فرادرستبدیل کسر به عدد مخلوط — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با اعداد مخلوط و ویژگی‌های آن‌ها آشنا شدیم. در ریاضیات و عملیات مختلف روی اعداد، گاهی پیش می‌آید که باید کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم که برای این کار، راه‌های مختلفی وجود دارد. در این آموزش، با روش‌های تبدیل کسر به عدد مخلوط آشنا می‌شویم.
عدد مخلوط چیست؟
معنای کلمه «مخلوط» در فرهنگ لغت «آمیخته‌شده» است. از این معنی می‌توان چنین دریافت که دست کم دو چیز در کنار هم قرار دارند.
در ریاضیات نیز، عدد مخلوط عددی است که از دو نوع عدد تشکیل شده است: یک عدد صحیح و یک عدد کسری که قدر مطلق صورت این کسر از قدر مطلق مخرجش کوچک‌تر است. عدد زیر را درنظر بگیرید که یک کسر بزرگ‌تر از ۱ را نشان می‌دهد. این کسر کوچک‌تر از ۲ است. بنابراین، با یک عدد مخلوط مواجه هستیم، زیرا یک و خرده‌ای است. این یک نشان‌دهنده عدد صحیح و خرده‌ای همان عدد کسری است.
$$ \large 7 \frac 12 $$
چند عدد مخلوط دیگر در ادامه نشان داده شده‌اند:
$$ \large 1 \frac 1 { 12} ,\;\;\; 5 \frac {11}{15}, \;\;\; 6 \frac 23 $$
همان‌طور که در بالا دیدم، یک عدد مخلوط از دو بخش اصلی تشکیل می‌شود: یک عدد صحیح یا کامل و یک عدد کسری. به یک تعبیر دیگر، عدد مخلوط از سه عدد دیگر تشکیل می‌شود: یکی عدد صحیح، یکی صورت کسر و یکی مخرج کسر.
عدد مخلوط $$ 2 \frac 15 $$ را این‌گونه می‌خوانیم: دو و یک‌پنجم.
برای آشنایی بیشتر با اعداد مخلوط و جمع و تفریق آن‌ها، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را مطالعه کنید:
- عدد مخلوط چیست و به چه اعدادی می گویند؟ — به زبان ساده
- جمع اعداد مخلوط — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
- تفریق اعداد مخلوط — به زبان ساده + حل تمرین
روش‌های تبدیل کسر به عدد مخلوط
ابتدا باید با مفهوم کسر ناسره آشنا شویم. کسر ناسره کسری است که قدر مطلق صورتش از قدر مطلق مخرجش بزرگ‌تر است. بنابراین، این کسر بزرگ‌تر از واحد است و این یعنی اینکه می‌توان آن را بهصورت یک عدد مخلوط بیان کرد. برای تبدیل کسر بزرگ‌تر از واحد به عدد مخلوط می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده کرد که در ادامه آن‌ها را معرفی می‌کنیم.
روش اول: تقسیم صورت بر مخرج
گام‌های تبدیل کسر ناسره به عدد مخلوط با این روش، به‌شرح زیر است:
- صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنید.
- بعد از تقسیم، یک عدد به‌عنوان خارج قسمت خواهید داشت که همان عدد صحیح کسر مخلوط است.
- باقیمانده تقسیم صورت کسر عدد مخلوط است.
- مخرج کسر نیز همان مخرج عدد اصلی است.
برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم طبق گام‌های بالا، کسر $$ \frac 7 3 $$ را به یک عدد مخلوط تبدیل کنیم. گام به گام مراحل را طی می‌کنیم:
- عدد $$7$$ را بر $$3 $$ تقسیم می‌کنیم.
- خارج قسمت را به‌عنوان عدد صحیح می‌نویسیم.
- باقیمانده را در صورت کسر و مقسوم‌علیه را در مخرج کسر می‌نویسیم.
