معادلات تفاضلی | آموزش جامع و به زبان ساده

معادلات دیفرانسیل برای مدل‌سازی سیستم‌هایی به کار می‌روند که به صورت پیوسته در حال تغییر هستند. اما اگر تغییر به جای آنکه پیوسته باشد، به صورت گسسته اتفاق بیفتد، معادلات دیفرانسیل کاستی‌هایی خواهند داشت. در این صورت، از معادلات تفاضلی که دنباله‌هایی بازگشتی هستند استفاده می‌کنیم. در این آموزش، با معادلات تفاضلی آشنا می‌شویم.

تعریف معادله تفاضلی

«معادله تفاضلی» (Difference Equation) مرتبه اول، یک دنباله تعریف شده بازگشتی به فرم زیر است:

$$ \large y _ { n + 1 } = f ( n , y _ n ) \; \; \; n = 0 , 1 , 2 , \dots . $$

آنچه این معادله را مرتبه اول می‌کند، این است که فقط باید آخرین مقدار قبلی را بدانیم تا مقدار بعدی را پیدا کنیم. این معادله، در واقع از معادله دیفرانسیل نیز به دست می‌آید:

$$ \large y' = g ( n , y ( n ) ) . $$

با یادآوری تعریف حدی، می‌توان مشتق را این‌گونه نوشت:

$$ \large \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { y \left ( n + h \right ) - y \left ( n \right ) } { h } $$

اگر $$h$$ و $$n$$ را اعداد صحیحی در نظر بگیریم، آنگاه کوچکترین $$h$$ غیر از 0، برابر با ۱ خواهد بود و معادله دیفرانسیل به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \large y ( n + 1 ) - y ( n ) = g ( n , y ( n ) ) $$

$$ \large y ( n + 1 ) = y ( n ) +g ( n , y ( n ) ) . $$

اکنون می‌توان نوشت:

$$ \large f ( n , y ( n ) ) = y ( n ) +g ( n , y ( n ) ) $$

و با نماد دنباله‌ها، داریم:

$$ \large y _ { n + 1 } = f ( n , y _ n ) . $$

اگر معادلات تفاضلی مرتبه اول فقط به $$y_ n $$ وابسته باشد (به زبان معادلات دیفرانسیل، خودگردان باشد)، می‌توان نوشت:

$$ \large y _ 1 = f ( y _ 0 ) , y _ 2 = f ( y _ 1 ) = f ( f ( y _ 0 ) ) , $$

$$ \large y _ 3 = f ( y _ 2 ) = f ( f ( f ( y _ 0 ) ) ) = f _ 3 ( y _ 0 ) . $$

در حالت کلی، داری:

$$ \large y _ n = f _ n ( y _ 0 ) . $$

جواب‌های معادله متناهیِ

$$ \large y _ { n + 1 } = y _ n $$

نقاط تعادل نامیده می‌شوند و به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ \large y _ n = f ( n , y _ n ) . $$

معادلات تفاضلی متناهی، خطی نامیده می‌شوند، اگر $$f(n,y_n)$$ تابعی خطی از $$ y _ n $$ باشد.

مثالی از معادلات تفاضلی

فرض کنید هر ساله ۱۰۰۰ ماهی قزل‌آلا از استخری با تور شکار می‌شوند و ۳۰ درصد احتمال زنده ماندن و بازگشت آن‌ها در سال بعد وجود دارد. می‌خواهیم بررسی کنیم که هر سال چه تعداد ماهی صید می‌شود و در آینده بسیار دور جمعیت ماهی‌ها چقدر خواهد بود.

این مسئله، یک معادله تفاضلی خطی به صورت زیر است:

$$ \large y _ { n + 1 } = 0 . 3 y _ n + 1 0 0 0 . $$

بنابراین، داریم:

$$ \large y _ 0 = 1 0 0 0 , $$

$$ \large y _ 1 = 0 . 3 y _ 0 + 1 0 0 0 , $$

$$ \large y _ 2 = 0 . 3 y _ 1 + 1 0 0 0 = 0 . 3 ( 0 . 3 y _ 0 + 1 0 0 0 ) + 1 0 0 0 $$

$$ \large \begin {align*} y _ 3 &= 0 . 3 y _ 2 + 1 0 0 0 = 0 . 3 ( 0 . 3 ( 0 . 3 y _ 0 + 1 0 0 0 ) + 1 0 0 0 ) + 1 0 0 0 \\ &= 1 0 0 0 + 0 . 3 ( 1 0 0 0 ) + 0 . 3 ^ 2 ( 1 0 0 0 ) + 0 . 3 ^ 3 y _ 0 . \end {align*} $$

