خط مماس و قائم بر منحنی — از صفر تا صد

در ادامه مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، در این آموزش به مبحث خط مماس و خط قائم بر منحنی‌ خواهیم پرداخت. ابتدا نحوه به‌دست آوردن معادله خط مماس و قائم بر منحنی را در مختصات کارتزین بیان می‌کنیم. پس از آن، روش محاسبه معادله خطوط مماس و قائم را برای توابع پارامتری و نیز توابع در دستگاه مختصات قطبی بررسی خواهیم کرد.

معادله خط مماس در مختصات کارتزین

فرض کنید تابع $$y = f\left( x \right)$$ در بازه $$\left( {a,b} \right)$$ تعریف شده و در $${x_0} \in \left( {a,b} \right)$$ پیوسته باشد. در این نقطه (نقطه $$M$$ در شکل زیر)، مقدار تابع برابر با $${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$$ است.

همچنین، فرض کنید متغیر مشتق $$x$$ در $$x _0$$ دارای نِمُو (افزایش جزئی) $$\Delta x$$ باشد. نمو متناظر تابع ($$\Delta y$$) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large \Delta y = f \left( {{  x _ 0  } + \Delta x} \right) – f\left( {  { x_ 0 }} \right).$$

در شکل بالا، نقطه $$M_ 1$$ در موقعیت $$\left( {{x_0} + \Delta x,{y_0} + \Delta y} \right)$$ قرار دارد. پاره‌خط $$MM_1$$ را رسم می‌کنیم که معادله آن به‌صورت زیر است:

$$\large y – { y _ 0 } = k\left( { x – { x _ 0} } \right)$$

که در آن، $$k$$ شیب برحسب نمو $$\Delta x$$ بوده و برابر است با:

$$\large k = k\left( {\Delta x} \right) = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.$$

وقتی $$\Delta x$$ کاهش پیدا کند، نقطه $$M_1$$ به‌سمت نقطه $$M$$ حرکت می‌کند: $${M_1} \to M$$. در شرایط حدیِ $$\Delta x \to 0$$، فاصله بین نقاط $$M$$ و $$M_1$$ به صفر میل می‌کند. با توجه به شرط پیوستگی تابع $$f( x)$$ در نقطه $$x_0$$، داریم:

$$\large { \lim \limits_ { \Delta x \to 0} \Delta y = 0,\;\;}\Rightarrow {\lim\limits _ { \Delta x \to 0} \left| { M {M _ 1 } } \right| } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)} ^ 2 } + {{\left( {\Delta y} \right) } ^ 2 } } = 0 . }$$

وضعیت حدی پاره‌خط $$MM_1$$، خط مماس بر منحنی تابع $$y = f (x )$$ در نقطه $$M$$ نامیده می‌شود.

دو نوع خط مماس وجود دارد: «خط مماس مایل» (Oblique Tangent) و «خط مماس قائم» (Vertical Tangent).

تعریف ۱

اگر حد کران‌دار و محدود $$\lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = {k_0}$$ را داشته باشیم، آن‌گاه معادله خط مستقیم به‌صورت زیر است:

$$\large y – {y _ 0 } = k \left( { x –  { x _ 0  } } \right)$$

که مماس مایل منحنی $$y = f ( x )$$ در نقطه $$( x _ 0 , y _ 0 )$$ نامیده می‌شود.

تعریف ۲

اگر $$\Delta x \to 0$$، مقدار $$k$$ بی‌نهایت شود، یعنی $$\lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = \pm \infty$$، آن‌گاه معادله خط به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large x = {x_0}$$

که خط مماس قائم منحنی تابع $$f( x )$$ در نقطه $$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ نامیده می‌شود.