شکل زیر، گام‌های بالا را به‌خوبی نشان می‌دهد.
روش دوم: شکستن صورت کسر
در این روش، صورت کسر را به اندازه عدد مخرج می‌شکنیم. برای مثال، اگر عدد مخلوط $$ \frac {16}{5}$$ را داشته باشیم، این‌گونه عمل می‌کنیم:
$$ \large \frac {16}{5} = \frac {5+5+5+1}{5} = \frac 55 + \frac 55 +\frac 55 + \frac 15 =1+1+1+\frac 15=3\frac 15$$
روش سوم: استفاده از مضرب مخرج
در این روش، بزرگ‌ترین مضرب مخرج را که کوچک‌تر از صورت باشد، پیدا می‌کنیم و آن را با عددی جمع می‌کنیم که حاصل این جمع برابر با مخرج شود. با یک مثال، این روش را شرح می‌دهیم.
فرض کنید می‌خواهیم کسر $$ \frac {19}{4}$$ را به یک عدد مخلوط تبدیل کنیم. برای این کار، بزرگ‌ترین مضرب عدد $$4$$ را پیدا می‌کنیم که کوچک‌تر از $$19$$ باشد. این عدد $$16$$ است. پس می‌توانیم صورت را به‌شکل $$ 16+3$$بنویسیم. در این صورت، کسر به‌شکل زیر درمی‌آید:
$$\large \frac {19}{4} = \frac {16+3}{4}=\frac {16}{4}+\frac 34= 4+\frac 34 = 4\frac 34$$
تبدیل عدد مخلوط به کسر
برای تبدیل عدد مخلوط به کسر، یک مخرج مشترک می‌گیریم و عدد کامل را بهصورت یک کسر می‌نویسیم که مخرج آن با مخرج کسر عدد مخلوط یکی است. سپس آن را با کسر عدد مخلوط جمع می‌کنیم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم عدد مخلوط $$3\frac 5 7 $$ را به کسر تبدیل کنیم. ابتدا می‌توانیم عدد را به‌شکل زیر بنویسیم:
$$\large 3\frac 5 7 =3+\frac57$$
اکنون با در نظر گرفتن مخرج $$ 7$$، عدد $$3$$ را به یک کسر تبدیل می‌کنیم:
$$\large 3 = \frac {3\times 7}{7} = \frac {21}{7}$$
بنابراین، عدد مخلوط به‌شکل کسر زیر درمی‌آید:
$$\large 3\frac 5 7 =3+\frac57= \frac {3\times 7}{7}+\frac 57 =\frac {21}{7}+\frac 57=\frac {21+5}{7}=\frac {26}{7}$$
مثال‌های تبدیل کسر به عدد مخلوط
در این بخش، مثال‌هایی را از تبدیل کسر به عدد مخلوط حل خواهیم کرد.
مثال اول تبدیل کسر به عدد مخلوط
کسر $$ \frac {15}{4}$$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.
حل: از روش اول استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:
$$ \large \frac { 1 5 } { 4 } = \frac { 12 + 3 } { 4 } = \frac { 1 2 } { 4 } + \frac 3 4 = 3 + \frac 3 4 = 3 \frac 34 $$
مثال دوم تبدیل کسر به عدد مخلوط
کسر $$ \frac { 26 } { 5 } $$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.
حل: عدد $$26$$ را می‌توان بهصورت مجموع $$ 26 = 25 + 1 $$ نوشت. در نتیجه، خواهیم داشت:
$$ \large \frac { 2 6 } { 5 } = \frac { 25 + 1 } {5 }= \frac {25 }{ 5 }+ \frac 15 = 5 + \frac 15 = 5 \frac 15 $$
مثال سوم تبدیل کسر به عدد مخلوط
عدد کسری $$ \frac {17} 8 $$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.
