حد توابع نمایی – از صفر تا صد

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مفاهیم حد و پیوستگی آشنا شدیم. همچنین، برخی قواعد حدگیری، مانند قاعده هوپیتال را بیان کردیم و مباحث حد بی‌نهایت، حد در بی‌نهایت و حد توابع چندمتغیره را شرح دادیم. در این آموزش، با حد توابع نمایی آشنا می‌شویم.

قواعد اصلی حد توابع نمایی

چهار ویژگی اصلی در حدگیری وجود دارد که کاربردهای فراوانی در محاسبه حد توابع نمایی دارند. این ویژگی‌ها عبارتند از: قاعده توان، قاعده پایه ثابت، قاعده توان ثابت و قاعده توان رادیکالی ($$f$$ و $$g$$ توابعی پیوسته هستند).

• قاعده توان:

$$\large \lim _ { x \, \to \, a } \, { { f { ( x ) } } ^ { g { ( x ) } } } = \lim _ { x \, \to \, a } \, { { f { ( x ) } } ^ { \, \lim _ { x \, \to \, a } \, { g { ( x ) } } } }$$

• قاعده پایه ثابت:

$$\large \lim _ { x \, \to \, a } { b ^ { f { ( x ) } } } = b ^ { \, \lim _ { x \, \to \, a } { f { ( x ) } } }$$

• قاعده توان ثابت:

$$\large \lim _ { x \, \to \, a } { { [ f { ( x ) } ] } ^ n } = { \Big [ \lim _ { x \, \to \, a } { f { ( x ) } } \Big ] } ^ n$$

• قاعده توان رادیکالی:

چند حد نمایی مهم

در این بخش، چند حد مهم را بیان می‌کنیم که با استفاده از قوانین بالا به دست آمده است.

حد $$\displaystyle \Large \lim _ { x \, \to \, a } { \dfrac { x^ n - a ^ n } { x - a } } = n \cdot a ^ { n - 1 }$$

اثبات: در این رابطه، $$x$$ متغیر و $$a$$ و $$n$$ ثابت هستند. در حسابان بسیار پیش می‌آید که با حد تابع $$\dfrac{x^n-a^n}{x-a}$$، وقتی که $$x$$ به $$a$$ میل می‌کند، سر و کار داشته باشیم.

ابتدا مقدار $$a$$ را مستقیماً در تابع جایگذاری می‌کنیم:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, a } { \normalsize \dfrac { x ^ n - a ^ n } { x - a } } \, = \, \dfrac { a ^ n - a ^ n } { a - a } \\ \implies \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, a } \normalsize \dfrac { x ^ n - a ^ n } { x - a } \, = \, \dfrac { 0 } { 0 }$$

همان‌طور که می‌بینیم، حاصل حد با جایگذاری مستقیم مبهم است. برای رفع ابهام، تغییر متغیر $$x-a = h$$ را در نظر می‌گیریم. اکنون با توجه به $$x = a + h$$ متغیر $$x$$ را حذف می‌کنیم. بنابراین، حد به صورت زیر در می‌آید:

$$\displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { { ( a + h ) } ^ n - a ^ n } { h } }$$

توان $$n$$ مربوط به پایه $$a$$ در صورت، بین جملات، مشترک است؛ بنابراین، از آن فاکتور می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$\displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ n \Bigg [ { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } {a } \Bigg ) } ^ n - 1 \Bigg ] } { h } }$$

تابع $${\Bigg(1+\dfrac{h}{a}\Bigg)}^n$$ فرمی مشابه قضیه دوجمله‌ای دارد. بنابراین، طبق این قضیه می‌توان آن را به شکل زیر بسط داد:

$$\large \begin {align*} & { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n = 1 + \dfrac { n } { 1 ! } \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } { 2 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 3 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 3 + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = \dfrac { n } { 1 ! } \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } {2 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 3 ! } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 3 + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = \dfrac { n } { 1 } \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } {2 } { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 6} { \Bigg ( \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ 3 + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = n \times \dfrac { h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) } { 2 } \times \dfrac { h ^ 2 } { a ^ 2 } + \dfrac {n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 6 } \times \dfrac { h ^ 3 } { a ^ 3 } + \ldots \\ & \implies { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 = \dfrac { n h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h ^ 2 } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 3 } { 6 a ^ 3 } + \ldots \end {align*}$$