لازم است بدانیم:

$$\large {{k_0} = \lim \limits _ {\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0} \frac{{\Delta y } } { {\Delta x } } } = { f’\left( { { x _ 0 } } \right)}$$

یعنی شیب خط مماس، برابر با مشتق تابع $$f(x)$$ در نقطه مماس $$x_ 0$$ است. بنابراین، معادله مماس مایل را می‌توان به‌فرم زیر نوشت:

$$\large { y – { y _ 0 } = f’\left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0}} \right)\;\;}$$

یا

$$\large { y = f’ \left( {{x_0}} \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right) + f\left( { { x _ 0 } } \right)}$$

از آن‌جایی که شیب خط، برابر با تانژانت زاویه $$\alpha$$ (زاویه بین خط و جهت مثبت محور $$x$$) است، تساوی زیر را داریم:

$$\large k = \tan \alpha = f’ \left( { { x _ 0}} \right)$$

معادله خط قائم در مختصات کارتزین

خط راست عمود بر خط مماس بر منحنی که آن را در نقطه تماس $$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ قطع می‌کند، «خط قائم» یا خط عمود یا خط نرمال (Normal Line) بر منحنی تابع $$y = f (x)$$ در این نقطه نامیده می‌شود.

از هندسه می‌دانیم که ضرب شیب‌های دو خط عمود بر هم برابر با $$-1$$ است. بنابراین، با داشتن معادله خط مماس در نقطه $$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$، یعنی:

$$\large y – { y _ 0 } = f ’ \left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right),$$

می‌توانیم معادله خط قائم را به‌سادگی بنویسیم:

$$\large y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { f ’ \left( { { x _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right ) .$$

معادله خط مماس و قائم بر منحنی در فرم پارامتری

فرض کنید منحنی یک حرکت در صفحه به‌فرم پارامتری زیر داده شده است:

$$\large {x = x \left( t \right),}\;\;\;\kern-0.3pt{ y = y \left( t \right) . }$$

آن‌گاه شیب خط مماس بر نقطه $$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ را می‌توان با استفاده از قاعده مشتق توابع پارامتری به‌صورت زیر نوشت:

$$\large k = \tan \alpha = \frac{{{y’_ t } }} { {{ x’ _ t } }} .$$

بنابراین، معادله خط مماس به‌فرم زیر خواهد بود:

$$\large {y – { y _ 0 } = \frac{ { { y ’_ t} } }{ {{ x ’_ t} } } \left( { x – { x_ 0} } \right)}$$

یا

$$\large \frac{{x – { x _ 0} }} {{ { x’ _t } } } = \frac{ { y – { y _0 }} } { {{ y’ _t } } }$$

بر همین اساس، معادله خط قائم به‌صورت زیر است:

$$\large { y – { y _ 0} = – \frac { { { x ’ _ t } } } { { { y ’ _ t } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right)}$$

یا

$$\large {\;\;\;\kern-0.3pt\frac{{x – {x _ 0} } } {{ { y ’ _ t } } } = – \frac{{y – { y _ 0 } } }{ { {x ’ _ t } } } . }$$

معادله خط مماس و قائم در مختصات قطبی

فرض کنید منحنی با معادله قطبی $$r = f\left( \theta \right)$$ بیان شده باشد که براساس طول بردار شعاعی $$r$$ و زاویه قطبی $$\theta$$ است. در مختصات کارتزین، این منحنی به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$$\large \left\{ \begin {array} {l} x = r \cos \theta = f\left( \theta \right) \cos \theta \\ y = r \sin \theta = f\left( \theta \right) \sin\theta \end{array} \right..$$

بنابراین، معادله پارامتری منحنی را می‌نویسیم که در آن، زاویه $$\theta$$ نقش یک پارامتر را ایفا می‌کند. در ادامه، توصیف شیب خط مماس بر منحنی را در نقطه $$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$$ به‌دست می‌آوریم:

$$\large {k = \tan \theta = \frac { { { y ’_\theta } } }{{ {x ’ _\theta }}} } = {\frac { { { { \left( {r\sin \theta } \right) } ^ \prime }}}{ { {{\left( {r\cos \theta } \right) } ^ \prime }}} } = { \frac { {{ r ’_\theta }\sin \theta + r \cos \theta }} { { { r ’ _ \theta }\cos\theta – r\sin \theta }}.}$$

در نتیجه، معادله مربوط به خط مماس و خط قائم به‌ترتیب، به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large { y – { y _ 0 } = \frac { { { y’_\theta } }} { { { x ’_ \theta }}}\left( { x – { x _ 0 } } \right)}$$

$$\large { y – { y _ 0 } = - \frac { { { x ’ _ \theta } } }{ { {y ’ _ \theta } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right) } .$$

منحنی‌ها را می‌توان مستقیماً در مختصات قطبی و بدون تبدیل به دستگاه مختصات کارتزین بررسی کرد. در این حالت، به‌جای زاویه $$\theta$$ نسبت به محور قطبی (یعنی جهت مثبت محور $$x$$)، ساده‌تر است که زاویه $$\beta$$ را نسبت به خط شامل بردار شعاعی $$r$$ در نظر بگیریم.