حل: از روش تقسیم صورت بر مخرج استفاده می‌کنیم:
بنابراین، عدد مخلوط به‌شکل زیر است:
$$ \large \frac {17} 8 = 2 \frac 18 $$
مثال چهارم تبدیل کسر به عدد مخلوط
حاصل تفریق $$ 4 \frac 1 3 - 1 \frac 2 3 $$ را به‌دست آورید.
حل: ابتدا دو عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:
$$ \large \begin {align}
4 \frac 1 3 - 1 \frac 2 3 & = (\frac {4 \times 3 }{ 1 \times 3 }+ \frac 13 ) - (\frac {1 \times 3 }{1 \times 3 }+ \frac 23 )\\& = (\frac {12}{3} + \frac 13 ) - ( \frac 33 + \frac 23) \\ & = \frac {13}{3}- \frac {5}{3}
\end {align} $$
اکنون یک تفریق بین دو کسر داریم و به‌سادگی می‌توانیم آن را انجام دهیم:
$$ \large \begin {align}
\frac {13}{3}- \frac {5}{3} = \frac {13-5}{3}= \frac {8 }{ 5 }
\end {align} $$
اکنون می‌توانیم این عدد کسری را به‌شکل یک عدد مخلوط بنویسیم:
$$ \large \begin {align}
\frac {8 }{ 5 } = \frac { 5 + 3 } { 5 } = \frac 55 + \frac 35 = 1 + \frac 35 = 1 \frac 35
\end {align} $$
مثال پنجم تبدیل کسر به عدد مخلوط
عدد $$ \frac { 17 } { 3 } $$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.
حل: عدد مخلوط بهصورت زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large \frac {17 } 3 = \frac { ( 5 \times 3 ) + 2 } { 3 } = 5 + \frac 23 = 5 \frac 23 $$
مثال ششم تبدیل کسر به عدد مخلوط
عدد $$ \frac {12}5$$ را به کسر تبدیل کنید.
حل: با استفاده از روش‌هایی که بیان کردیم، خواهیم داشت:
$$ \large \frac {12} 5 = \frac {10 + 2 }{5 }= \frac {10}5 + \frac 25 = 2 +\frac 25 = 2 \frac 25 $$
مثال هفتم تبدیل کسر به عدد مخلوط
کسر $$ \frac { 21 } 5 $$ را به یک عدد مخلوط تبدیل کنید.
حل: صورت را بر مخرج تبدیل می‌کنیم:
در نتیجه، عدد مخلوط به‌شکل زیر نوشته می‌شود:
$$ \large \frac {21} 5 = 4 \frac 15 $$
مثال هشتم تبدیل کسر به عدد مخلوط
کسر $$ \frac {100} {11} $$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.
حل: می‌دانیم که $$ 99 $$ مضرب $$ 11 $$ است. بنابراین، عدد $$ 100 $$ را به‌شکل $$ 99 + 1 $$ می‌نویسیم و خواهیم داشت:
$$ \large \frac { 100 } { 1 1 } = \frac { 99 + 1 } { 11 } = \frac { 9 9 } { 11 } + \frac 1 { 11 } = 9 + \frac { 1 } { 1 1 } = 9 \frac 1 { 11 } $$
مثال نهم تبدیل کسر به عدد مخلوط
کسر $$ \frac { 40 } 7 $$ را به عدد تبدیل کنید.
حل: بزرگ‌ترین مضرب عدد $$ 7 $$ که کوچک‌تر از $$ 40 $$ باشد، عدد $$ 35 $$ است. بنابراین، صورت کسر را می‌توان به‌شکل $$ 35 + 5 $$ نوشت و عدد مخلوط را بهصورت زیر به‌دست آورد:
$$ \large \frac { 40 } 7 = \frac { 3 5 + 5 } { 7 } = \frac { 3 5 }{ 7 } + \frac 5 7 = 5 + \frac 5 7 = 5 \frac 5 7 $$
مثال دهم تبدیل کسر به عدد مخلوط
عدد کسری $$ \frac {10} 3 $$ را به صورت عدد مخلوط بنویسید.