اکنون، بسط تابع را در فرمول حد جایگذاری می‌کنیم:

$$\displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ n \Bigg [ { \Bigg ( 1 + \dfrac { h } { a } \Bigg ) } ^ n - 1 \Bigg ] } { h } } = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 }{ \normalsize \dfrac { a ^ n \Bigg [ \dfrac { n h } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h ^ 2 } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 3 } { 6 a ^ 3 } + \ldots \Bigg ] } { h } }$$

در عبارت بالا از $$h$$ فاکتور می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$ \require {cancel} \begin {align*} &<br /> = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } \normalsize \dfrac { a ^ n \times h \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \cdots \Bigg ] } { h } \\<br /> & = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } \normalsize \dfrac { a ^ n \times \cancel { h } \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \cdots \Bigg ] } { \cancel { h } } \\<br /> & = \displaystyle \large \lim _ { h \, \to \, 0 } \normalsize a ^ n \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) h } { 2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) h ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \cdots \Bigg ]<br /> \end {align*} $$

اگر $$h$$ به صفر میل کند، خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel} \begin {align*} &<br /> a ^ n \Bigg [ \dfrac { n } { a } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( 0 ) } {2 a ^ 2 } + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) { ( 0 ) } ^ 2 } { 6 a ^ 3 } + \ldots \Bigg ] \\<br /> & = a ^ n \Bigg [ \dfrac { n } { a } + 0 + 0 + \ldots \Bigg ] = a ^ n \times \dfrac { n } { a } = n \times \dfrac { a ^ n } { a } =n \times a ^ { n - 1 }<br /> \end {align*} $$

بنابراین، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\, \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, a} \large \dfrac { x ^ n - a ^ n } { x - a } \, = \, n \cdot a ^ { n - 1 }$$

حد $$\displaystyle \Large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { e ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = 1$$

اثبات: بسط تابع $$e ^ x$$ به صورت زیر است:

$$\large e ^ x = 1 + \dfrac {x } { 1 ! } +\dfrac {x ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 3 } { 3 ! } + \cdots$$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$\large e ^ x - 1 = \dfrac {x } { 1 ! } +\dfrac {x ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 3 } { 3 ! } + \cdots$$

از $$x$$ فاکتور می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} & e ^ x - 1 = x \Bigg[ \dfrac { 1 } { 1 ! } +\dfrac { x } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 2 } { 3 ! } + \cdots \Bigg] \\ & \implies \dfrac{e^{\displaystyle x}-1}{x} = \dfrac { 1 } { 1 ! } +\dfrac { x } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 2 } { 3 ! } + \cdots \end {align*}$$

اکنون، $$x$$ را به صفر میل می‌دهیم:

$$\begin {align*} & \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { e ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \Bigg [ \dfrac { 1 } { 1 ! } } +\dfrac{x}{2!} +\dfrac{x^2}{3!} +\cdots \Bigg] \\ & \implies \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { e ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = \dfrac{1}{1!} + \dfrac { ( 0 ) } { 2 ! } + \dfrac { { ( 0 ) } ^ 2 } { 3 ! } + \ldots = 1 \end {align*}$$

در نهایت، رابطه زیر اثبات می‌شود:

$$\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\, \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{ \normalsize \dfrac { e ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = 1$$

حد $$\displaystyle \Large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { a ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = \log _ { e } { a }$$

اثبات: با توجه به قانون اصلی لگاریتم‌ها، داریم:

$$\large a ^ { \displaystyle \normalsize x } = e ^ { \displaystyle \log _ { e } { a ^ { \displaystyle \normalsize x } } }$$

بسط $$e ^ x$$ نیز به صورت زیر است:

$$\large e ^ x = 1 + \dfrac {x } { 1 ! } +\dfrac {x ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 3 } { 3 ! } + \cdots$$

