فرادرسمحاسبه عبارت های توان دار — آموزش به زبان ساده و با مثال
متغیرها و پارامترها برای نمایش شکل کلی‌تر از یک فرمول یا رابطه در ریاضیات مورد استفاده قرار می‌گیرند. البته می‌دانیم که هم متغیرها و هم پارامترها، می‌توانند با اعداد جایگزین شوند. ولی اگر فرمول‌ها و رابطه‌ها را به صورت عددی می‌نوشتیم، حالت کلی از بین می‌رفت و در حقیقت فقط تساوی‌هایی باقی می‌ماند. آن وقت مجبور بودیم برای هر حالت، یک فرمول ارائه کنیم و امکان استفاده از یک رابطه کلی دیگر وجود نداشت. در این متن به نحوه محاسبه عبارت های توان دار می‌پردازیم که به صورت پارامتری و به همراه متغیرها نمایش داده شده‌اند و قرار است با جایگذاری آن‌ها، نتیجه محاسبه عبارت های توان دار را مشخص کنیم. در ادامه برای روشن شدن موضوع، از مثال‌هایی نیز بهره خواهیم برد. البته همانطور که در این مثال‌ها مشخص می‌کنیم، ساده‌کردن عبارتهای تواندار در سرعت محاسبه کمک خواهد کرد.
به یاد دارید که هر عدد توان دار به صورت یک عدد در پایه و یک عدد در نما، نوشته می‌شود. به این ترتیب عبارت های توان دار را هم می‌توان تعریف کرد. البته در نوشتارهای دیگر مانند ضرب اعداد توان دار — آموزش به زبان ساده و با مثال و همچنین تقسیم اعداد توان دار — آموزش به زبان ساده و با مثال به نحوه محاسبه این عملگرها روی این اعداد صحبت کردیم. حتی در مطلب «فرمول‌های ریاضی هشتم»، بسیاری از نکات مورد به این مباحث را مرور کردیم. ولی در اینجا می‌خواهیم ساده کردن و محاسبه عبارت های توان دار را مورد اشاره قرار دهیم.
محاسبه عبارت های توان دار
یک عدد توان دار به صورت زیر و به شکل پارامتری نمایش داده می‌شود که در آن $$a$$ را پایه و $$b$$ را توان یا نما می‌گویند.
$$ \large {\displaystyle a^b } $$
همانطور که در رابطه بالا مشاهده می‌کنید، عدد توان دار را به صورت یک عبارت پارامتری نمایش داده‌ایم. در حقیقت از این پارامترها برای نمایش هر عدد تواندار می‌توان استفاده کرد.
حتی با اضافه کردن یک متغیر به صورت ضریب برای عبارت های توان دار می‌توان نمایش کامل‌تری از آن‌ها ارائه کرد. در رابطه زیر، یک عبارت تواندار به همراه مضربی که با $$x$$ مشخص شده، قابل مشاهده است.
$$ \large {\displaystyle x a^b } $$
در نتیجه از این به بعد هر عدد توان دار را به صورت پارامتری و به شکلی که در رابطه بالا دیدیم، نشان خواهیم داد. البته گاهی نیز توان را با $$x$$ و ضریب را به صورت $$a$$ منظور می‌کنند. به رابطه زیر دقت کنید. نمایش عبارتهای تواندار به این شکل نیز مرسوم است.
$$ \large {\displaystyle a x^b } $$
نکته: توجه داشته باشید که هر چند پارامترها و ضرایب می‌توانند هر عدد حقیقی باشند، ولی برای سادگی محاسبه عبارت های توان دار در اینجا همه آن‌ها را اعداد صحیح در نظر می‌گیریم. البته می‌توان به عنوان پایه یا نما از اعداد گویا استفاده کرد که در بعضی از مثال‌ها به این وضعیت نیز خواهیم پرداخت.
محاسبه عبارت های توان دار با تعیین مقدار ضرایب
در این قسمت با نحوه محاسبه عبارت های توان دار آشنا می‌شویم که در آن ها مقدار ضریب‌های هر عبارت مشخص شده و باید بوسیله قواعدی که برای ساده کردن عبارت های توان دار می‌شناسیم، محاسبات را انجام دهیم.
دو عبارت زیر را در نظر بگیرید.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b } $$
$$ \large {\displaystyle -7 c^d } $$
واضح است که عبارت اول با ضریب ۵ و عبارت دوم با ضریب ۷- مشخص شده است. از آنجایی که هر دو عبارت، ضرایب متفاوتی داشته و پایه و نمای آن‌ها نیز یکسان نیستند، جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها میسر نخواهد بود. ولی در حالت‌هایی که این عبارتهای مورد نظر، مشابه باشند، امکان اجرای محاسبات وجود دارد در غیر اینصورت ابتدا باید عمل توان رساندن هر عبارت صورت گرفته، سپس محاسبات بعدی انجام شود.
