شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
قضیه کیلی همیلتون — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
۸۶۵۵ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۱۷ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۷۹ دقیقه
دانلود PDF مقاله
گاهی در محاسبات لازم است توابعی از ماتریسها را محاسبه کنیم. اما انجام این کار به صورت مستقیم، دشوار و مستلزم محاسبات فراوانی است. در این موارد، قضیه «کیلی همیلتون» (Cayley-Hamilton Theorem) محاسبات را سادهتر خواهد کرد. به بیان ساده، قضیه کیلی همیلتون بیان میکند که هر ماتریس مربعی در معادله مشخصه خود صدق میکند. از این ویژگی میتوان استفادههای فراوانی کرد. در این آموزش، قضیه کیلی-همیلتون را بیان کرده و چند مثال مربوط به آن را بررسی میکنیم.
اگر چندجملهای p(λ)، چندجملهای مشخصه ماتریس A با ابعاد n×n باشد، آنگاه ماتریس p(A) یک ماتریس صفر n×n خواهد بود. به عبارت دیگر، ماتریس A در معادله مشخصهاش صدق میکند.
فرض کنید A یک ماتریس n×n باشد. همچنین فرض کنید Ai,j دترمینان ماتریسی باشد که از حذف سطر iاُم و ستون jاُم A به دست آمده است. ماتریس الحاقی در رابطه زیر صدق میکند:
$$ \large A A _ { \mbox {adj} } = A _ { \mbox {adj} } A = \mbox {det} ( A ) I , $$
$$ \large ( A - \lambda I ) ( A - \lambda I ) _ { \mbox{adj} } = ( A - \lambda I ) _ { \mbox {adj} } ( A - \lambda I ) =<br />
\mbox {det} ( A - \lambda I ) I $$
ماتریس از عامل A−λI تشکیل شده و همانطور که میدانیم، هر یک از درایههای ماتریس A−λI، یک چندجملهای از λ با درجاتی از 0 تا n−1 است. میتوان نوشت:
عبارت −T3+4T2+5T−2I را محاسبه و ساده کنید (I ماتریس همانی 3×3 است).
حل: از قضیه کیلی-همیلتون استفاده میکنیم. برای به دست آوردن چندجملهای مشخصه T، از خاصیت بالامثلثی آن استفاده میکنیم. ماتریس T−tI نیز یک ماتریس بالامثلثی است. همانطور که میدانیم، دترمینان یک ماتریس بالامثلثی برابر با حاصلضرب درایههای قطری آن است. بنابراین، چندجملهای مشخصه pT(t) ماتریس T برابر است با:
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
با سلام خیلی ممنون از آموزش بسیار خوبتون با زبانی ساده و مثالی خوب در زمان بسیار مناسبی این قضیه را توضیح دادین
سوالم مخالف هیچ موضع خاصی نبود که پاک کردید
پرسیدم با چی تدریس میکنن
قلم نوری؟
اسم و مشخصاتش همین؟
با تشکر از تدریس اقای سراح
یه سوال داشتم
شما با چه چزی می نویسید؟
قلم نوری؟ یا چیز دیگزی
اگر امکانش هست اسم و مدلش رو بگید
باتشکر