به جای نما یا همان توان $$x$$، عبارت $$\log_{e}{a^{\displaystyle x}}$$ را قرار می‌دهیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} & e ^ { \displaystyle \log _ { e } { a ^ { \displaystyle \normalsize x } } } = 1 + \dfrac { \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } } { 1 ! } + \dfrac { { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { { ( \log _ { e }{ a ^ { \displaystyle x } } ) } ^ 3 } { 3 ! } + \ldots \\ & \implies e ^ x = 1 + \dfrac { \log _ { e } { a^ { \displaystyle x } } } { 1 ! } + \dfrac { { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } ^ 3 } { 3 ! } + \ldots \end {align*}$$

با کمی‌ ساده‌سازی، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align*} & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ a ^ { \displaystyle x } - 1 = \dfrac { \log _{ e } { a ^ { \displaystyle x } } } { 1 ! } + \dfrac { { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } ^ 3 } { 3 ! } + \ldots \\ & \implies a ^ { \displaystyle x } - 1 = \dfrac { \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } } { 1 ! } + \dfrac { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) \times ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } { 2 ! } + \dfrac { ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) \times ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) \times ( \log _ { e } { a ^ { \displaystyle x } } ) } { 3 ! } + \ldots \\ & \implies a ^ x - 1 = \dfrac { x \log _ { e } { a } } { 1 ! } + \dfrac { ( x \log _ { e } { a } ) \times ( x \log _ { e } { a } ) }{ 2 ! } + \dfrac { ( x \log _ { e } {a } ) \times ( x \log _ { e } { a } ) \times ( x \log _ { e } { a }) } { 3 ! } + \ldots \\ & \implies \dfrac { a ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } = \dfrac { \log _ { e } { a } } { 1 ! } + \dfrac { x { ( \log _ { e } { a } ) } ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 2 { ( \log _ { e } { a } ) } ^ 3 }{ 3 ! } + \ldots \end {align*}$$

اکنون $$x$$ را به صفر میل می‌دهیم و داریم:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \Bigg [ \dfrac { \log _ { e } { a } } { 1 ! } } + \dfrac { x { ( \log _ { e } { a } ) } ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { x ^ 2 { ( \log _ { e } { a } ) } ^ 3 } { 3 ! } + \ldots \Bigg]$$

و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} & \;\;\;\; \; \; \;\;\;\; \;\; \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = \dfrac { \log _ { e } { a } } { 1 ! } + \dfrac { ( 0 ) { ( \log _ { e } { a } ) } ^ 2 } { 2 ! } + \dfrac { 0 \times { ( \log _ { e } { a } ) } ^ 3 } { 3 ! } + \ldots \\ & \implies \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { a ^ { \displaystyle x } - 1 } { x } } = \dfrac { \log _ { e } { a } } { 1 } + \dfrac{0}{2!} +\dfrac{0}{3!} + \ldots \\ & \implies \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{a^{\displaystyle x}-1}{x}} = \log_{e}{a} \end {align*}$$

در نهایت، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\, \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{a^{\displaystyle x}-1}{x}} = \ln{a}$$

حد $$\displaystyle \Large \lim_{x \, \to \, 0 } { { ( 1 + x ) } ^ { \frac { 1 } { x } } } = e$$

اثبات: با استفاده از بسط دوجمله‌ای، داریم:

$$\large { ( 1 +x ) } ^ { \displaystyle n } = 1 + \dfrac { n } { 1 ! } x + \dfrac {n ( n - 1 ) } { 2 ! } x ^ 2 + \dfrac { n ( n - 1 ) ( n - 3 ) } { 3 ! } x ^ 3 + \ldots$$

مقدار $$\frac {1} {x}$$ را به جای $$n$$ قرار می‌دهیم و خواهیم داشت:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize { ( 1 + x ) } ^ { \frac { 1 } { x } } } = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0} \, \Bigg [ 1 + \dfrac { \Bigg(\dfrac {1 } { x } \Bigg ) }{ 1 ! } { x } + \dfrac{\Bigg(\dfrac{1}{x}\Bigg)\Bigg(\dfrac{1}{x}-1\Bigg)}{2!}{x^2} + \dfrac { \Bigg ( \dfrac { 1 } { x } \Bigg ) \Bigg ( \dfrac { 1 } { x } - 1 \Bigg ) \Bigg ( \dfrac { 1 } { x } - 2 \Bigg ) } { 3 ! } { x ^ 3 } + \cdots \Bigg ]$$

