برق , مهندسی 65 بازدید

در آموزش شکل موج AC در مجله فرادرس، به طور خلاصه به موضوع مقدار RMS ولتاژ شکل‌ موج سینوسی پرداختیم. در این آموزش قصد داریم تا در مورد این موضوع بیشتر صحبت کنیم. همچنین، ولتاژ RMS و RMS‌ جریان را با جزییات بیشتر توضیح خواهیم داد.

کلمه RMS‌ مخفف عبارت Root Mean Squared‌ به معنای ریشه (جذر) میانگین مربعات است. مقدار RMS یک جریان AC، مقداری است که اگر جریان مستقیم (DC) به همان اندازه داشته باشیم، در اثر عبور از مقاومت معینی همان مقدار حرارت را ایجاد می‌کند که جریان متناوب ایجاد کرده است. اما در واقعیت، RMS چیزی بیش از این تعریف است. مقدار RMS، ریشه میانگین مربع مقدار لحظه‌ای یک تابع درجه دوم است. نماد به کار رفته برای RMS‌ به صورت $$V_{RMS}$$ یا $$I_{RMS}$$‌ است.

عبارت RMS، تنها برای شکل‌موج‌های سینوسی متغیر با زمان (شکل موج ولتاژ، جریان یا ترکیبی از این دو) به کار می‌رود. به عبارت دیگر، در شکل‌موج‌هایی که دامنه آن‌ها با گذشت زمان تغییر می‌کنند. بنابراین، عبارت RMS در مدارهای جریان مستقیم به کار نمی‌رود.

باید دقت شود که «مقدار موثر» (Effective Value) نشان می‌دهد که چه مقدار از ولتاژ یا جریان DC یک شکل موج سینوسی متغیر با زمان، همان توانی را تولید می‌کند که یک مقدار DC خالص تولید خواهد کرد. مقدار موثر به صورت $$V_{eff}$$ یا $$I_{eff}$$‌ نمایش داده می‌شود.

برای مثال، ولتاژ برق خانگی در کشور ایران 24۰ ولت متناوب (240Vac) است. انتظار می‌رود که این ولتاژ، مقدار موثری به اندازه $$240\; Volts\; RMS$$ را از خود نشان دهد. یعنی RMS ولتاژ سینوسی سوکت‌های دیواری خانه‌ها در ایران، قادر به تولید همان توان مثبت متوسطی هستند که یک ولتاژ 24۰ ولت DC تولید خواهد کرد. برای روشن شدن این مفاهیم، شکل زیر را مشاهده کنید.

معادل سازی ولتاژ RMS

با توجه به توضیحات گفته شده در بالا، محاسبه RMS ولتاژ یک شکل موج سینوسی یا یک شکل موج ترکیبی را می‌توان به دو روش زیر به دست آورد:

  • «روش گرافیکی» (Graphical Method): در این روش، با رسم تعدادی «فاصله میانی» (Mid-ordinate) بر روی شکل‌موج، اقدام به محاسبه مقدار RMS شکل‌موج غیر سینوسی متغیر با زمان می‌کنیم.
  • «روش تحلیلی» (Analytical Method): یک روند ریاضیاتی برای محاسبه مقدار موثر و RMS هر ولتاژ یا جریان دوره‌ای است.

روش گرافیکی محاسبه ولتاژ RMS

در حالی که در این روش محاسبات را باید برای هر دو نیم موج AC‌ مورد نظر به کار ببریم، در مثالی که در ادامه توضیح خواهیم داد، محاسبات را تنها برای نیم موج مثبت شکل موج انجام می‌دهیم. در ابتدا مشابه شکل زیر، شکل موج را به فواصل مساوی تقسیم می‌کنیم.

در شکل زیر، نیم‌موج مثبت یک شکل‌موج را به n قسمت یا n فاصله میانی تقسیم کرده‌ایم. هرچه که شکل‌موج را به قسمت‌های بیشتری تقسیم کنیم، نتیجه نهایی دقیق‌تر خواهد بود. بنابراین، عرض هر فاصله میانی برابر با $$n^o$$ و ارتفاع هر یک از آن‌ها برابر با «مقدار لحظه‌ای» (Instantaneous Value) شکل‌موج است.