و در حالت کلی، داریم:

$$ \large y _ n = 1 0 0 0 ( 1 + 0 . 3 + 0 . 3 ^ 2 + 0 . 3 ^ 3 + . . . + 0 . 3 ^ { n - 1 } ) + 0 . 3 ^ n y _ 0 . $$

جمله اول یک سری هندسی است، بنابراین می‌توان معادله را به صورت زیر نوشت:

$$ \large y _ n = \dfrac { 1 0 0 0 ( 1 - 0 . 3 ^ n ) } { 1 - 0 . 3 } + 0 . 3 ^ n y _ 0 . $$

در نهایت، تعداد ماهی‌ها $$\dfrac{1000}{7} = 1429 $$ خواهد بود.

معادلات تفاضلی و پایداری

به طور کلی، برای معادله تفاضلی خطی مرتبه اولِ

$$ \large y _ { n + 1 } = r y _ n + b $$

جواب به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y _ n = \dfrac { b ( 1 - r ^ n ) } { 1 - r } + r ^ n y _ 0 . $$

معادله لجستیک زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large y' = r y \left ( 1 - \dfrac { y } { K } \right ) $$

پس از کمی عملیات، می‌توان آن را با معادله تفاضلی مدل‌سازی کرد:

$$ \large u _ { n + 1 } = r u _ n ( 1 - u _ n ) . $$

نقاط تعادل را می‌توان با حل معادله زیر به دست آورد:

$$ \large u _ n = r u _ n ( 1 - u _ n ) . $$

که به صورت زیر هستند:

$$ u _ n = 0 $$  یا  $$u_n = \frac{r - 1}{r} $$

برای بررسی پایداری نقاط تعادل، مقادیر بسیار نزدیک به مقدار تعادل $$u_n $$ را در نظر می‌گیریم. برای نقطه اول، $$u_ n $$ بسیار بزرگ‌تر از $$(u_n)^2 $$ است. بنابراین، تقریب معادله لجستیک به شکل زیر خواهد بود:

$$ \large u _ { n + 1 } = r u _ n ( 1 - u _ n ) = r u _ n - r u _ n ^ 2 \approx r u _ n . $$

برای $$|r| < 1$$، عبارت بالا به صفر میل می‌کند، بنابراین نقطه تعادل پایدار است.

برای سایر نقاط تعادل، داریم:

$$ \large u _ n = \frac { r - 1 } { r } + v _ n . $$

بنابراین، نقطه تعادل به صورت زیر است:

$$ \large v_n = 0 .$$

با جایگذاری در معادله تفاضلی، داریم:

$$ \large v _ { n + 1 } = ( 2 - r ) v _ n . $$

برای نامساوی‌های زیر، عبارت بالا به صفر میل می‌کند:

$$ \large |2 - r| < 1 $$ و $$ \large 1 < r < 3 $$

بنابراین، نقطه تعادل در این محدوده پایدار است.

معادلات تفاضلی و تبدیل z

در این بخش، از تبدیل z برای حل برخی از معادلات تفاضلی استفاده می‌کنیم. این کار با تبدیل معادلات تفاضلی به معادلات جبری معمولی انجام می‌شود. بدین منظور، هر دو معادله تفاضلی مرتبه اول و دوم را بررسی خواهیم کرد. موضوع اصلی در این فرایند، استفاده از گسترش کسرهای جزئی و عکس تبدیل z است.

با استفاده از تبدیل z، به ویژه قضایای آن، می‌توان انواع خاصی از معادله تفاضلی را حل کرد. به طور خاص، معادلات تفاضلی با ضرایب ثابت خطی با تکنیک تبدیل z قابل حل هستند، اگرچه انواع دیگر آن‌ها نیز با این روش حل می‌شوند. تمام معادلات تفاضلی زیر مثال‌هایی خطی هستند:

(۱) $$ y_{n+1} = y _ n + d $$

(۲) $$ y _{n+1} = A y _ n $$

(۳) $$ y _ { n + 2 } = y _ { n + 1 } + y _ n $$

(۴) $$ y _ { n + 2} + 4 y _ { n + 1 } - 3 y _ n= n ^ 2 $$

(۵) $$ y _ { n + 1 } + y _ n = n 3 ^ n $$

نکته مهم این است که برای معادلات تفاضلی خطی، هر جمله $$\{y_n\}$$ از دنباله، حداکثر توان ۱ داشته باشد، به عبارت دقیق‌تر، عبارتی با بزرگ‌ترین اندیس باید برحسب ترکیبی خطی از عباراتی با اندیس کوچک‌تر باشد. بنابراین، همه نمونه‌های بالا خطی هستند. توجه داشته باشید که جمله $$ n ^ 2 $$ در مثال چهارم به معنای غیرخطی بودن نیست، زیرا خطی بودن با جملات $$y$$ مشخص می‌شود. معادله $$ y _ { n + 2} + 4 y _ { n + 1 } - 3 y _ n= n ^ 2 $$ با ضرایب ثابت است. این ضرایب، $$ 1$$، $$ 4 $$ و $$ - 3 $$ هستند.