با کمی عملیات جبری عبارت بالا به شکل زیر قابل محاسبه است:

$$\large \begin {align*} \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize {(1+x)}^{\frac{1}{x}}} & = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0} \, \Bigg[1 + \dfrac{\Bigg(\dfrac{1}{x}\Bigg)}{1!}{x} + \dfrac{\Bigg(\dfrac{1 \times (1-x)}{x^2}\Bigg)}{2!}{x^2} + \dfrac{\Bigg(\dfrac{1 \times (1-x) \times (1-2x)}{x^3}\Bigg)}{3!}{x^3} + \ldots \Bigg] \\ & = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0} \, \Bigg[1 + \dfrac{1}{1! \times x}{x} +\dfrac{1-x}{2! \times x^2}{x^2} +\dfrac{(1-x)(1-2x)}{3! \times x^3}{x^3} + \ldots \Bigg] \end {align*}$$

و در نتیجه، داریم:

$$\large \therefore \,\,\,\,\,\, \displaystyle \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize {(1+x)}^{\frac{1}{x}}} = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0} \, \Bigg[1 + \dfrac{1}{1!} +\dfrac{(1-x)}{2!} + \dfrac{(1-x)(1-2x)}{3!} + \ldots \Bigg]$$

با میل دادن $$x$$ به صفر، نتیجه زیر به دست می‌آید:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize { ( 1 + x ) } ^ { \frac { 1 } { x } } } = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots$$

می‌دانیم که تابع نمایی طبیعی معادل با سری زیر است:

$$\large e^{\displaystyle x} \,=\, 1 + \dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$$

مقدار $$x$$ را برابر با ۱ قرار می‌دهیم و داریم:

$$\large e \,=\, 1 + \dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!} + \cdots$$

در نهایت:

$$\large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize {(1+x)}^{\frac{1}{x}}} = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \ldots = e$$

حد $$\displaystyle \Large \lim _ { x \, \to \, \infty } { { \Big ( 1 + \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ { \displaystyle x } } = e$$

اثبات:‌ با استفاده از بسط دوجمله‌ای، داریم:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, \infty } { \normalsize { \Big ( 1 + \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ { \displaystyle x } } = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, \infty} \, \Bigg [ 1 + \dfrac { x } { 1 ! } { \Big ( \dfrac { 1 } { x } \Big ) } + \dfrac { x ( x - 1 ) } { 2 ! } { \Big ( \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ 2 + \dfrac { x ( x - 1 ) ( x - 2 ) } { 3 ! } { \Big ( \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ 3 + \cdots \Bigg]$$

اکنون، عبارت بالا را ساده‌سازی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, \infty } { \normalsize { \Big ( 1 + \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ { \displaystyle x } } & = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, \infty } \, \Bigg [ 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{(x-1)}{2! \times x} + \dfrac{(x-1)(x-2)}{3! \times x^2} + \cdots \Bigg] \\ & = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, \infty } \, \Bigg[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{\Big(1-\dfrac{1}{x}\Big)}{2!} + \dfrac{\Big(1-\dfrac{1}{x}\Big) \Big(1-\dfrac{2}{x}\Big)}{3!} + \cdots \Bigg] \end {align*}$$

حال $$x$$ را به بی‌نهایت میل می‌دهیم:

$$\large \begin {align*} \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, \infty } { \normalsize { \Big ( 1 + \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ { \displaystyle x } } & = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{\Big(1-\dfrac{1}{\infty}\Big)}{2!} + \dfrac{\Big(1-\dfrac{1}{\infty}\Big) \Big(1-\dfrac{2}{\infty}\Big)}{3!} + \ldots \\ & = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{(1)}{2!} + \dfrac{(1)(1)}{3!} + \ldots \\ & = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \ldots \end {align*}$$

می‌دانیم که تابع نمایی طبیعی معادل با سری زیر است:

$$\large e^{\displaystyle x} \,=\, 1 + \dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$$

مقدار $$x$$ را برابر با ۱ قرار می‌دهیم و داریم:

$$\large e \,=\, 1 + \dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!} + \cdots$$

در نتیجه:

$$\large \,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\, \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, \infty } { \normalsize { \Big ( 1 + \dfrac { 1 } { x } \Big ) } ^ { \displaystyle x } } = e$$

مثال‌ها

با توجه به قواعد و حدهایی که معرفی کردیم، چند مثال را حل می‌کنیم.

