توپر چیست ؟

لختی دورانی استوانه توپر به شعاع r، ارتفاع h و جرم m، برابر است با:

$$
I _ z = \frac { ۱ }{ ۲ } m r ^ ۲
$$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ }{ ۱۲ } m ( ۳ r ^ ۲ + h ^ ۲ )
$$

استوانه توپر را می‌توان به عنوان حالت خاصی از لوله با شعاع داخلی صفر (r_۱=۰) در نظر گرفت.

ممان اینرسی لوله استوانه ای با جداره ضخیم چیست ؟

یک لوله استوانه‌ای با جداره ضخیم را در نظر بگیرید. این لوله، دارای شعاع داخلی r_۱، شعاع خارجی r_۲ و ارتفاع h است.

اگر جرم لوله بالا برابر با m باشد، لختی دورانی آن حول محور Z برابر با رابطه زیر خواهد بود:

$$
I _ z = \frac { ۱ } { ۲ } m ( r _ ۲ ^ ۲ + r _ ۱ ^ ۲ ) = m r _ ۲ ^ ۲ ( ۱ - t - \frac { t ^ ۲ } { ۲ } )
$$

t، از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$ t = \frac { r _ ۲ - r _ ۱ } { r _ ۲ } $$

این پارامتر، نسبت ضخامت نرمال‌شده را نمایش می‌دهد. لختی دورانی لوله حول محورهای X و Y، عبارت است از:

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ } { ۱۲ } m [ ۳ (r _ ۲ ^ ۲ + r _ ۱ ^ ۲ ) + h ^ ۲ ]
$$

فرمول بالا، لختی دورانی حول صفحه xy گذرنده از مرکز جرم لوله است. اگر این صفحه در کف لوله قرار داشته باشد (در $$ d = \frac { h } { ۲ } $$)، بر اساس قضیه محورهای موازی، ممان اینرسی برابر با رابطه زیر خواهد بود:

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ } { ۱۲ } m [ ۳ (r _ ۲ ^ ۲ + r _ ۱ ^ ۲ ) + ۴ h ^ ۲ ]
$$

در صورت یکسان بودن هندسه و چگالی سطح (ρ)، روابط لختی دورانی به فرم زیر نوشته می‌شوند:

$$
I _ z = \frac { ۱ }{ ۲ } \pi \rho h ( r _ ۲ ^ ۴ - r _ ۱ ^ ۴ )
$$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ }{ ۱۲ } \pi \rho h [ ۳ ( r _ ۲ ^ ۴ - r _ ۱ ^ ۴ ) + h ^ ۲ ( r _ ۲ ^ ۴ - r _ ۱ ^ ۴ ) ]
$$

ممان اینرسی هرم مثلثی چیست ؟

تصویر زیر، یک هرم با قاعده و وجه‌های مثلثی (مثلث متساوی‌الاضلاع) را نمایش می‌دهد. این هرم، یک چهاروجهی منتظم با ضلع‌هایی به اندازه s و جرم m است.

در صورت توپر بودن هرم بالا، لختی دورانی آن مطابق با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$ I _ {Solid} = \frac { ۱ }{ ۲۰ } m s ^ ۲ $$

اگر هرم، توخالی باشد، محاسبه لختی دورانی آن بر اساس رابطه زیر انجام می‌گیرد:

$$ I _ {hollow} = \frac { ۱ }{ ۱۲ } m s ^ ۲ $$

ممان اینرسی کره توخالی چیست ؟

کره توخالی به جرم m و شعاع r را در نظر بگیرید.

محاسبه لختی دورانی کره توخالی بالا از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$ I = \frac { ۲ } { ۳ } m r ^ ۲ $$

ممان اینرسی کره توپر چیست ؟

تصویر زیر، یک کره توپر به شعاع r و جرم m را نمایش می‌دهد.

لختی دورانی کره توپر بالا توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$ I = \frac { ۲ } { ۵ } m r ^ ۲ $$

ممان اینرسی پوسته کروی دارای ضخامت چیست ؟

یک پوسته کروی با ضخامت مشخص، شعاع داخلی r_۱، شعاع خارجی r_۲ و جرم m را در نظر بگیرید.

لختی دورانی کره دارای جداره ضخیم (ضخامت غیر قابل چشم‌پوشی)، توسط رابطه زیر تعیین می‌شود:

$$
I = \frac { ۲ }{ ۵ } m \frac { r _ ۲ ^ ۵ - r _ ۱ ^ ۵ } { r _ ۲ ^ ۳ - r _ ۱ ^ ۳ }
$$

اگر شعاع داخلی کره برابر با صفر باشد (r_۱=۰)، یک کره توپر به وجود می‌آید. در صورتی که شعاع داخلی با شعاع خارجی برابر باشد (r_۱=r_۲)، کره توپر به عنوان یک پوسته کروی توخالی در نظر گرفته می‌شود.