مثال‌هایی از معادلات تفاضلی غیرخطی به صورت زیر هستند:

(۱) $$ y _ { n + 1 } = \sqrt { y _ n + 1 } $$

(۲) $$ y _ { n + 1 } ^ 2 + 2 y_ n = 3 $$

(۳) $$ y _ { n + 1 } y _ n = n $$

(۴) $$ \cos (y_ { n + 1 } ) = y _ n $$

از طرفی، معادله $$ n y _ { n + 2 } - y _ { n + 1 } + y _ n = 0 $$ دارای ضرایب متغیر است، زیرا $$ n $$ یک ضریب ثابت نیست.

حل معادلات تفاضلی مرتبه اول

معادله تفاضلی مرتبه اول خطی زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large y _ { n + 1 } - 3 y _ n = 4 ,\;\; n = 0 , 1 , 2 , ... $$

با فرض اینکه مقدار $$ y _ 0 $$ را می‌دانیم، این معادله را می‌توان گام به گام به صورت بازگشتی نوشت:

$$ \large y _ 1 = 4 + 3 y _ 0 \\
\large y _ 2 = 4 + 3 y _ 1 \\
\large y _ 3 = 4 + 3 y _ 2 \\
\large ... $$

این روند جملات دنباله $$ \{y _ n\} $$ را مشخص می‌کند، اما فرم عمومی $$ y _ n $$ را نمی‌توان از روی آن تشخیص داد.

معادله زیر را با شرایط اولیه $$ y _ 0 = 1 $$ در نظر بگیرید:

$$ \large y _ { n + 1 } - 3 y _ n = 4 ,\;\; n = 0 , 1 , 2 , ... $$

طرفین این معادله را در $$ z ^ { - n } $$ ضرب می‌کنیم و مجموع طرفین را برای تمام اعداد صحیح غیرمنفی می‌نویسیم:

$$ \large \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left ( y _ { n + 1 } - 3 y _ { n } \right ) z ^ { - n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 4 z ^ { - n } $$

یا

$$ \large \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } y _ { n + 1 } z ^ { - n } - 3 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } y _ { n } z ^ { - n } = 4 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } z ^ { - n } $$

سه عبارت معادله اخیر تعریف تبدیل z را نشان می‌دهند.

تبدیل z عبارت سمت راست که دنباله ثابت $$4$$‌ است، برابر با $$ \frac {4z} {z-1} $$ است.

اگر $$ Y ( z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } y _ { n } z ^ { - n } $$ تبدیل z دنباله $$\{ y _ n \} $$ باشد، آنگاه $$ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } y _ { n + 1 } z ^ { - n } = z Y ( z ) - z y _ { 0 } $$ طبق خاصیت جابجایی چپ، به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large z Y ( z ) - z y _ { 0 } - 3 Y ( z ) = \frac { 4 z } { z - 1 } $$

معادله اخیر تبدیل z معادله تفاضلی بالا است. نکته مهم این است که تبدیل z بالا، دیگر یک معادله تفاضلی نیست، بلکه یک معادله جبری است که در آن، مجهول $$ Y( z ) $$ تبدیل z دنباله $$\{y_n\}$$ یا همان جواب است.

اکنون با توجه به شرایط اولیه $$ y _ 0 = 1 $$، عبارت $$ Y ( z ) $$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {array} { l }
( z - 3 ) Y ( z ) - z = \frac { 4 z } { ( z - 1 ) } \\
\qquad ( z - 3 ) Y ( z ) = \frac { 4 z } { z - 1 } + z = \frac { z ^ { 2 } + 3 z } { z - 1 } \\
\end {array} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large Y ( z ) = \frac { z ^ { 2 } + 3 z } { ( z - 1 ) ( z - 3 ) } $$

اکنون برای اینکه بتوانیم عکس تبدیل z را محاسبه کنیم، از گسترش کسرهای جزئی کمک می‌گیریم:

$$ \large \begin {aligned}
Y ( z ) & = z \frac { ( z + 3 ) } { ( z - 1 ) ( z - 3 ) } \\
& = z \left ( \frac { - 2 } { z - 1 } + \frac { 3 } { z - 3 } \right ) \end {aligned} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large Y ( z ) = \frac { - 2 z } { z - 1 } + \frac { 3 z } { z - 3 } $$