مثال ۱

حد تابع $$\lim _ { x \, \to\, 0}{\sqrt[x^3]{1-x+\sin{x}}}$$ را محاسبه کنید.

حل: تابع مثلثاتی جبری نمایی را می‌توان به فرم تابع نمایی $$(1+x)^\frac{1}{x}$$ نوشت که در آن $$x$$ به صفر میل می‌کند.

$$\large \begin {align*} \lim _ {x \, \to \, 0 } { \sqrt [ x ^ 3 ] { 1 -x + \sin { x } }} & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1-x + \sin { x } \Big ) } ^ \dfrac { 1 } { x ^ 3 } } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + \sin { x } - x \Big ) } ^ {\dfrac { 1 } { x ^ 3 } } } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + ( \sin { x } -x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { x ^ 3 } { \times 1 } } } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + ( \sin { x } -x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { x ^ 3 } { \times } \dfrac { \sin { x } - x }{ \sin { x } - x } } } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + ( \sin { x } -x ) \Big) } ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x } { \times } \dfrac { \sin { x } - x } { x ^ 3 } } } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Bigg [ { \Big ( 1 + ( \sin { x } - x ) \Big )} ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x } } \Bigg ] } ^ \dfrac { \sin { x } - x } { x ^ 3 } } \end {align*}$$

اکنون از قانون حد تابع نمایی استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \lim_{x \,\to\, 0}{ { \Bigg [ { \Big ( 1 + ( \sin { x } -x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x } } \Bigg ] } ^ \dfrac { \sin { x } -x } { x ^3 } } = { \Bigg [ \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + ( \sin { x } -x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x} } } \Bigg ] } ^ { \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { \sin { x } - x } { x ^ 3 } } } \end {align*}$$

اگر $$x \to 0$$، آنگاه $$\sin{x} \to 0$$. بنابراین، $$\sin{x}-x \to 0$$. در نتیجه، اگر $$x$$ به صفر میل کند، $$\sin{x}-x$$ نیز به صفر میل خواهد کرد و می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align*} &{ \Bigg [ \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + ( \sin { x } -x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x} } } \Bigg ] } ^ { \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { \sin { x } - x } { x ^ 3 } } } \\ & = { \Bigg [ \lim _ { \sin { x } - x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 +( \sin { x} - x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x } } } \Bigg ] } ^ { \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { \sin { x }- x } { x ^ 3} } } \end {align*}$$

اکنون، متغیر $$y = \sin{x}-x$$ را در نظر می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} { \Bigg [ \lim _ { \sin { x } - x \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 +( \sin { x} - x ) \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { \sin { x } - x } } } \Bigg ] } ^ { \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { \sin { x }- x } { x ^ 3} } } = { \Bigg [ \lim _ { y \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + y \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { y} } } \Bigg ] } ^ { \lim _ { x \, \to \, 0 }{ \dfrac { \sin { x } - x } { x ^ 3 } } } \end {align*}$$

طبق قاعده حد تابع نمایی، وقتی $$y$$ به صفر میل می‌کند، $$1+y$$ به توان $$\frac {1}{y}$$ برابر با $$e$$ خواهد بود:‌

$$\large \begin {align*} { \Bigg [ \lim _ { y \, \to \, 0 } { { \Big ( 1 + y \Big ) } ^ { \dfrac { 1 } { y} } } \Bigg ] } ^ { \lim _ { x \, \to \, 0 }{ \dfrac { \sin { x } - x } { x ^ 3 } } } = e ^ { \, \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { \sin { x } - x }{ x ^ 3 } } } \end {align*}$$

با توجه به اینکه $$\displaystyle \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{x-\sin{x}}{x^3}} = \dfrac{1}{6}$$ (سعی کنید خودتان این حد را حساب کنید)، در نهایت، خواهیم داشت:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \sqrt [ x ^ 3 ] { 1 - x + \sin { x } } } = e ^ { \, - \frac { 1 } { 6 } } = \dfrac { 1 } { \sqrt [ \displaystyle 6 ] { e } }$$

مثال ۲

حد $$\lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { 2 ^ x - 1 } { \sqrt { 1 + x } - 1 } }$$ را محاسبه کنید.