ممان اینرسی مخروط توپر و توخالی چیست ؟

تصویر زیر، یک مخروط قائم با شعاع r و ارتفاع h را نمایش می‌دهد.

اگر مخروط بالا، توپر باشد، می‌توانیم سه حالت را در نظر بگیریم. در تمام حالت‌ها، فرمول لختی دورانی مخروط توپر حول محور Z برابر است با:

$$ I _ z = \frac { ۳ }{ ۱۰ } m r ^ ۲ $$

در حالت اول، راس مخروط به عنوان محور دوران در نظر گرفته می‌شود. در این حالت، ممان‌های اینرسی حول محورهای X و Y، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
I _ x = I _ y = m ( \frac { ۳ } { ۲۰ } r ^ ۲ + \frac { ۳ } { ۵ } h ^ ۲ )
$$

در حالت دوم، محور دوران از درون قاعده گذر می‌کند. فرمول لختی دورانی برای این حالت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
I _ x = I _ y = m ( \frac { ۳ } { ۲۰ } r ^ ۲ + \frac { ۱ } { ۱۰ } h ^ ۲ )
$$

در حالت سوم، محور دوران از مرکز جرم مخروط می‌گذرد. برای این حالت، فرمول ممان اینرسی عبارت است از:

$$
I _ x = I _ y = m ( \frac { ۳ } { ۲۰ } r ^ ۲ + \frac { ۳ } { ۸۰ } h ^ ۲ )
$$

اگر مخروط، توخالی باشد، لختی دورانی حول محورهای سه‌گانه از روابط زیر به دست می‌آید:

$$ I _ z = \frac { ۱ } { ۲ } m r ^ ۲ $$

$$
I _ x = I _ y = \frac { ۱ } { ۴ } m ( r ^ ۲ + ۲ h ^ ۲ )
$$

ممان اینرسی صفحه مستطیلی شکل چیست ؟

تصویر زیر، یک صفحه مستطیلی شکل به طول h، عرض w و جرم m را نمایش می‌دهد.

اگر محور دوران، مانند تصویر بالا، از مرکز صفحه عبور کند، فرمول لختی دورانی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ I _ c = \frac { ۱ } { ۱۲ } m ( h ^ ۲ + w ^ ۲ ) $$

اکنون محور دوران را به انتهای صفحه انتقال در نظر بگیرید.

لختی دورانی صفحه مستطیلی بالا از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ I _ e = \frac { ۱ } { ۱۲ } m ( ۴ h ^ ۲ + w ^ ۲ ) $$

ممان اینرسی مکعب مستطیل توپر چیست ؟

مکعب مستطیل توپر زیر، دارای طول h، عرض w، ارتفاع d و جرم m است.

لختی دورانی مکعب مستطیل بالا، در راستای محورهای عمودی گذرنده از وجه‌های آن عبارت است از:

$$
I _ h = \frac { ۱ } { ۱۲ } m ( w ^ ۲ + d ^ ۲ )
$$

$$
I _ w = \frac { ۱ } { ۱۲ } m ( d ^ ۲ + h ^ ۲ )
$$

$$
I _ d = \frac { ۱ } { ۱۲ } m ( w ^ ۲ + h ^ ۲ )
$$

مکعب مربع، یکی از حالت‌های خاص مکعب مستطیل است که در آن، تمام لبه‌ها، اندازه برابر دارند. فرمول لختی دورانی مکعب مربع حول محور مرکزی، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ I _ { C M } = \frac { ۱ } { ۶ } m s ^ ۲ $$

اگر محور دوران از قطر بزرگ مستطیل عبور کند، فرمول ممان اینرسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
I = \frac { ۱ } { ۶ } m (\frac { W ^ ۲ D ^ ۲ + D ^ ۲ L ^ ۲ + W ^ ۲ L ^ ۲}{ W ^ ۲ + D ^ ۲ + L ^ ۲ } )
$$

در مکعب مربع، فرمول لختی دورانی حول قطر از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ I = \frac { ۱ } { ۶ } m s ^ ۲ $$

ممان اینرسی چند ضلعی منتظم چیست ؟

چندضلعی منتظم، از n ضلع با اندازه‌های برابر تشکیل می‌شود. علاوه بر این، این نوع چندضلعی، n زاویه داخلی مساوی دارد.

اگر شعاع دایره محیط بر چندضلعی منتظم برابر با R و وزن چندضلعی منتظم برابر با m باشد، لختی دورانی حول محور گذرنده از مرکز جرم، توسط رابطه زیر تعیین می‌شود:

$$
I = \frac { ۱ } { ۲ } m R ^ ۲ [ ۱ - \frac { ۲ } { ۳ } \sin ^ ۲ { ( \frac { \pi } { n } )} ]
$$

جدول ممان اینرسی اشکال هندسی

در بخش قبلی، روابط مربوط به محاسبه ممان اینرسی شکل‌های مهم و پرکاربرد را معرفی کردیم. جدول زیر، خلاصه‌ای از این روابط را به همراه چند رابطه دیگر نمایش می‌دهد.