حال از تبدیل معکوس z استفاده می‌کنیم و با استفاده از خاصیت خطی آن، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large y _ { n } = - 2 \mathbb { Z } ^ { - 1 } \left \{ \frac { z } { z - 1 } \right \} + 3 \mathbb { Z } ^ { - 1 } \left \{ \frac { z } { z - 3 } \right \} $$

که جواب آن به صورت زیر است:

$$ \large y _ { n } = - 2 + 3 \times 3 ^ { n } = - 2 + 3 ^ { n + 1 } \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots $$

حل معادلات تفاضلی مرتبه دوم

در این بخش با حل معادلات تفاضلی مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت آشنا می‌شویم. در این معادله‌ها دو شرط اولیه $$ y_0 $$ و $$ y _ 1 $$ یا $$ y _ { - 1 } $$ و $$ y _ { - 2 } $$ لازم است.

برای مثال، می‌خواهیم معادله تفاضلی زیر را حل کنیم:

$$ \large y _ { n + 2 } = y _ { n + 1 } + y_ n $$

که در آن، شرایط اولیه $$ y _ 0 = y _ 1 = 1 $$ است.

از معادله تبدیل z می‌گیریم و $$ Y ( z) $$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {aligned} z ^ { 2 } Y ( z ) - z ^ { 2 } y _ { 0 } - z y _ { 1 } & = z Y ( z ) - z y _ { 0 } + Y ( z ) \\ z ^ { 2 } Y ( z ) - z ^ { 2 } - z & = z Y ( z ) - z + Y ( z ) \\ \left ( z ^ { 2 } - z - 1 \right ) Y ( z ) & = z ^ { 2 } \end {aligned} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large Y ( z ) = \frac { z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } - z - 1 } $$

اکنون از بسط کسرهای جزئی استفاده می‌کنیم. ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$$ \large \begin {array} { c }
z ^ { 2 } - z - 1 = 0 \\
\quad z = \frac { 1 \pm \sqrt { 1 +4 } } { 2 } = \frac { 1 \pm \sqrt { 5 } } { 2 } \\
a = \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } , \quad b = \frac { 1 -\sqrt { 5 } } { 2 } \\
Y ( z ) = \frac { z ^ { 2 } } { ( z- a ) (z - b ) }
\end {array} $$

بنابراین، $$Y(z)$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large Y ( z ) = z \left ( \frac { z } { ( z - a ) ( z -b ) } \right ) = \frac { A z } { z - a } + \frac { B z } { ( z - b ) } $$

که در آن، $$ A = \frac { a } { a - b } $$ و $$ B = \frac { b } { b - a } $$ است.

در نهایت، جواب به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y _ { n } = A a ^ { n } + B b ^ { n } = \frac { 1 } { ( a - b ) } \left ( a ^ { n + 1 } - b ^ { n + 1 } \right ) $$

که با در نظر گرفتن $$ a = \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } $$ و $$ b = \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } $$ و $$ a - b = \sqrt { 5 } $$، خواهیم داشت:

$$ \large y _ { n } = \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \left ( \left ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { n + 1 } - \left ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { n } \right ) \quad n = 2 , 3 , 4 , \ldots $$

مثالی از کاربردهای معادلات تفاضلی

یکی از کاربردهای معادلات تفاضلی، یافتن جریان الکتریکی هر حلقه از شبکه مقاومتی نردبانی متشکل از $$(N+1)$$ حلقه است. جریان‌ها دنباله $$\{i_0, i _ 1 ,... , i _ N\}$$ را تشکیل می‌دهند.

همه مقاومت‌ها اندازه مقاومت یکسان $$R$$ دارند، بنابراین حلقه‌های 1 تا N یکسان هستند. حلقه صفرم شامل منبع ولتاژ $$V$$ است. در این حلقه، طبق قانون ولتاژ کیرشهف، داریم:

$$ \large V = R i _ { 0 } + R \left ( i _ { 0 } - i _ { 1 } \right ) $$

که در نتیجه، $$i_ 1 $$‌ برابر است با:

$$ \large i _ { 1 } = 2 i _ { 0 } - \frac { V } { R } $$

به طور مشابه، با اعمال قانون کیرشهف بر روی حلقه (n + 1)اُم که منبع ولتاژ ندارد و ۳ مقاومت داریم، می‌توان نوشت:

$$ \large 0 = R i _ { n + 1 } + R \left ( i _ { n + 1 } -i _ { n + 2 } \right ) + R \left ( i _ { n + 1 } - i _ { n } \right ) $$

در نتیجه:

$$ \large i _ { n + 2 } - 3 i _ { n + 1} + i _ { n } = 0 \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots ( N - 2 ) $$

همان‌طور که می‌بینیم، این معادله یک معادله تفاضلی است.