در تصویر بالا مشاهده می‌کنید که پایه‌ها به صورت متغیرهای $$x , y $$ نمایش داده شده و حاصل ضرب دو عبارت تواندار به ازای آن‌ها مشخص شده است. با تعیین مقدار $$x, y$$ نتیجه محاسبه عبارت های توان دار مشخص می‌شود.
نکته: توجه داشته باشید که ساده سازی عبارت های تواندار در هنگام محاسبه به شما این کمک را می‌کند که به جای محاسبه سطر اول که یک عبارت پیچیده و طولانی است، مقادیر پارامترها را در تساوی آخر قرار دهید تا با حجم کمتری از محاسبات، پاسخ نهایی را بدست آورید. این موضوع در مورد ساده‌سازی و همچنین قواعد ضرب و تقسیم، جمع و تفریق اعداد تواندار نیز صادق است.
محاسبه عبارت های توان دار با پایه‌های برابر
در این حالت فرض بر این است که ضرایب عبارتهای تواندار مشخص بوده و پایه‌ها نیز برای چنین عباراتی، یکسان است. بنابراین باید توان یا نما را متفاوت در نظر گرفت.
در این حالت دو عبارت توان دار را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b } $$
$$ \large {\displaystyle -7 a^d } $$
حال به ضرب، تقسیم، جمع و تفریق این دو عبارت می‌پردازیم. مشخص است پایه‌ها یکسان هستند ولی نمای متفاوتی دارند. همچنین ضرایب نیز در ابتدای هر یک از عبارت‌ها نوشته شده است.
محاسبه عبارت های توان دار برای ضرب و تقسیم
ابتدا به ضرب این دو عبارت توجه می‌کنیم. می‌دانیم در این حالت، ضرایب در یکدیگر ضرب شده و یک پایه نوشته و نماها با هم جمع می‌شوند تا نتیجه را نشان دهند.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b \times -7 a^d = ( 5 \times (-7) ) \times a ^{(b + d)} = -35 a^{(b + d)} } $$
حال فرض کنید که مقدار پارامترها را به صورت زیر در نظر باشیم.
$$ \large {\displaystyle a = 2 , b = 3 , d = 4 } $$
به این ترتیب نتیجه ضرب و محاسبه عبارت های توان دار گفته شده به صورت زیر در خواهد آمد.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b \times -7 a^d = -35 a^{(b + d)} \xrightarrow{ a = 2 ,\ b = 3,\ d = 4 }}$$
$$ \large {\displaystyle -35 \times (2^{(3 + 4)}) = -35 \times 2^7 = -35 \times 128 = -4480 } $$
به عنوان یک مثال دیگر، تقسیم این دو عبارت را در نظر می‌گیریم. البته باز هم پارامترها و ضرایب را به همان شکل قبلی حفظ می‌کنیم. واضح است که برای تقسیم چنین عبارت‌هایی، ابتدا ضرایب بر هم تقسیم شده سپس پایه مشترک نوشته شده و توان مقسوم علیه از توان مقسوم کم و به عنوان نمای پایه نوشته می‌شود.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b \div -7 a^d = (\dfrac{ 5}{ - 7}) a^{(b - d)} \xrightarrow{ a = 2 ,\ b = 3,\ d = 4 } }$$
$$\large {\displaystyle (\dfrac{ - 5}{ 7}) (2^{3 - 4}) = \dfrac{ -5}{ 7} (2^{- 1}) = \dfrac{ -5}{ 7} (\dfrac{ 1}{ 2} ) = \dfrac{ -5}{ 14} } $$
همانطور که دیدید، چون توان منفی به معنی نمایش معکوس عدد است، $$2^{-1}$$ را به صورت کسر $$\frac{1}{2}$$ نوشته و در مخرج کسر قبلی ضرب کردیم.
نکته: از آنجایی که هر دو عبارت، توان‌های متفاوتی دارند، امکان جمع یا تفریق آن‌ها وجود ندارد، به همین جهت نمی‌توان مثال فوق را برای این حالت تعمیم داده و جمع یا تفریق دو عبارت را بدست آوریم.
مطابق با تصویر بالا مشاهده می‌کنید که ممکن است اعداد تواندار را به شکلی نمایش داد که پایه‌ها مجهول در نظر گرفته شده و ضرایب و توان یا نما مشخص باشند. باز هم براساس قواعد مربوط به ضرب و تقسیم اعداد تواندار باید این عبارت‌ها را ساده و محاسبه کرد. در انتها با مشخص کردن مقدار $$x$$ در فرمول نهایی، نتیجه محاسبات به صورت عدد ظاهر خواهد شد.