حل: با توجه به روش‌هایی که گفتیم، این کسر بهصورت زیر به عدد مخلوط تبدیل می‌شود:
$$ \large \frac { 10 } 3 = \frac { (3 \times 3 ) + 1 } { 3 } = \frac {3 \times 3 } { 3 }+ \frac 1 3 = 3 + \frac 13 = 3 \frac 13$$
آزمون سنجش یادگیری تبدیل کسر به عدد مخلوط
در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث تبدیل کسر به عدد مخلوط را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.
فرم مخلوط عدد کسری $$ \frac { 17 } { 7 } $$، کدام گزینه است؟
$$ 1 \frac { 3 } { 7 } $$
$$ 2 \frac { 3 } { 7 } $$
$$ 3 \frac { 2 } { 7 } $$
$$ 3 \frac { 3 } { 7 } $$
برای تبدیل کسر متعارفی به عدد مخلوط، ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم تا خارج قسمت و باقیمانده به دست بیاید. در صورت تقسیم چکشی عدد 17 بر 7، خارج قسمت برابر با 2 و باقیمانده برابر با 3 خواهد بود. اکنون، خارج قسمت را می‌نویسیم:
$$ 2 $$
سپس، کسری با همان مقسوم‌علیه قبلی (عدد 7) را در کنار خارج قسمت قرار می‌دهیم:
$$ 2 \frac {}{7} $$
با جایگذاری باقیمانده تقسیم عدد 17 بر 7 (عدد 3) در صورت بخش کسری عدد بالا، تبدیل کسر به عدد مخلوط انجام می‌شود:
$$ 2 \frac { 3 } { 7 } $$
کدامیک از گزینه‌های زیر، فرم مخلوط کسر $$ \frac { 37 } { 8 } $$ را نمایش می‌دهد؟
$$ 4 \frac { 5 } { 8 } $$
$$ 4 \frac { 7 } { 8 } $$
$$ 4 \frac { 1 } { 8 } $$
$$ 5 \frac { 3 } { 8 } $$
برای تبدیل کسر متعارفی به عدد مخلوط، ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم تا خارج قسمت و باقیمانده به دست بیاید. در صورت تقسیم چکشی عدد 37 بر 8، خارج قسمت برابر با 4 و باقیمانده برابر با 5 خواهد بود. اکنون، خارج قسمت را می‌نویسیم:
$$ 4 $$
سپس، کسری با همان مقسوم‌علیه اولیه (عدد 8) را در کنار خارج قسمت قرار می‌دهیم:
$$ 4 \frac {}{8} $$
با جایگذاری باقیمانده (عدد 5) در صورت بخش کسری عدد بالا، تبدیل کسر به عدد مخلوط انجام می‌شود:
$$ 4 \frac { 5 } { 8 } $$
عدد مخلوط برابر با حاصل‌جمع $$ \frac { 5 } { 8 } + \frac { 3 } { 4 } $$ چیست؟
$$ 2 \frac { 1 } { 8 } $$
$$ 2 \frac { 3 } { 8 } $$
$$ 1 \frac { 3 } { 8 } $$
امکان نوشتن فرم مخلوطی عدد وجود ندارد.