تفاوت گشتاور دوم سطح با ممان اینرسی

به دلیل شباهت‌های زیاد بین فرمول ممان اینرسی با گشتاور دوم سطح و شباهت اسمی بین این دو (گشتاور دوم جرم و گشتاور دوم سطح)، امکان اشتباه در تعریف و استفاده کمیت‌های مذکور وجود دارد. در جدول زیر، تفاوت‌های اصلی این کمیت‌ها آورده شده‌اند.

محاسبه آنلاین ممان اینرسی

ابزارهای اینترنتی مختلفی برای محاسبه ممان اینرسی وجود دارند. یکی از این ابزارها، ماشین حساب سایت OmniCalculator (+) است. تصویر زیر، نمایی از ماشین‌حساب ممان اینرسی (گشتاور دوم جرم) برای اشکال معروف هندسی را نمایش می‌دهد.

در کادر مقابل عنوان «Figure»، امکان انتخاب شکل مورد نظر فراهم شده است.

به عنوان مثال، اگر گزینه «Spherical Shell» را از بخش مذکور انتخاب کنیم، کادرهای مربوط به وارد کردن پارامترهای محاسبه ممان اینرسی پوسته کروی (جرم، شعاع داخلی و شعاع خارجی) به نمایش درمی‌آیند.

با وارد کردن مقادیر مورد نظر، نتیجه ممان اینرسی در کادر مقابل «Moment of Inertia» نشان داد می‌شود.

در صورت تمایل می‌توانید یکای هر یک از پارامترهای ورودی و خروجی مورد نظر را تغییر دهید.

سوالات متداول در رابطه با ممان اینرسی

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با ممان اینرسی به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

تعریف ممان اینرسی یعنی چه ؟

ممان اینرسی، مقاومت ذرات جسمِ در حال حرکت دورانی، در برابر شتاب زاویه‌ای است.

نام دیگر ممان اینرسی چیست ؟

ممان اینرسی، با عنوان «لختی دورانی» و «گشتاور دوم جرم» نیز شناخته می‌شود.

منشا وجود ممان اینرسی چیست ؟

جرم جسم، دلیل وجود ممان اینرسی و مقاومت آن در برابر شتاب زاویه‌ای است.

رابطه ممان اینرسی با جرم جسم چگونه است ؟

ممان اینرسی با جرم جسم، رابطه مستقیم دارد. هرچه جرم بیشتر باشد، این پارامتر (مقاومت در برابر شتاب زاویه‌ای) نیز بیشتر می‌شود.

یکای ممان اینرسی چیست ؟

واحد ممان اینرسی در سیستم بین‌المللی (SI)، کیلوگرم در متر مربع است. در سیستم‌های دیگر، یکای این کمیت، به صورت حاصل‌ضرب جرم در مربع طول بیان می‌شود.

دلیل نامگذاری ممان اینرسی چیست ؟

ممان اینرسی، از دو کلمه «ممان» به معنای گشتاور یا نیروی دورانی و «اینرسی» به معنای لختی یا مقاومت در برابر تغییر حالت تشکیل می‌شود. این دو کلمه، ماهیت ممان اینرسی (نیروی دورانی مورد نیاز برای غلبه بر حالت جسم در حرکت دورانی) را نمایش می‌دهد.

آیا ممان اینرسی یک کمیت تانسور است ؟

بله. ممان اینرسی، هم دارای مقدار و هم دارای جهت است؛ اما از اصول محاسبات بردارها پیروی نمی‌کند. به این ترتیب، این کمیت، به عنوان یک کمیت تانسور در نظر گرفته می‌شود.

ممان اینرسی چگونه بدست می آید ؟

ممان اینرسی، از مجموع یا انتگرال حاصل‌ضرب جرم‌های جزئی جسم در مربع فاصله آن‌ها تا یک محور مشخص به دست می‌آید.

علامت ممان اینرسی چیست ؟

رایج‌ترین و شناخته شده‌ترین علامت برای نمایش ممان اینرسی، حرف I است.

فرمول ممان اینرسی چیست ؟

فرمول انتگرالی ممان اینرسی به فرم I=∫r۲dm نوشته می‌شود. r، فاصله هر بخش از جرم m یا همان dm از محور مورد نظر را نمایش می‌دهد.

ممان اینرسی در کجا کاربرد دارد ؟

ممان اینرسی، در خودروسازی، هواپیماسازی، کشتی‌سازی، مکانیک و عمران کاربرد دارد. قطعاتی نظیر فلایویل، شفت‌ها، تیرها و غیره، با کمک مفهوم لختی دورانی طراحی می‌شوند.