تانژانت زاویه $$\beta$$‌ را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به‌دست آورد:

$$\large \tan \beta = \frac { r } { { { r ’ _ \theta } } } .$$

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را حل می‌کنیم.

مثال ۱

معادله خط مماس بر منحنی تابع $$y = x\sqrt {x – 1}$$ را در نقطه $$x= 2$$‌به‌دست آورید.

حل: ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { y ’ \left( x \right) = {\left( { x \sqrt { x – 1 } } \right) ^ \prime } } = { x ’ \sqrt { x – 1 } + x { \left( {\sqrt { x – 1 } } \right) ^ \prime } } \\ \large = {\sqrt { x – 1 } + \frac { x } { { 2 \sqrt { x – 1 } } } } = { \frac { { 2 \left( { x – 1 } \right) + x } } { { 2 \sqrt { x – 1 } } } } = { \frac { { 3 x – 2 } }{ { 2 \sqrt { x – 1 } } } .}$$

در نقطه $$x= 2$$، مشتق برابر است با:

$$\large y ’ \left( 2 \right) = \frac { { 3 \cdot 2 – 2 } } { { 2 \sqrt { 2 – 1 } } } = 2 .$$

مقدار خود تابع نیز در این نقطه به‌صورت زیر است:

$$\large y\left( 2 \right) = 2 \cdot 1 = 2.$$

در نهایت، معادله خط مماس در این نقطه، به‌شکل زیر به‌دست می‌آید:

$$\large {y – {y_0} = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right),\;\;}\Rightarrow { y – 2 = 2\left( {x – 2} \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – 2 = 2x – 4,\;\;}\Rightarrow { y = 2 x – 2.}$$

مثال ۲

سهمی $$y = 2{x^2}$$ را در نظر بگیرید. پاره‌خطی بین دو نقطه $$x = - 1$$ و $$x= 2$$ از این منحنی رسم شده است. خط مماس بر منحنی را که موازی این پاره‌خط است، پیدا کنید.

حل: ابتدا مقدار $$y$$‌ را برای نقاط $$x$$ داده‌شده پاره‌خط $$KL$$ محاسبه می‌کنیم:

$$\large { y \left( { – 1 } \right) = 2 \cdot {\left( { – 1 } \right) ^ 2 } = 2;}\;\;\;\kern-0.3pt { y \left( 2 \right) = 2 \cdot { 2 ^ 2 } = 8 . }$$

معادله پاره‌خط $$KL$$ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large {\frac { { y – { y _ K } }} { { { y _ L } – { y _ K } } } = \frac{ { x – { x _ K }} } {{ {x _ L } – { x_K }} } ,\;\;}\Rightarrow {\frac { { y – 2 } } { { 8 – 2 } } = \frac { { x – \left( { – 1} \right) }} { { 2 – \left( { – 1 } \right) } },\;\;} \\ \large \Rightarrow {\frac { { y – 2} } { 6 } = \frac { { x + 1 } }{ 3 } ,\;\;}\Rightarrow { y – 2 = 2 \left( { x + 1 } \right),\;\;}\Rightarrow { y = 2 x + 4 , }$$

که در آن، $$k=2$$ است. شیب خط مماس نیز برابر با مقدار $$k= 2$$ است.