حل: اگر مستقیماً از روش جایگذاری استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$\large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { 2 ^ x - 1 }{ \sqrt { 1 + x } - 1 } } = \dfrac { 1 - 1 } { \sqrt { 1 } - 1 } = \dfrac { 1 - 1 } { 1 - 1 } = \dfrac { 0 } { 0 }$$

همان‌طور که می‌بینیم، این عبارتِ به دست آمده مبهم است. بنابراین، روش جایگذاری مستقیم در این حالت مفید نیست و باید مسئله را از طریق دیگری حل کنیم.

عبارت صورت کسر شبیه $$\dfrac{a^x-1}{x}$$ است، وقتی که $$x$$ به $$0$$ میل می‌کند، اما مخرج آن نیز باید $$x$$ باشد. بنابراین، باید به گونه‌ای $$x$$ را به مخرج بیاوریم. در نتیجه، می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { 2 ^ x - 1 }{ \sqrt { 1 + x } - 1 } } & = \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \Bigg [ \dfrac { 2 ^ x - 1 } { \sqrt { 1 + x } - 1 } \times 1 \Bigg ] } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { \Bigg [ \dfrac { 2 ^ x - 1 }{ \sqrt { 1 + x } - 1 } \times \dfrac { x } { x } \Bigg ] } \\ & = \lim _ { x \, \to \, 0 } { \Bigg [ \dfrac { 2 ^ x - 1 } { x } \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x}-1}\Bigg]} \end {align*}$$

با استفاده از قاعده ضرب حدها، داریم:

$$\large \begin {align*} \lim _ { x \, \to \, 0 } { \Bigg [ \dfrac { 2 ^ x - 1 } { x } \times \dfrac { x } { \sqrt { 1 + x } - 1 } \Bigg ] } = \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { 2 ^ x - 1 } { x } } \times \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { x } { \sqrt { 1 + x } - 1 } } \end {align*}$$

با توجه به اینکه حد $$(a^x-1)/x$$ وقتی $$x$$ به صفر میل می‌کند، برابر با لگاریتم طبیعی $$2$$ است، داریم:

$$\large \begin {align*} \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { 2 ^ x - 1 } { x } } \times \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { x } { \sqrt { 1 + x } - 1 } } & = \log _ { e } { ( 2 ) } \times \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { x } { \sqrt { 1 + x } - 1 } } \\ & = \ln { ( 2 ) } \times \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \dfrac { x }{ \sqrt { 1 + x } - 1 } } \end {align*}$$

اکنون، حد تابع جبری را با جایگذاری به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {array} {l} = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } \left [ \frac { x } { \sqrt { 1 + x } – 1 } \times 1 \right ] \\ = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } \left [ \frac { x } { \sqrt { 1 + x } – 1 } \times \frac { \sqrt { 1 + x } + 1 } { \sqrt { 1 + x } + 1 } \right ] \\ = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ( \sqrt { 1 + x } + 1 ) } { ( \sqrt { 1 + x } – 1 ) ( \sqrt{ 1 + x } + 1 ) } \\ = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ( \sqrt { 1 + x } + 1 ) }{ ( \sqrt { 1 + x } ) ^ { 2 } – 1 ^ { 2 } } \\ = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ( \sqrt { 1 + x } + 1 ) } { 1 + x – 1 } \\ = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ( \sqrt { 1 + x } + 1 ) } { x } \\ = \ln ( 2 ) \times \lim _ { x \rightarrow 0 } ( \sqrt { 1 + x } + 1 ) \end {array}$$

در نهایت $$x$$ را به صفر میل داده و حاصل حد را به دست خواهیم آورد:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { 2 ^ x -1 } { \sqrt { 1 + x } - 1 } } = \ln{(2)} \times (\sqrt{1+0}+1) = 2 \ln (2)$$

مثال ۳

حاصل حد $$\displaystyle \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{5^x+5^{-x}-2}{x^2}}$$ را به دست آورید.

