تبدیل ملین (Mellin Transform) – از صفر تا صد

تبدیل ملین

$${ \displaystyle \left \{ { \mathcal { M } } f \right \} ( s ) = \varphi ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } f ( x ) \, d x }$$

از این رو تبدیل معکوس تابع $$\varphi$$ نیز برابر است با:

$$\left \{ \mathcal { M } ^ { - 1 } \varphi \right\} ( x ) = f ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi i} \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } x ^ { - s } \varphi ( s ) \, d s‌$$

$$\left \{ \mathcal { B } f \right \} ( s ) = \left \{ \mathcal { M } f ( - \ln x) \right \} ( s )$$

همچنین با استفاده از رابطه زیر می‌توان تبدیل ملین را به لاپلاس دوطرفه تبدیل کرد.

$$\left \{ \mathcal { M } f\right \} ( s ) = \left \{ \mathcal { B } f ( e ^ { - x } ) \right \} ( s )$$

$${ \displaystyle f ( x ) = e ^ { - x } }$$

با توجه به رابطه ارائه شده در بالا، تبدیل ملین این تابع برابر است با:

$${ \displaystyle \Gamma ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } e ^ { - x } d x }$$

$${ \displaystyle e ^ { - y } = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } \Gamma ( s ) y ^ { - s } \; d s }$$

$${ \displaystyle f ( x ) = { \begin {cases} x ^ { a } & x < 1 , \\ 0 & x > 1 \end{cases} } }$$

در این صورت تبدیل ملین برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.