برای جمع اعداد کسری، ابتدا باید آن‌ها را هم مخرج کنیم. این کار، با تبدیل مخرج همه کسرها به ک م م آن‌ها صورت می‌گیرد. در این سوال، حاصل‌جمع زیر از ما خواسته شده است:
$$ \frac { 5 } { 8 } + \frac { 3 } { 4 } $$
ک م م 4 و 8، برابر با عدد 87 است. بنابراین، داریم:
$$ \frac { 5 } { 8 } + \frac { 3 } { 4 } = \frac { 5 } { 8 } + \frac { 6 } { 8 } = \frac { 11 } { 8 } $$
صورت کسر بالا از مخرج آن بزرگ‌تر است. به همین دلیل می‌توان آن را به صورت عدد مخلوط نوشت. برای این کار، عدد 11 را بر 8 تقسیم می‌کنیم. با این کار، خارج قسمت تقسیم برابر با 1 و باقیماند برابر با 3 می‌شود. خارج قسمت را می‌نویسیم:
$$ 1 $$
سپس، کسری با مخرج کسر اولیه (عدد 8) را در کنار خارج قسمت قرار می‌دهیم:
$$ 1 \frac {}{ 8 } $$
در نهایت، باقیمانده تقسیم 11 بر 8 را درون صورت کسر جایگذاری می‌کنیم:
$$ 1 \frac { 3 }{ 8 } $$
کدامیک از جمع‌های کسری زیر را می‌توان به صورت عدد مخلوط نمایش داد؟
$$ \frac { 2 } { 7 } + \frac { 3 } { 7 } $$
$$ \frac { 3 } { 7 } + \frac { 5 } { 7 } $$
$$ \frac { 2 } { 7 } + \frac { 4 } { 7 } $$
$$ \frac { 1 } { 7 } + \frac { 4 } { 7 } $$
برای تبدیل یک کسر به عدد مخلوط، صورت کسر باید از مخرج آن بزرگ‌تر باشد. بنابراین، به منظور پاسخگویی به سوال، ابتدا باید حاصل‌جمع گزینه‌ها را به دست می‌آوریم و صورت آن‌ها را با مخرج‌شان مقایسه می‌کنیم:
$$ \frac { 2 } { 7 } + \frac { 3 } { 7 } = \frac { 2 +3 } { 7 } = \frac { 5 } { 7 } $$
$$ \frac { 3 } { 7 } + \frac { 5 } { 7 } = \frac {3 +5 } { 7 } = \frac { 8 } { 7 } $$
$$ \frac { 2 } { 7 } + \frac { 4 } { 7 } = \frac { 2 +4 } { 7 } = \frac { 6 } { 7 } $$
$$ \frac { 1 } { 7 } + \frac {4 } { 7 } = \frac { 1 +4 } { 7 } = \frac { 5 } { 7 } $$
از میان کسرهای بالا، تنها $$ \frac { 8 } { 7 } $$ را می‌توان به صورت عدد مخلوط نمایش داد. زیرا صورت این کسر از مخرج آن بزرگ‌تر است. بنابراین، گزینه حاوی جمع کسری $$\frac { 3 } { 7 } + \frac { 5 } { 7 } $$، گزینه درست است.
فرم مخلوط $$ \frac { 29 } { 9 } $$، کدام گزینه است؟
$$ 3 \frac { 2 } { 9 } $$
$$ 3 \frac { 1 } { 9 } $$
$$ 2 \frac { 8 } { 9 } $$
$$ 2 \frac { 3 } { 9 } $$
برای تبدیل کسر متعارفی به عدد مخلوط، ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم تا خارج قسمت و باقیمانده به دست بیاید. در صورت تقسیم چکشی عدد 29 بر 9، خارج قسمت برابر با 3 و باقیمانده برابر با 2 خواهد بود. اکنون، خارج قسمت را می‌نویسیم:
$$ 3 $$
سپس، کسری با همان مقسوم‌علیه اولیه (عدد 9) را در کنار خارج قسمت قرار می‌دهیم:
$$ 3 \frac {}{9} $$
با جایگذاری باقیمانده (عدد 2) در صورت بخش کسری عدد بالا، تبدیل کسر به عدد مخلوط انجام می‌شود:
$$ 3 \frac { 2 } { 9 } $$
جمع‌بندی
در این آموزش از مجله فرادرس، ضمن معرفی اجمالی اعداد مخلوط، با روش‌های مختلف تبدیل کسر به عدد مخلوط آشنا شدیم. همچنین، مثال‌های متنوعی از این روش‌ها را همراه با حل آن‌ها ارائه کردیم.