اکنون مختصات $$x$$ نقطه مماس را با شرایط $$y’\left( x \right) = k$$ پیدا می‌کنیم:

$$\large { y ’ \left( x \right) = k ,\;\;} \Rightarrow { { \left( { 2 { x ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2,\;\;}\Rightarrow { 4 x = 2 ,\;\;}\Rightarrow { x = \frac{1}{2}.}$$

مقدار $$y$$ نیز در نقطه $$M$$‌ برابر است با:

$$\large { y _ M } = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right) ^ 2 } = \frac { 1} {2 } .$$

بنابراین، نقطه مماس $$M$$ در نقطه $$\left( {\large\frac{1}{2}\normalsize,\large\frac{1}{2}\normalsize} \right)$$ واقع شده است. در نتیجه می‌توانیم معادله خط مماس بر منحنی را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\large { y – { y _ M } = k \left( { x – { x _ M } } \right),\;\;}\Rightarrow { y – \frac {1 } { 2} = 2\left( {x – \frac { 1} { 2 }} \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – \frac {1 } {2 } = 2 x – 1,\;\;}\Rightarrow { y = 2 x – \frac { 1} {2 } . }$$

مثال ۳

مساحت مثلثی را تعیین کنید که با خط مماس بر منحنی تابع $$y = 3 – {x^2}$$ در نقطه $$\left( {1,2} \right)$$ و محورهای مختصات تشکیل شده است.

حل: ابتدا معادله خط مماس را به‌دست می‌آوریم. محل برخورد خط مماس و منحنی، نقطه زیر است:

$$\large { f ’ \left( x \right) = \left( {3 – { x ^ 2 } } \right) = – 2x;\;\;}\Rightarrow { f ’ \left( 1 \right) = – 2 , }$$

در نتیجه، معادله خط مماس را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large {y – { y _ M } = f ’ \left( { { x _ M}} \right)\left( {x – {x_M}} \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow {y – 2 = – 2 \left( {x – 1} \right),\;\;}\Rightarrow {y = – 2 x + 4 . }$$

معادله را به‌فرم زیر می‌توان نوشت:

$$\large { y = – 2 x + 4,\;\;}\Rightarrow { y + 2x = 4,\;\;}\\ \large \Rightarrow {\frac { y } { 4 } + \frac { {2 x }} { 4} = 1,\;\;}\Rightarrow {\frac { y} { 4 } + \frac {x } { 2} = 1.}$$

طول پاره‌خط‌های $$OA$$ و $$O B$$ به‌ترتیب $$4$$ و $$2$$ است. بنابراین، مساحت $$OAB$$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large S = \frac { { \left| { O A } \right| \cdot \left| {O B } \right| }} { 2 } = \frac { { 4 \cdot 2 } } { 2 } = 4 .$$

مثال ۴

زاویه بین خط مماس بر دل‌گون $$r = a\left( {1 + \cos \theta } \right)$$ و بردار شعاعی را در نقطه مماس به‌دست آورید.

حل: زاویه مورد نظر را با فرمول زیر محاسبه می‌کنیم:

$$\large \tan \omega = \frac { r } { { { r ’_ \theta } } } .$$

با جایگذاری $$r$$ در فرمول اخیر داریم:

$$\large { { r ’ _ \theta } = {\left[ { a \left( { 1 + \cos \theta } \right)} \right] ^ \prime } } = { – a \sin \theta . }$$

در نتیجه، مقدار تانژانت برابر است با:

$$ \large \require {cancel}<br /> {\tan \omega = \frac { { a \left( { 1 + \cos \theta } \right) } } { { \left( { – a \sin \theta } \right) } } }<br /> = { – \frac { { 1 + \cos \theta } } { { \sin \theta } } } \\ \large<br /> = { – \frac { { \cancel { 2 } { { \cos } ^ { \cancel { 2 } } } \frac{\theta } { 2 } } } { { \cancel { 2 } \sin \frac { \theta } { 2 } \cancel { \cos \frac { \theta } { 2 } } } } }<br /> = { – \cot \frac{\theta } { 2 } }<br /> = { \tan \left( { \frac {\theta } { 2 } + \frac { \pi } { 2 } } \right) . } $$

بنابراین، زاویه بین خط مماس و بردار شعاعی، به‌صورت زیر است:

$$\large \omega = \frac { \theta } { 2 } + \frac { \pi } { 2 } .$$

مثال ۵

معادله خط عمود بر بیضی $$\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$$ را در نقطه $$\left( {1,{\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize}} \right)$$ به‌دست آورید.

