خازن سری – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

خازن سری

$$\large Q _ T = Q _1 = Q _ 2 = Q _ 3 = \cdots$$

مدار شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن، سه خازن به صورت سری با یکدیگر متصل شده‌اند و به دو طرف مجموعه آن‌ها یک ولتاژ اعمال کرده‌ایم.

$$\large V _ \text {AB} = V _ \text {C1} + V _ \text {C2} + V _ \text {C3} = 12\, \text{V}$$

$$\large V _ \text {C1} = \frac {Q _ \text{T} } {C _ 1 } , \;\;\;\; V _ \text {C2} = \frac {Q _ \text{T} } {C _ 2 } , \;\;\;\; V _ \text {C3} = \frac {Q _ \text{T} } {C _ 3 }$$

از آنجایی که $$Q = C \times V$$ و با نوشتن آن به صورت $$V = Q / C$$ و جایگذاری $$Q / C$$ در ولتاژ $$V _ \text{C}$$ هر خازن، معادله KVL بالا به صورت زیر در می‌آید:‌

$$\large V _ \text {AB} = \frac {Q _ \text{T} } {C _ \text{T} } = \frac {Q _ \text{T} } {\text{C}_1 } + \frac {Q _ \text{T} } {\text{C}_2 } + \frac {Q _ \text{T} } { \text{C}_3 }$$

$$\large \boxed {\frac {1 } {C _ \text{T} } = \frac {1 } {\text{C}_1 } + \frac {1} {\text{C}_2 } + \frac {1 } { \text{C}_3 } + \cdots}$$

بنابراین، وقتی خازن‌ها را به صورت سری با یکدیگر وصل کنیم، برخلاف مقاومت‌ها، مجموع معکوس ظرفیت آن‌ها برابر با معکوس ظرفیت معادلشان است.

مثال‌ها

در این بخش، دو مثال را درباره اتصال سری خازن‌ها بیان می‌کنیم که نکات جالبی نیز در بر دارند.

فیلم آموزش فیزیک عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

مدار شکل بالا را مجدداً در نظر بگیرید. می‌خواهیم خازن معادل $$C _ \text {T}$$ را به دست آوریم. با توجه به فرمولی که در بالا ارائه شد، داریم:

$$\large \frac {1 } {C _ \text{T} } = \frac {1 } {0.1\, \mu\text{F} } + \frac {1} {0.2\, \mu\text{F} } + \frac {1 } { 0.3\, \mu\text{F}} = \frac { 1 } { 18.33 \times 10 ^ 6 }$$

$$\large C _ \text{T} = 0.055\, \mu \text{F}$$ یا $$\large 55\, \text{nF}$$

یک نکته مهم درباره خازن‌های سری این است که ظرفیت کل $$C _ \text {T}$$ هر تعداد از خازن‌های سری، همیشه کمتر از ظرفیت کوچکترین خازن سری در مدار است. در این مثال، $$C _ \text{T} = 0.055\, \mu\text{F}$$ از مقدار کوچکترین خازن، یعنی $$0.1\, \mu \text{F}$$ کوچکتر است.

از رابطه مجموع وارون ظرفیت‌ها می‌توان برای هر تعداد دلخواه خازن سری استفاده کرد. اما اگر تنها دو خازن سری داشته باشیم، می‌توانیم با استفاده از فرمول زیر، خازن معادل را سریع‌تر محاسبه کنیم:

$$\large \boxed {C _ \text{T} = \frac {C _ 1 \times C _ 2 } { C _ 1 + C _ 2 } }$$

اگر ظرفیت دو خازن برابر باشد، یعنی $$C _ 1 = C _ 2$$، آن‌گاه می‌توانیم معادله بالا را به فرم ساده‌تر زیر بنویسیم:

$$\large C _ \text{T} = \frac { C ^ 2} { 2 C } = \frac { C } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } C$$

همان‌طور که می‌بینیم، اگر ظرفیت دو خازن سری برابر باشد، ظرفیت معادل آن‌ها نصف ظرفیتی است که هر یک از خازن‌ها دارند. طبق قانون ولتاژ کیرشهف، ولتاژ‌ اعمالی $$V _ s$$ به مجموعه خازن‌های سری، برابر با مجموع ولتاژهای دو سر هر یک از خازن‌ها است.

$$\large \boxed { V _ \text{CX} = V _ \text {S} \frac { C _ \text{T}} { C _ \text {X}} }$$

مثال ۲

• (الف) ظرفیت هر یک از دو خازن ۴۷ نانوفارارد است.
• (ب) ظرفیت یک خازن ۴۷۰ نانوفاراد و ظرفیت دیگری ۱ میکروفاراد است.

