انتگرال و مشتق سری فوریه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با سری فوریه آشنا شدیم. در این آموزش درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بحث خواهیم کرد.

مشتق سری فوریه

فرض کنید $$f(x)$$ یک تابع تکه‌ای پیوسته متناوب با دوره تناوب $$2\pi$$ باشد که روی بازه بسته $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ تعریف شده است.

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی پیشرفته – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که می‌‌دانیم، بسط سری فوریه چنین تابعی به صورت زیر است:

$$\large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . }$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

اگر مشتق $$f’\left( x \right)$$ این تابع نیز تکه‌ای پیوسته باشد و تابع $$f(x)$$ در شرایط تناوبی زیر صدق کند:

$$\large { f \left ( { – \pi } \right ) = f \left ( \pi \right ) , \; \; \; } \kern-0.3pt{ f’ \left ( { – \pi } \right ) = f’ \left ( \pi \right ) , }$$

آنگاه بسط سری فوریه $$f’\left( x \right)$$ با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$\large { f’ \left ( x \right ) \text { = } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { n { b _ n } \cos n x – n { a _ n } \sin n x } \right ) } } .$$

انتگرال سری فوریه

اگر $$g(x)$$ یک تابع تکه‌‌ای پیوسته متناوب با دوره تناوب $$2 \pi$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ باشد، آنگاه می‌‌توان از این تابع روی این بازه جمله به جمله انتگرال گرفت. سری فوریه تابع $$g(x)$$ به صورت زیر است:

$$\large { g \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . }$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$\large { G \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } } \sim { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } }$$

که در آن، $${A_n} = – {\large\frac{{{b_n}}}{n}\normalsize}$$ و $${B_n} = {\large\frac{{{a_n}}}{n}\normalsize}$$.

با قرار دادن $$x=0$$، داریم:

$$\large { G \left ( 0 \right ) = 0 } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { A _ n } } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } – \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } \; \; \text {or} \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } . }$$

بنابراین، بسط سری فوریه تابع $$G(x)$$ به صورت زیر تعریف می‌‌شود:

$$\large \begin {align*} G \left ( x \right ) & = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } = { { \int \limits _ 0 ^ x { \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } d x } \text { + }} } \kern0pt{{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \int \limits _ 0 ^ x { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) d x } } } } \\ &= { { \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } \text { + }} \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { a _ n } \sin n x + { b _ n } \left ( {1 – \cos n x } \right ) } } { n } } } } \end {align*}$$

سری به دست آمده، نتیجه انتگرال‌‌گیری جمله به جمله از سری فوریه $$g(x)$$ است.

به دلیل وجود جمله وابسته به $$x$$ در جواب حاصل، واضح است که این بسط، بسط سری فوریه انتگرال $$g(x)$$ نیست. این نتیجه را می‌‌توان به گونه‌‌ای تغییر داد که بسط سری فوریه تابع زیر باشد:

$$\large { \Phi \left ( x \right ) } = { \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } . }$$

سری فوریه تابع $$\Phi\left( x \right)$$ به صورت زیر است:

$$\large { \Phi \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { g \left ( t \right ) d t } – \frac { { { a _ 0 } x } } { 2 } } = { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } \text { + } } \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { A _ n } \cos n x + { B _ n } \sin n x } \right ) } , }$$

که در آن:

$$\large { \frac { { { A _ 0 } } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { b _ n } } } { n } } , \; \; \; } \kern0pt { { A _ n } = – \frac { { { b _ n } } } { n } , \; \; \; } \kern0pt { { B _ n } = \frac { { { a _ n } } } { n } . }$$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره انتگرال و مشتق سری فوریه بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی – حل سوالات کنکور ارشد و دکتری در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

سری فوریه تابعِ

$$\large { f \left ( x \right ) = \text {sign} \, x } = { \begin {cases} - 1 , & - \pi \le x \le 0 \\ 1 , & 0 \lt x \le \pi \end {cases} , }$$

را با استفاده از بسط سری فوریه تابع $$F\left( x \right) = \left| x \right|$$ روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ به دست آورید که به صورت زیر است:

$$\large { F \left ( x \right ) = \left | x \right | } = { \frac { \pi }{ 2 } – \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } . \; }$$

حل: از آنجایی که به ازای $$x \ne 0$$، $$f\left( x \right) = F’\left( x \right)$$، داریم:

$$\large { f \left ( x \right ) = \frac { d } { { d x } } \Big [ { \frac { \pi } { 2 } \text { − } } } \kern0pt{{ \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \cos \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } } \Big ] }$$

يا

$$\large f \left ( x \right ) = \frac { 4 } { \pi } \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { \sin \left ( { 2 n + 1 } \right ) x } } { { 2 n + 1 } } } .$$

نمودارهای این تابع و تقریب فوریه آن در شکل زیر نشان داده شده است.

مثال ۲

بسط سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {x^2}$$ را با استفاده از سری فوریه زیر بیابید.