محاسبه عبارت های توان دار با نماهای برابر
فرض کنید که در این قسمت، توان یا نماهای عبارتهای توان دار، برابر بوده ولی پایه‌ها نابرابر یا نامساوی هستند. اینجا هم طبق قواعد ضرب و تقسیم اعداد تواندار عمل کرده و نتیجه را برای ضرب و تقسیم عبارت های توان دار به کار می‌گیریم. بهتر است که دو عبارت بالا را باید به صورت زیر نوشته و در محاسبات به کار بریم.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b } $$
$$ \large {\displaystyle -7 c^b } $$
همانطور که می‌بینید نما یا توان در هر دو عبارت برابر است که با نماد $$b$$ نمایش داده شده. ابتدا ضرب، سپس تقسیم این دو عبارت را بدست خواهیم آورد.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b \times (-7 c^b ) = \left( 5 \times ( -7) \right) \left( a \times c \right) ^b = -35 (a c )^b } $$
پس کافی است ضرایب را در هم ضرب کرده، سپس حاصل ضرب پایه‌ها را هم به توان یکی از جمله‌ها برسانیم. باز هم فرض کنید که مقدارهای پارامترهای $$a,b,c$$ به صورتی که در ادامه می‌بینید، مشخص باشند. نتیجه ضرب و محاسبه عبارت های توان دار به صورت زیر خواهد بود.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b \times (-7 c^b ) = -3 5 (a c)^b \xrightarrow{ a = 2 ,\ b = 3,\ c = 4 } } $$
$$\large {\displaystyle -35 (2 \times 4) ^3 = -35( 8^3) = -17 920 } $$
تقسیم این دو عبارت نیز به صورت زیر قابل محاسبه است. توجه دارید که لازم است فقط پایه‌ها بر هم تقسیم شده و به توان نمای یکی از عبارت‌ها برسند. همچنین ضرایب نیز باید بر هم تقسیم شوند.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b \div (-7 c^b ) = \dfrac{ 5}{ -7} (\dfrac{ a}{ c} )^b \xrightarrow{ a = 2 ,\ b = 3,\ c = 4 } } $$
$$\large {\displaystyle \dfrac{ -5}{ 7} (\dfrac{ 2}{ 4} ) ^3 = \dfrac{ -5}{ 7} (\dfrac{ 1}{ 2} ) ^3 = \dfrac{ -5}{ 7} (\dfrac{ 1}{ 8} ) = \dfrac{ -5}{ 5 6} } $$
باز هم توجه داریم که به علت مشابه نبودن عبارت‌ها، امکان جمع یا تفریق در اینجا هم میسر نیست. فقط جمع یا تفریق را به شکلی می‌توانیم انجام دهیم که ضرایب دو عبارت تواندار با یکدیگر تفاوت داشته ولی بقیه پارامترها یعنی نما و پایه، یکسان باشند. به مثال زیر توجه کنید.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b } $$
$$ \large {\displaystyle -7 a^b } $$
در این صورت جمع و تفریق آن‌ها به صورت زیر درخواهد آمد. توجه دارید که فقط جمع جبری ضرایب محاسبه شده و به عنوان ضریب حاصل جمع یا تفریق به همراه عبارت تواندار نوشته شده است.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b + ( - 7 a^b ) = \left( 5 + (-7) \right) a^b = -2 a^b } $$
$$ \large {\displaystyle 5 a^b - ( - 7 a^b ) = \left( 5 - (-7) \right) a^b = (5 + 7) a^b = 12 a^b } $$
اگر مقدارهای پارامترها را به صورت $$a = 2 b = 3$$ در نظر بگیریم، محاسبه عبارت های توان دار بالا به صورت زیر درخواهد آمد.
$$ \large {\displaystyle 5 a^b + ( - 7 a^b ) = -2 a^b \xrightarrow { a = 2 , \ b = 3} -2 ( 2^3) = -2 \times 8 = -16 } $$
$$ \large {\displaystyle 5 a^b - ( - 7 a^b ) = 12 a^b \xrightarrow { a = 2 , \ b = 3} 12 ( 2^3) = 12 \times 8 = 96 } $$
نکته: اگر نما به صورت یک عدد کسری مشخص شده باشد، می‌توان اعداد تواندار را به صورت رادیکال نمایش داد. محاسبه اعداد تواندار با توان‌های کسری را می‌توانید در نوشتار اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن ها — به زبان ساده بخوانید. در آنجا نحوه ضرب و تقسیم عبارتهای رادیکالی به همراه جمع و تفریق گفته شده است.
خلاصه و جمع‌بندی
در این متن به تعریف عبارت توان دار پرداختیم. البته حوزه اعداد یا دامنه این عبارت‌ها، هر چند مجموعه اعداد حقیقی است ولی به دلیل سادگی آن را مجموعه اعداد صحیح در نظر گرفتیم. در بعضی از حالت‌ها، محاسبه عبارت های توان دار در زمانی که مجموعه اعداد مختلط در نظر گرفته شود، تفاوت‌هایی دارند که در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس به آن‌ها پرداخته شده است. همانطور که دیدید، برای ساده کردن و بدست آوردن مقدار عبارت های توان دار از همان قواعدی که برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد تواندار وجود دارد، استفاده کردیم.