حل (الف): طبق فرمولی که بیان کردیم، خازن معادل برابر است با:

$$\large C _ \text {T} = \frac { C _ 1 \times C _ 2 } { C _ 1 + C _ 2 } = \frac {47 \, \text {nF} \times 47 \, \text {nF} } { 47 \, \text {nF} + 47 \, \text {nF} } = 23.5\, \text {nF}$$

افت ولتاژ دو سر خازن‌ها نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} V _ \text{C1} & = \frac { C _ \text {T} } { C _ 1 } \times V _ \text{ T} = \frac { 23.5\, \text {nF} } { 47 \, \text {nF} } \times 12\, \text{V} = 6\, \text{V} \\ V _ \text {C2} & = \frac { C _ \text {T} } { C _ 2 } \times V _ \text{ T} = \frac { 23.5\, \text {nF} } { 47 \, \text {nF} } \times 12\, \text{V} = 6\, \text{V} \end {align*}$$

حل (ب): ظرفیت خازنی معادل به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large C _ \text {T} = \frac { C _ 1 \times C _ 2 } { C _ 1 + C _ 2 } = \frac {470 \, \text {nF} \times 1 \, \mu \text {F} } { 470 \, \text {nF} + 1 \, \mu \text {F} } = 320\, \text {nF}$$

افت ولتاژ خازن‌های $$C _ 1 = 470\, \text{nF}$$ و $$C _ 2 = 1\, \mu\text{F}$$ برابر است با:

$$\large \begin {align*} V _ \text{C1} & = \frac { C _ \text {T} } { C _ 1 } \times V _ \text{ T} = \frac { 320\, \text {nF} } { 470 \, \text {nF} } \times 12\, \text{V} = 8.16\, \text{V} \\ V _ \text {C2} & = \frac { C _ \text {T} } { C _ 2 } \times V _ \text{ T} = \frac { 320\, \text {nF} } { 1 \, \mu\text {F} } \times 12\, \text{V} = 3.84\, \text{V} \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، با توجه به قانون ولتاژ کیرشهف، مجموع افت ولتاژهای دو خازن سری، برابر با ولتاژ اعمالی به مجموعه آن‌ها است.

وقتی مقادیر ظرفیت دو خازن سری متفاوت باشد، خازن بزرگتر (با ظرفیت بیشتر)، در یک مقدار ولتاژ پایین‌تر شارژ می‌شود و خازن کوچکتر، با ولتاژ بالاتری همان بار را خواهد داشت. این تفاوت بین ولتاژها به این دلیل است که هر کدام از خازن‌ها مقدار بار برابری را در صفحات خود نگه می‌دارند:

$$\large \begin {align*} Q _ \text{C1} & = V _ \text {C1} \times C _ 1 = 8.16\, \text {V} \times 470\, \text {nF} = 3.84 \, \mu \text {C} \\ Q _ \text {C2}& = V _ \text {C2} \times C _ 2 = 3.84\, \text {V} \times 1\, \mu \text {F} = 3.84 \, \mu \text {C} \end {align*}$$

توجه کنید که نسبت ولتاژ دو خازن سری هموراه ثابت است؛ زیرا راکتانس $$X _C$$‌ آن‌ها با تغییر فرکانس منبع به نسبت برابری تغییر می‌کند. بنابراین، در مدار شکل بالا، ولتاژهای $$0.16\, \text{V}$$ و $$3.84\, \text{V}$$ با تغییر فرکانس منبع از $$100\, \text{Hz}$$ به $$100\, \text{kHz}$$ تغییر نمی‌کنند.

جمع‌بندی

به عنوان خلاصه می‌توان گفت که جریان گذرنده از خازن‌های سری با هم برابر است؛ یعنی: $$i _ T = i _ 1 = i _ 2 = i _ 3 = \cdots$$. دو یا چند خازن سری، همواره مقدار بار یکسانی روی صفحات خود دارند.

از آنجایی که بار $$Q$$ خازن‌های سری برابر و ثابت است، افت ولتاژ هر خازن را می‌توان با رابطه $$V = Q / C$$ به دست آورد. در خازن‌های سری، خازنی با ظرفیت کمتر، افت ولتاژ بیشتری دارد و خازنی با ظرفیت بزرگتر، افت ولتاژ کمتری خواهد داشت.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش فیزیک پایه ۲
• آموزش مدارهای الکتریکی 1
• ال ای دی (LED) چیست؟ — به زبان ساده
• مدار مرتبه اول RC — از صفر تا صد
• الکتریسیته ساکن — به زبان ساده

^^