حل: ابتدا مقدار $$y’\left( x \right)$$ را با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی به‌دست می‌آوریم:

$$\large { { \left( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } + \frac { { { y ^ 2 } } } { 1 } } \right) ^ \prime } = 1′,\;\;}\\ \large \Rightarrow { \frac { { 2 x } } { 4 } + 2 y y ’ = 0,\;\;} \Rightarrow { 4 y y ’ = – x ,\;\;}\Rightarrow { y ’ = – \frac { x } { { 4 y } } . }$$

مشتق در نقطه مماس برابر است با:

$$\large { y ’ \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right) = y ’ \left( { 1 , \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right) } = { – \frac { 1 } { { \frac { { 4 \sqrt 3 } } { 2 } } } } = { – \frac { 1 } { { 2 \sqrt 3 } } . }$$

در نتیجه، معادله خط قائم به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large { y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { y ’ \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right),\;\;}\Rightarrow { y – \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } = – \frac { 1 } { { \left( { – \frac { 1 } { { 2 \sqrt 3 } } } \right) } } \left( { x – 1 } \right),\;\;} \\ \large\Rightarrow { y – \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } = 2 \sqrt 3 x – 2\sqrt 3 ,\;\;}\Rightarrow { y = 2 \sqrt 3 x – 2 \sqrt 3 + \frac { { \sqrt 3 } }{ 2 },\;\; } \\ \large \Rightarrow { y = 2 \sqrt 3 x – \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } } \approx { 3,46x – 2,60.}$$

مثال ۶

معادله خطوط مماس و قائم بر ستاره‌گون $$x = a\,{\cos ^3}t,y = a\,{\sin ^3}t$$ را در نقطه $$t = \large\frac{\pi }{4}\normalsize$$ به‌دست آورید.

حل: ابتدا مشتقات تابع پارامتری را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { a \, { { \cos } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = – 3 a \,{ \cos ^ 2 } t \sin t; } \\ \large { { y ’ _ t } = { \left ( { a \, { { \sin } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = 3 a \,{ \sin ^ 2 } t \cos t . }$$

در نتیجه، داریم:

$$\large { { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { 3 a\,{ { \sin } ^ 2 } t \cos t}}{{\left( { – 3a\,{{\cos } ^ 2 } t \sin t } \right)}} } = { – \frac { { \sin t } } { { \cos t } } } = { – \tan t . }$$

حاصل را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\large – \tan t = \tan \left( {\pi – t} \right).$$

از آن‌جایی که $$\tan \alpha = {y’_x} = \tan \left( {\pi – t} \right)$$، زاویه $$\alpha$$‌ برابر است با:

$$\large { \alpha = \pi – t } = { \pi – \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { { 3 \pi } } { 4 } = 135 ^ { \circ } . }$$

بنابراین، مشتق و در نتیجه شیب خط مماس بر ستاره‌گون، برابر است با:

$$\large { y ’ _ x } \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) = \tan \frac { { 3 \pi } } { 4 } = – 1 .$$

مختصات نقطه مماس در دستگاه کارتزین به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { { x _ 0 } = x \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = { a\ , { \cos ^ 3 } \frac { \pi } { 4 } } = { a { \left( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } \right) ^ 3 } } = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } , }$$

$$\large { { y _ 0 } = y \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = { a\ , { \sin ^ 3 } \frac { \pi } { 4 } } = { a { \left( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } \right) ^ 3 } } = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } . }$$

اکنون می‌توان معادله خط مماس را نوشت:

$$\large { y – { y _ 0 } = { y ’ _ x }\left( { { x _ 0 } } \right)\left( { x – { x _ 0 } } \right),\;\;}\Rightarrow { y – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } = – 1 \left( { x – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } } \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } = – x + \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 },\;\;}\Rightarrow { y = – x + \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } }$$

و معادله خط عمود بر آن برابر است با:

$$\large { y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { { { y ’ } _ x }\left( { { x _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } = – \frac { 1 } { { \left( { – 1 } \right) } } \left( { x – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } } \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow{y – \cancel{\frac{{a\sqrt 2 }}{ 4 } } = x – \cancel{\frac{{a\sqrt 2 } } { 4}},\;\;}\Rightarrow{y = x.}$$