حل: اگر مقدار $$x$$ را در تابع برابر با صفر قرار دهیم، به عبارت مبهم $$\frac { 0} { 0 }$$ می‌رسیم. بنابراین، از این روش نمی‌توان حاصل حد را به دست آورد. تابع را به صورت زیر ساده می‌کنیم:‌

$$\begin {align*} \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{5^x+5^{-x}-2}{x^2}} & = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{5^x+\dfrac{1}{5^x}-2}{x^2}} =\displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{5^x+\dfrac{1}{5^x}-2}{x^2}} \\ & = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\dfrac{5^x \times 5^x+1-2 \times 5^x}{5^x}}{x^2}} = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^{x})}^2+1-2 \times 5^x}{5^x \times x^2}} \end {align*}$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\begin {align*} \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^{x})}^2+1-2 \times 5^x}{5^x \times x^2}} = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { { (5 ^ { x } ) } ^ 2 + 1 ^ 2 - 2 \times 5 ^ x \times 1 } { 5 ^ x \times x ^ 2 } } = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { { ( 5 ^ x - 1 ) } ^ 2 } { 5 ^ x \times x ^ 2 } } \end {align*}$$

این حد را می‌توانیم با استفاده از قاعده ضرب حدها به صورت زیر بنویسیم:

$$\begin {align*} \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { { ( 5 ^ x - 1 ) } ^ 2 } { 5 ^ x \times x ^ 2 } } = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \Bigg[\dfrac{1}{5^x} \times \dfrac{{(5^x-1)}^2}{x^2}\Bigg]} = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{1}{5^x}} \times \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^x-1)}^2}{x^2}} \end {align*}$$

حاصل این حد را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\begin {align*} \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{1}{5^x}} \times \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^x-1)}^2}{x^2}} = \dfrac{1}{5^0} \times \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^x-1)}^2}{x^2}} = \displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^x-1)}^2}{x^2}} \end {align*}$$

اکنون باید مقدار حد $$\displaystyle \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{{(5^x-1)}^2}{x^2}}$$ را محاسبه کنیم. با توجه به قانون توان ثابت حد، می‌نویسیم:

$$\displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize \dfrac { { ( 5 ^ x - 1 ) } ^ 2 } { x ^ 2 } } = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize { \Bigg ( \dfrac { 5 ^ x - 1 }{ x } \Bigg ) } ^ 2 } = \Bigg ( \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize { \dfrac { 5 ^ x - 1 } { x } \Bigg ) } ^ 2 }$$

از آنجایی که حد $$(a ^ x - 1 ) / x$$ وقتی $$x$$ به صفر میل می‌کند، برابر با $$\log_{e}{(5)}$$ است، در نهایت، نتیجه به صورت زیر خواهد بود:

$$\Bigg(\displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize {\dfrac{5^x-1}{x}\Bigg)}^2} = {(\log_{e}{(5)})}^2 = {(\ln{(5)})}^2$$

مثال ۴

حاصل حد $$\displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize {\Bigg(\dfrac{5x^2+1}{3x^2+1}\Bigg)}^\dfrac{1}{x^2}}$$ را پیدا کنید.

حل: حد را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize { \Bigg ( \dfrac { 5 x ^2 +1 } { 3 x ^ 2 + 1 } \Bigg ) } ^ \dfrac { 1 }{ x ^ 2 } } = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to\, 0} { \normalsize { \Bigg ( \dfrac { 3 x ^ 2 + 2 x ^2 + 1 } { 3 x^ 2 + 1 } \Bigg ) } ^ \dfrac { 1 } { x ^ 2 } } = \displaystyle \large \lim _ { x \, \to \, 0 } { \normalsize { \Bigg ( 1 + \dfrac { 2 x ^ 2 } { 3 x ^ 2 + 1 } \Bigg ) } ^ \dfrac { 1 } { x ^ 2 } } \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، این حد مشابه حد زیر است:

$$\large \lim _ { x \, \to \, 0 } { { ( 1 + x ) } ^ \frac { 1 } { x } }$$

حد مورد نظر را باید به گونه‌ای تغییر دهیم که بتوانیم از قواعدی که بیان کردیم، استفاده کنیم. بدین منظور، تغییر متغیر $$p = \dfrac{2x^2}{3x^2+1}$$ را در نظر می‌گیریم و سعی می‌کنیم نمای $$\dfrac{1}{x^2}$$ را برحسب $$p$$ بیان کنیم. بنابراین:

$$\large \begin {align*} \implies \frac { 3 x ^ { 2 } + 1 } { 2 x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { p } \\ { \implies \frac { 3 x ^ { 2 } +1 } { x ^ { 2 }} = \frac { 2 } {p } } \\ { \implies \frac { 3 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 }{ x ^ { 2 } } = \frac { 2 } { p } } \\ { \implies \frac { 3 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 }} + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \frac { 2 } { p } } \\ { \implies 3 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \frac { 2 }{ p } } \\ { \implies \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \frac { 2 } { p } - 3 } \end {align*}$$

در نتیجه، تابع جبری $$\dfrac{2x^2}{3x^2+1}$$ را می‌توان به گونه‌ای ساده کرد که $$\dfrac{1}{x^2}$$ را برحسب $$\dfrac{2}{p}-3$$ نوشت.

با توجه به رابطه $$\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2}{p}-3$$، اگر $$x \to 0$$، آنگاه $$x^2 \to 0$$. همچنین، با توجه به $$\dfrac{1}{x^2} \to \dfrac{1}{0}$$، خواهیم داشت: $$\dfrac{1}{x^2} \to \infty$$. اما، از آنجایی که $$\dfrac{1}{x^2}$$ برابر با $$\dfrac{2}{p}-3$$ است، حد $$\dfrac{2}{p}-3 \to \infty$$ را خواهیم داشت و از آن می‌توان به $$\dfrac{2}{p} \to \infty + 3$$ و در نتیجه، $$\dfrac{2}{p} \to \infty$$ رسید. در نهایت، $$\dfrac{p}{2} \to 0$$ و $$p \to 0$$ را داریم.

بنابراین، اگر $$x$$ به صفر میل کند، $$p$$ نیز به صفر میل خواهد کرد.

اکنون، حدی را که برحسب $$x$$ است، برحسب $$p$$ می‌نویسیم:

$$\large \lim _ { x \, \to \, 0 } { { \Bigg ( 1 + \dfrac { 2 x ^ 2 } { 3 x ^ 2 + 1 } \Bigg ) } ^ \dfrac { 1 } { x ^ 2 } } = \lim _ { p \, \to \, 0 } { { ( 1 + p ) } ^ { \frac { 2 } { p } \, - \, 3 } }$$

حال، حد $$\lim _ { p \, \to \, 0 } { { ( 1 + p ) } ^ { \frac { 2 } { p } \,-\, 3 } }$$ را ساده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \lim _ { p \, \to \, 0 } { { ( 1 + p ) } ^ { \frac { 2 } { p } \, - \, 3 } } & = \lim _ { p \, \to \, 0 } { \dfrac { { ( 1 + p ) } ^ { \frac { 2 }{ p } } } { { (1 + p ) } ^ 3 }} = \dfrac { \lim _ { p \, \to \, 0 } { { { \Big [ ( 1 + p ) } ^ { \frac { 1 } { p } } } \Big ] } ^ 2 } { \large \lim _ { p \, \to \, 0 } { { ( 1 + p ) } ^ 3 } } \\ & = \dfrac { \Bigg [ \lim _ { p \, \to \, 0 } { { { ( 1 + p ) } ^ { \frac { 1 } { p } } } \Bigg ] } ^ 2 } { \lim _ { p \, \to \, 0 }{ { ( 1 + p ) } ^3 } } \end {align*}$$

با توجه به چند حدی که اثبات آن‌ها را ارائه کردیم، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align*} \dfrac { \Bigg [ \lim _ { p \, \to \, 0 } { { { ( 1 + p ) } ^ { \frac { 1 } { p } } } \Bigg ] } ^ 2 } { \lim _ { p \, \to \, 0 }{ { ( 1 + p ) } ^3 } } = \dfrac{{[e]}^2}{{(1+0)}^3} =\dfrac{e^2}{1^3} = e ^ 2 \end {align*}$$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است،‌ آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• انتگرال توابع نمایی – از صفر تا صد
• قضیه فشردگی یا ساندویچ — به زبان ساده
• حد و مشتق تابع مختلط — از صفر تا صد

^^