روش گرافیکی

هر یک از مقادیر فاصله‌های میانی (در این مثال، اندازه ولتاژ)، ضرب در مقدار خودش می‌شود (مربع) و با مقدار بعدی جمع می‌شود. این روش، قسمت مربع عبارت RMS‌ ولتاژ را به ما می‌دهد. سپس، این مقادیر مربعات را بر تعداد فاصله‌های میانی (n) تقسیم می‌کنیم که به ما قسمت میانگین عبارت RMS ولتاژ را می‌دهد. در مثال بالا، تعداد فواصل میانی برابر با 12 است. در نهایت، ریشه (جذر) دوم عبارت قبلی را محاسبه می‌کنیم که ریشه عبارت ولتاژ RMS‌ را به دست می‌دهد.

بنابراین، می‌توان عبارت RMS ولتاژ ($$V_{RMS}$$) را به عنوان ریشه دوم میانگین مربعات فواصل میانی شکل‌موج تعریف کرد:

$$\large V_{RMS}=\sqrt{\frac{sum\,\,of\,\,mid-ordinate\,\,(voltages)^2}{number\,\,of\,\,mid-ordinates}}$$

که با ساده‌سازی و جایگذاری عبارت بالا داریم:

$$\large V_{RMS}=\sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2+V_3^2+\,…\,+V_{11}^2+V_{12}^2}{12}}$$

حال فرض کنیم که «ولتاژ پیک» (Peak Voltage) نیم‌موج مثبت شکل‌موج بالا مقداری برابر با 2۰ ولت و 1۰ فاصله میانی برای این شکل‌موج رسم شده است.

ولتاژ (ولت) $$6.2$$ $$11.8$$ $$16.2$$ $$19$$ $$20$$ $$19$$ $$16.2$$ $$11.8$$ $$6.2$$ $$0$$
زاویه $$18^o$$ $$36^o$$ $$54^o$$ $$72^o$$ $$90^o$$ $$108^o$$ $$126^o$$ $$144^o$$ $$162^o$$ $$180^o$$

بنابراین، مقدار RMS‌ ولتاژ به دست آمده از روش گرافیکی برابر با 14.14 ولت است.

روش تحلیلی محاسبه ولتاژ RMS

روش گرافیکی که در بالا توضیح داده شد، برای محاسبه RMS ولتاژ و جریان شکل‌موج‌هایی که سینوسی یا متقارن نیستند، بسیار موثر و کارآمد است. اما زمانی که با یک شکل موج سینوسی خالص سر و کار داریم، روش تحلیلی برای محاسبه RMS‌ آسان‌تر است.

یک ولتاژ سینوسی تناوبی را می‌توان به عنوان مقدار $$V_{(t)}=V_{max}\times cos(\omega t)$$ با دوره تناوب T‌ بیان کرد. بنابراین، ریشه میانگین مربع (RMS) ولتاژ شکل‌ موج سینوسی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_m^2\,cos^{2}(\omega t)\,dt}$$

با انتگرال‌گیری از زاویه ۰ تا 3۶۰ درجه یا همان دوره تناوب داریم:

$$\large V_{RMS}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2T}\left[t+\frac{1}{2\omega}\,sin(2\omega t)\right]_0^T}$$

که در آن، $$V_m$$ مقدار پیک یا ماکزیمم شکل‌موج است. با جایگذاری $$\omega =2\pi/T$$ و حل معادله داریم:

$$\large V_{RMS}=V_{pk}\,\frac{1}{\sqrt{2}}=V_{pk}\times0.7071$$

بنابراین، RMS ولتاژ ($$ V_{RMS}$$) شکل‌ ‎موج سینوسی بالا، با ضرب مقدار پیک ولتاژ در مقدار $$ 0.7071 $$ یا $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ به دست می‌آید. مقدار RMS‌ ولتاژ که به آن مقدار موثر نیز گفته می‌شود، به دامنه شکل موج وابسته است و تابعی از فرکانس یا زاویه فاز شکل‌موج نیست.