برای حل این معادله، از آن تبدیل z می‌گیریم:

$$ \large z ^ { 2 } I ( z ) - z ^ { 2 } i _ { 0 } - z i _ { 1 } - 3 \left ( z I ( z ) - z i _ { 0 } \right ) + I ( z ) = 0 $$

با کمی ساده‌سازی، داریم:

‌$$ \large \left ( z ^ { 2 } - 3 z + 1 \right ) I ( z ) = z ^ { 2 } i _ { 0 } + z i _ { 1 } - 3 z i _ { 0 } $$

اگر عبارت معادل $$i_ 1 $$ را در معادله قرار دهیم، خواهیم داشت:

$$ \large z ^ { 2 } i _ { 0 } + z \left ( 2 i _ { 0 } - \frac { V }{ R } \right ) - 3 z i _ { 0 } = z ^ { 2 } i _ { 0 } - z i _ { 0 } -z \frac { V } { R } = i _ { 0 } \left ( z ^ { 2 } - z - z \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) $$

بنابراین، داریم:

$$ \large I ( z ) = \frac { i _ { 0 } \left ( z ^ { 2 } -\left ( 1 + \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) z \right ) } { z ^ { 2 } - 3 z + 1 } $$

به احتمال زیاد نامزدهای دنباله پاسخ هیپربولیک و به صورت $$\cosh \alpha n $$ و $$\sinh \alpha n $$ هستند، زیرا تبدیل z این دنباله‌ها برابر با مخرج زیر است که با مخرج تبدل z بالا تشابه دارد:

$$ \large z ^ 2 - 2 z \cosh \alpha + 1 $$

که در آن، $$\alpha \ge 1 $$ است. مقدار $$ \alpha $$ را از $$ 2 \cosh \alpha = 3 $$ تعیین می‌کنیم و داریم:

$$ \large \sinh \alpha = \sqrt { \frac { 9 } { 4 } - 1 } = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } $$

بنابراین، تبدیل z‌ جریان را می‌توان به شکل زیر نوشت:

$$ \large I ( z ) = i _ { 0 } \frac { \left ( z ^ { 2 } -\left ( 1 + \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) z \right ) } { z ^ { 2 } - 2 z \cosh \alpha + 1 } $$

برای اینکه بتوانیم از تبدیل z دنباله‌های $$ \cosh \alpha n $$ و $$ \sinh \alpha n $$ استفاده کنیم، با توجه به تساوی $$ 2 \cosh \alpha = 3 $$، می‌نویسیم:

$$ \large \begin {aligned}
I ( z ) & = i _ { 0 } \left [ \frac { z ^ { 2 } - z \cosh a + \frac { 3 z } { 2 } - \left ( 1 + \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) ^ { 2 } } {z ^ { 2 } - 2 z \cosh a + 1 } \right ] \\
& = i _ { 0 } \left [ \frac { \left ( z ^ { 2 } - z \cosh \alpha \right ) } { 2 ^ { 2 } - 2 z \cosh \alpha + 1 } + \frac { \left ( \frac { 3 } { 2 } - 1 \right ) z - \frac { V z } { i _ { 0 } R } } { z ^ { 2 } - 2 z \cosh a + 1 } \right ]
\end {aligned} $$

اولین جمله درون براکت، تبدیل z دنباله $$ \{ \cosh an \} $$ است. جمله دوم نیز به صورت زیر است:

$$ \large \frac { \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) z } { 2 ^ { 2 } - 2 z \cosh a + 1 } = \frac { \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } z \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } } { z ^ { 2 } - 2 z \cosh \alpha + 1 } $$

که عکس تبدیل z آن، برابر است با:

$$ \large \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { V } { i _ { 0 } R } \right ) \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \sinh \alpha n $$

بنابراین، برای جریان حلقه‌ها داریم:

$$ \large i _ { n } = i _ { 0 } \cosh ( \alpha n ) + \left ( \frac { i _ { 0 } } { 2 } - \frac { V } { R } \right ) \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \sinh ( \alpha n ) \quad n = 0 , 1 , \ldots N $$

که در آن، مقدار $$ \alpha $$ از تساوی $$ 2 \cosh \alpha = 3 $$ به دست می‌آید.

در نهایت، با اعمال قانون کیرشهف به حلقه سمت راست، داریم:

$$2 i_N = i_{N-1}$$