اگر فرض کنیم که مقدار پیک شکل‌موج در مثال بالا برابر با 2۰ ولت است، مقدار RMS ولتاژ برابر است با:

$$\large V_{RMS}=V_{pk}\times0.7071=20\times 0.7071=14.14\,V$$

دقت شود که در هر دو روش بالا برای یک شکل موج، مقدار RMS ولتاژ برابر با 14.14 ولت شد. بنابراین، از هر یک از این دو روش، روش گرافیکی و روش تحلیلی، می‌توان برای محاسبه RMS ولتاژ یا جریان یک شکل موج استفاده کرد.

باید دقت کرد که ضرب عدد $$ 0.7071 $$ در مقدار پیک یک شکل‌موج برای محاسبه مقدار RMS‌ آن، تنها در شکل‌موج‌های سینوسی کاربرد دارد. برای شکل‌موج‌های غیر سینوسی حتما باید از رواش گرافیکی و فاصله‌‌های میانی استفاده کرد.

البته برای محاسبه ریشه میانگین مربعات (RMS) یک شکل‌ موج سینوسی، علاوه بر مقدار پیک شکل‌موج، می‌توان از مقدار «پیک تا پیک» (Peak-to-Peak) یا $$V_{P-P}$$ و مقدار متوسط ولتاژ ($$V_{AVG}$$) استفاده کرد. نحوه استفاده از مقادیر در زیر آورده شده است:

$$V_{RMS}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\times V_{pk}=0.7071\times V_{pk}$$

$$V_{RMS}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\times V_{P-P}=0.3536\times V_{P-P}$$

$$V_{RMS}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\,\times V_{avg}=1.11\times V_{avg}$$

جمع‌بندی

مقدار RMS یک تابع سینوسی با میانگین مقادیر لحظه‌ای آن تابع برابر نیست. نسبت مقدار RMS‌ ولتاژ، به مقدار پیک ولتاژ برابر با نسبت RMS‌ جریان، به مقدار پیک جریان است.

اغلب مولتی‌مترها، ولت‌مترها یا حتی آمپرمترها برای محاسبه مقدار RMS، شکل موج سینوسی را به صورت یک شکل‌ موج سینوسی خالص فرض می‌کنند. بنابراین، برای محاسبه مقدار RMS‌ یک «شکل‌موج غیر سینوسی» (Non-sinusoidal Waveform) باید از یک «مولتی‌متر با RMS واقعی» (True RMS Multimeter) استفاده کنیم.

به عبارت دیگر، اغلب مولتی‌مترها از روش تحلیلی برای محاسبه ولتاژ و جریان AC استفاده می‌کنند که این روش تنها برای شکل موج سینوسی خالص و متقارن پاسخ صحیح می‌دهد و برای شکل موج‌های دیگر خطا دارد.

مقدار RMS‌ یک شکل‌ موج سینوسی، همان اثر حرارتی را دارد که همان مقدار جریان DC‌ در یک مدار تولید خواهد کرد. به عبارت دیگر، اگر جریان I از یک مقاومت به اندازه R‌ اهم عبور کند، توان DC‌ مصرف شده (مقدار گرمای تولید شده) توسط مقاومت برابر با $$RI^2$$ است. بنابراین، اگر جریان متناوب $$i=I_{max}\,\times Sin\theta$$ از مقدار مقاومت یکسان عبور کند، مقدار توان AC‌ که به گرما تولید می‌شود، برابر با $$R\times I_{rms}^2$$ است.

پس وقتی با جریان یا ولتاژ متناوب سروکار داریم، باید از مقادیر RMS‌ آن‌ها استفاده کنیم. یعنی یک جریان متناوب 1۰ آمپری، همان مقدار حرارتی را تولید خواهد کرد که یک جریان مستقیم 1۰ آمپری تولید می‌کند. در حالی که مقدار ماکزیمم جریان متاوب برابر با 14.14 آمپر است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *